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(variante con 3 possibili strategie)
Un particolare ringraziamento a Pighin, per aver proposto questo problema e a Sprmnt21, Andrea, Becucci, Ivan D'Avanzo, Enrico Delfini, Philomatematicus, Dario, Massimiliano Bez, Ottavio Romano per aver contribuito a rendere più chiara la soluzione.
1. Il dilemma di Monty Hall
Ci sono tre contenitori A, B, C e in uno solo di essi il
gestore del gioco pone un oggetto.
Chiede ad uno dei presenti di provare ad indovinare dove sta l'oggetto.
Sia data ad esempio la seguente situazione iniziale:
| A Vuoto |
B Oggetto |
C Vuoto |
Il giocatore sceglie ad esempio A, ma non lo apre
Il gestore apre il rimanente contenitore vuoto C e lo mostra al
giocatore
A questo punto il gestore propone tre metodi per proseguire:
a) il giocatore mantiene sempre la scelta fatta
inizialmente;
b) il giocatore cambia sempre la scelta ed
indica il rimanente contenitore chiuso;
c) il giocatore sceglie nuovamente a caso uno
fra i due contenitori rimasti.
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia a)?
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia b)?
Quale è la probabilità di indovinare con la strategia c)?
Nota
storica
Questo quesito è noto come il dilemma di "Monty Hall"
perché fu proposto agli ospiti di un celebre gioco a premi
televisivo americano "Let's make a deal", il cui
conduttore era appunto Monty Hall, e suscitò una accesa
controversia sulla rivista "Parade" nel 1990.
In realtà si tratta di una variante del Paradosso delle tre
carte di Warren Weaver (1950) il quale, a sua volta, deriva dal
Paradosso delle tra scatole proposto per la prima volta dal
matematico francese Joseph Bertrand nel 1889.
Fonte: Nicholas Falletta, Il libro dei paradossi, Tea Scienze,
2001.
Paul Hoffman, nel suo libro The man who loved only numbers,
afferma, nel capitolo 6 che questo problema creò qualche
incomprensione anche al grande matematico Paul Erdos.
2. Il paradosso delle tre carte
Giochiamo con tre carte. Una è bianca su entrambi i
lati, una è rossa su entrambi i lati e una è bianca da un lato
e rossa dall'altro. Ogni carta è nascosta in una scatoletta nera.
Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e
la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato.
Supponiamo che il lato che si vede sia bianco.
Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che
è bianco anche l'altro lato della carta (se è bianco vince il
conduttore, se è rosso vince il giocatore).
Conviene al giocatore accettare la scommessa? Perchè?
Warren Weaver, 1950
3. Il paradosso delle tre scatole
Ci sono tre scatole identiche. Una contiene due
monete d'oro, l'altra due monete d'argento e la terza una moneta
d'oro e una d'argento.
Il giocatore sceglie una scatola. Qual è la probabilità che sia
la scatola con due monete diverse? E' 1/3.
Supponiamo che il giocatore prenda una moneta a caso dalla
scatola scelta e che questa moneta sia d'oro. Dopo aver avuto
questa informazione, qual è la probabilità che quella sia la
scatola con due monete diverse?
Siccome le possibilità per la seconda moneta sono solo 2 (oro o
argento), la probabilità sembra essere passata da 1/3 a 1/2.
Dov'é l'errore nel ragionamento?
J. Bertrand. Calcul des Probabilités. Gauthier-Villars, Paris,
1889. Chap. I, art. 2, pp. 2-3.
1. Il dilemma di Monty Hall
Ho preparato un programma in Javascript che simula fino
ad un massimo di 100.000 partite di questo gioco.
Ma chi le farebbe mai?
Potete utilizzarlo per fare i vostri esperimenti.
N.B. Il programma gira anche off-line, basta salvare questa
pagina.
Le risposte corrette sono:
Probabilità di indovinare con la strategia a)? 1/3
Probabilità di indovinare con la strategia b)? 2/3
Probabilità di indovinare con la strategia c)? 1/2
Il problema non è difficile e può essere risolto applicando la definizione classica di probabilità:
Probabilità di un evento = Num. casi favorevoli / Num. casi possibili
P = Nf / Np
Ma come? Ecco le spiegazioni.
Probabilità di indovinare con la
strategia a)? 1/3
Non dobbiamo farci fuorviare dal fatto che il gestore,
DOPO LA SCELTA DEL GIOCATORE, apre una scatola.
