[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

I due testimoni

Aldo dice la verità 3 volte su 4 (e quindi mente 1 volta su 4).

Baldo dice la verità 7 volte su 10 (e quindi mente 3 volte su 10).

Un dado viene lanciato sotto gli occhi di Aldo e Baldo.

Entrambi testimoniano che è uscito il 6.

Calcola la probabilità che sia davvero uscito il 6 | sapendo che entrambi i testimoni hanno dichiarato che è uscito il 6.

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Soluzione

Prima di tutto dobbiamo chiarire cosa intendiamo per "dire la verità" e "mentire", in questa situazione.

Costruiamo il grafo della situazione. Attenzione, ho scritto solo i dati necessari a risolvere il problema.

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L'ipotesi iniziale è:

A = "E' davvero uscito il 6."

La sua probabilità a priori è ovviamente 1/6.

Ma noi abbiamo un'informazione in più:

E = "Entrambi i testimoni hanno dichiarato che è uscito il 6."

Dobbiamo calcolare la probabilità a posteriori della nostra ipotesi:

P(A | E) = "E' davvero uscito il 6 sapendo che entrambi i testimoni hanno dichiarato che è uscito il 6."

Osserviamo il grafico e applichiamo la regola di Bayes.

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Ripetiamo il calcolo con un ragionamento statistico. Osserviamo il grafico, e rispondiamo alle domande.

Con quale probabilità entrambi dicono che uscito il 6?

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Con quale probabilità è uscito davvero il 6 quando entrambi dicono che è uscito il 6?

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Ora, possiamo ragionare statisticamente così: su 6000 prove, entrambi i testimoni dicono "6" 540 volte, ma solo 525 di queste volte è uscito davvero il 6. La probabilità della nostra ipotesi condizionata è data dal rapporto fra i nue numeri.

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Qual è il modo più breve per calcolare la probabilità richiesta?

Sempre osservando il grafo, abbiamo:

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Nota.

Il problema è tratto e adattato da Henry Sinclair Hall, Samuel Ratcliffe Knight, Higher Algebra a Sequel to Elementary Algebra for Schools, Macmillan, 1894.

Parti del libro si possono consultare su Google books.

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Data creazione: agosto 2014

Ultimo aggiornamento: agosto 2014

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