[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Mentire sulla tombola

Baldo dice la verità 4 volte su 5.

Baldo estrae a caso un numero della tombola e afferma che è uscito il 35 (I numeri della tombola sono i numeri interi da 1 a 90)

Qual è la probabilità che sia davvero uscito il 35 | sapendo che Baldo ha detto "35"?

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Soluzione

Prima di procedere dobbiamo chiarire cosa intendiamo per "dire la verità" e "mentire", in questa situazione.

Dire la verità significa dichiarare il numero effettivamente uscito in seguito a una estrazione dei numeri della tombola.
Mentire significa dire un numero compreso fra 1 e 90 diverso da quello veramente uscito. Tale numero è scelto fra 89 numeri con uguale probabilità (1/89).

In particolare, nei casi in cui il numero uscito NON è 35, chi mente dice "35" con probabilità 1/89.

Costruiamo il grafo della situazione.

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Chiariamo bene la domanda: vogliamo calcolare la probabilità dell'ipotesi:

A = "E' uscito il 35."

condizionata al fatto che:

E = "Baldo ha detto che è uscito il 35."

In simboli:

P(A | E) = Probabilità che "E' uscito il 35" sapendo che "Baldo ha detto che è uscito il 35."

Applichiamo la regola di Bayes (con la probabilità composta).

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Rifacciamo il calcolo con un ragionamento di tipo statistico-proporzionale.

Osserviamo il grafico, e rispondiamo alle domande.

Con quale probabilità Baldo dice "E' uscito il 35"?

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Con quale probabilità è uscito davvero il 35 quando Baldo dice che è uscito il 35?

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La probabilità della nostra ipotesi è il rapporto delle due probabilità e risulta 4/5.

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Oppure possiamo ragionare statisticamente così: su 450 prove, Baldo dice "E' uscito il 35" 5 volte, ma solo 4 di queste volte è uscito davvero il 35. La probabilità della nostra ipotesi è data dal rapporto fra i due numeri.

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In che modo il grafo può aiutarci per semplificare e generalizzare il calcolo?

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Una possibile generalizzazione

Nel problema precedente, abbiamo visto che i numeri abbastanza alti, che esprimevano probabilità legate alla tombola, si semplificano tutti e alla fine il risultato sembra dipendere soltanto dalla probabilità con cui Baldo dice il vero o mente.

Proviamo allora a generalizzare così:

Baldo dice la verità con probabilità q.
Baldo estrae a caso un numero intero da 1 a n e afferma che è uscito il 35.
Qual è la probabilità che sia davvero uscito il 35 | sapendo che Baldo ha detto "35"?

Soluzione

Riprendiamo il grafo precedente intoducendo le variabili al posto dei numeri.

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Passiamo senza indugio al calcolo finale, osservando che non dipende da n, anzi è proprio q.

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Nota.

La soluzione di questo problema è discutibile.

Infatti, se ammettiamo che quando NON esce il 35 e Baldo mente, possa mentire in un solo modo, dicendo sempre che è uscito il 35, allora la soluzione di questo problema evidentemente cambia.

Un esempio di questa impostazione si trova in: Autori Vari, Xam Idea Mathematics, FK Publications, New Delhi, 2009.

La risposta è 3/8, mentre con il metodo visto sopra dovrebbe essere 3/4.

Il punto dove c'é differenza fra le due soluzioni è quello tra le parentesi arancione.

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Mentire con due sole alternative

Se Baldo ha soltanto due possibilità di esprimersi, per esempio A oppure NON-A (vero o falso), allora la soluzione del problema è come quella dell'esempio citato nella nota precedente.

Consideriamo per esempio il seguente problema.

Un certo evento (Fatto) F ha la probabilità p di accadere (o di essere vero).
Baldo, che sa come stanno le cose, testimonia che F è accaduto (o è vero).
Baldo dice la verità con probabilità a.
Quale è la probabilità che F sia accaduto | sapendo che Baldo ha detto che è accaduto?