Di fatto una scatola su tre contiene l'oggetto, il giocatore ha
scelto una scatola e quindi la probabilità è 1/3.
Probabilità di indovinare con la
strategia b)? 2/3
Attenzione! Con questa strategia il giocatore NON
RISCEGLIE A CASO fra le due scatole rimanenti ma CAMBIA SEMPRE LA
SCATOLA.
Se abbiamo capito il caso a), è facile capire anche questo. La
probabilità che l'oggetto sia in una delle due scatole NON
scelte è 2/3.
Visto che il gestore rivela quale delle due è vuota, la
probabilità che l'oggetto sia nell'altra è per l'appunto 2/3.
Cambiando scatola è come se il giocatore avvesse scelto DUE
scatole, anziché UNA.
Probabilità di indovinare con la
strategia c)? 1/2
Dopo che il gestore ha mostrato una scatola vuota è
evidente che l'oggetto si trova in una delle altre due.
Dunque RISCEGLIEDONE una a caso, la probabilità di indovinare è
1/2.
Enrico Delfini
Massimo Piattelli Palmarini (direttore Dip. Scienza Cognitive Ist.
S.Raffaele-MI) docente al M.I.T. eccetera, nel suo "L'illusione
di sapere" (Mondadori 1993) affronta
esaurientemente il problema o paradosso delle tre scatole (o di
Monty Hall), come esempio di difficoltà-impossibilità di
accettare le dimostrazioni che appaiono contro-intuitive (a noi).
Riporta il caso di premi Nobel che "non si sono
convinti".
Esamina poi la variante più antica del problema, quella "DEI
TRE PRIGIONIERI".
Nel braccio della morte, tre prigionieri aspettano l'alba della
fucilazione. In onore del compleanno del re, si sa che uno dei
tre sarà graziato, e il guardiano sa chi dei tre avrà salva la
vita, ma non lo vuole svelare.
Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall'angoscia, gli dice:
"Dato che uno solo dei tre sarà graziato, certamente uno
degli altri due (B e C) dovrà morire. Se mi dici il nome di uno
fra B e C, destinato a morire domani all'alba, ti regalo il mio
orologio d'oro. Tu non tradisci il segreto, perchè non sveli il
graziato, e io avrò un po' meno angoscia. "Il guardiano si
fa convincere e svela: "B morirà".
A dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: Aveva
il 33% di chance di salvarsi, ora restano solo lui e C, quindi le
sua possibilità sono cresciute al 50%.
E' corretto il suo ragionamento?
La risposta è (non ovviamente) che no, le sue chance restano al
33%; sono quelle di C che balzano al 67%!
Oltre ai ragionamenti "classici", Massimo P. Palmarini
espone anche questa minidimostrazione per assurdo.
La risposta del guardiano, non ha alcuna influenza sul
ragionamento di A; potrebbe aver risposto C invece di B e il
ragionamento sarebbe proseguito uguale. Se ne deduce che A
avrebbe potuto "fingere" di fare la domanda, darsi una
risposta "virtuale", tenersi l'orologio, e arrivare
alla stessa stima del 50% di salvezza. Ma, ohibò, lo stesso
ragionamento, potevano farlo anche B e C, col risultato di tre
persone col 50% di farcela!
Aveva proprio ragione Martin Gardner a definire questo
indovinello "Wonderfully confusing"!
Philomatematicus
Il problema può forse chiarirsi se invece di tre scatole
supponiamo che ce ne siano cento.
Il gestore, una volta che il giocatore ne ha scelta una, ne apre
novantotto: a questo punto cosa sceglie il giocatore? Mantiene la
scelta fatta o passa all'altra rimasta chiusa?
Generalizzando, di n scatole 1/n è la scelta del giocatore, n-2/n
la "liberazione del gestore".
Per mantenere la propria scelta, il giocatore dovrebbe confidare
che la 1/n probabilità scelta inizialmente sia proprio quella
buona.
Su ciò si veda P. M. Higgins, "Divertirsi con
la matematica". Bari, Ed. Dedalo, 1999. p. 134-138.
