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Un particolare ringraziamento a Marco Caruso, studente di ingegneria elettronica, che mi ha inviato il programma javascript che trovate in questa pagina.
Il programma permette di verificare che il rapporto fra due termini successivi della sequenza di Fibonacci,  fib(n+1) / fib(n) tende al numero aureo phi, per n che tende ad infinito.

Potete modificare le variabili nelle caselle segnate in rosso.

Dal programma javascript si ottiene per iterazioni:
phi=1.618033988749895

Con una calcolatrice scientifica si ottiene:
phi=1.6180339887498948482045868343656
calcolandolo come [1 + sqrt(5)] / 2


Infatti la sequenza di Fibonacci

n_i = n_(i-1) + n_(i-2)

al limite per i->inf dà

n_k = phi * n_(k-1)

n_(k+1) = phi * n_k

Ma essendo anche

n_(k+1) = n_k + n_(k-1)

risulta

phi * n_k = n_k + n_(k-1)

phi = 1 + [ n_(k-1) / n_k ]

phi = 1 + { n_(k-1) / [ phi * n_(k-1) ] }

phi = 1 + 1 / phi

phi^2 = phi + 1

phi^2 - phi - 1 = 0

phi = [1 + sqrt(1+4)] / 2 

phi = [1 + sqrt(5)] / 2

Nella sequenza di Fibonacci ogni numero (dopo i primi due) è la somma dei due che lo precedono: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, eccetera.
Il phi è il quoziente cui tendono i numeri vicini fra loro.

Ultimo aggiornamento: maggio 2005

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