Ivana Niccolai e Dino
Dino ed io abbiamo letto il libro "Lo strano caso
del cane ucciso a mezzanotte" di Mark Haddon, Einaudi, dove
l'io narrante è un ragazzo di 15 anni, di nome Christofer,
affetto dalla sindrome di Asperger (una forma di autismo), che
ama particolarmente la matematica e che riuscirà a superare un
esame, proprio di matematica, particolarmente difficile per la
sua età e per la "drammatica" situazione familiare,
che gli causa ulteriore "disagio"...
Consigliamo la lettura di tale libro, perché offre spunti di
rilessione; è interessante constatare la logica ferrea e
ammirevole, con cui il protagonista esprime il proprio pensiero...
Fa riflettere la situazione in cui il gruppo H, di cui fa parte,
viene trattato con intenti canzonatori dagli "altri"
ragazzi, perché è, comunque, un gruppo a sé, non integrato
nella società...
Si nota l'uso sporadico di un turpiloquio, ma determinate
espressioni sono talmente entrate nella "quotidianità",
da rendere arduo il compito di educare i ragazzi alla scelta di
un linguaggio di "buon gusto"...
Nelle pagine 78, 79 e 80 il protagonista riporta quanto segue:
"In una rivista americana che si chiamava "Parade"
una volta c'era una rubrica fissa dal titolo "Chiedi a
Marilyn". Era diretta da una certa Marilyn von Savant che si
diceva avesse il più alto Quoziente d'Intelligenza al mondo...
Nel settembre del 1990 il signor Craig F. Whitaker di Columbia,
Maryland, le spedì questo quesito...:
Un uomo partecipa a un quiz televisivo. Può vincere un'auto: Il
presentatore gli mostra tre porte. Dice che dietro a una delle
porte c'è l'auto in palio, mentre dietro alle altre due ci sono
delle capre. Gli chiede di sceglierne una.
Quella che ha indicato non viene aperta: Il presentatore invece
apre una delle porte che il concorrente non ha scelto e mostra
una capra...A quel punto gli domanda se vuole cambiare idea e
scegliere una delle porte ancora chiuse.
Che cosa gli suggerisce di fare?
Marylin von Savant rispose che bisognava sempre cambiare..."
Christofer risolve il problema di Monty Hall sia attraverso il
procedimento matematico, sia attraverso ciò che lui chiama
"disegno" e che in realtà è un semplicissimo
diagramma a blocchi, con cui è si visualizza chiaramente come
sia opportuno "cambiare" e scegliere una delle porte
ancora chiuse, perché "cambiando" ci sono due
possibilità su tre di vincere l'auto, mentre rifiutando di
"cambiare" c'è soltanto una possibilità su tre di
vincere l'auto.
So che hai dedicato una pagina web al dilemma di Monty Hall, per
cui ci è sembrato opportuno inviarti in allegato il
semplicissimo e chiaro diagramma ad albero...
2. Il paradosso delle tre carte
La scommessa non è equilibrata, ma è a favore del
conduttore.
Indico con B il bianco e con R il rosso.
Le carte sono:
carta 1: B1-B2
carta 2: B3-R1
carta 3: R2-R3
Il lato bianco che si vede potrebbe essere uno dei tre lati
bianchi e potrebbe appartenere alla carta 1 oppure alla carta 2.
Dunque i casi possibili per il lato visibile
sono 3:
B1, B2, B3.
I casi favorevoli all'evento che anche l'altro
lato sia bianco sono 2:
B2, B1
Dunque la probabilità che anche l'altro sia bianco è:
P = 2/3
3. Il paradosso delle tre scatole
Il giocatore sceglie una scatola e
successivamente estrae una moneta, la quale è d'oro.
Qual è la probabilità che l'altra sia d'argento?
La risposta è sempre 1/3.
Il fatto di aver pescato una moneta d'oro non cambia la
probabilità della scelta della scatola effettuata in precedenza.
Comunque, indico con O l'oro e con A l'argento.
Le scatole contengono (ad esempio):
scatola 1: O1-O2
scatola 2: O3-A1
scatola 3: A2-A3
La moneta d'oro estratta potrebbe essere una delle tre O1, O2, O3
e potrebbe essere contenuta nella scatola 1 oppure nella scatola
2.
Dunque i casi possibili per la moneta d'oro sono
3:
O1, O2, O3.
I casi favorevoli all'evento che l'altra moneta
sia d'argento sono soltanto 1:
A1
Dunque la probabilità che l'altra moneta sia d'argento è:
P = 1/3
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