La geometria a teatro

di Ivana Niccolai

Desidero presentare un lavoro che mi è servito dal punto di vista motivazionale per quegli alunni in difficoltà, i quali, finalmente, si sono interessati durante le lezioni di matematica.
E' stato realizzato insieme con i 23 ragazzini, di cui 5 stranieri, della classe 5° B della scuola elementare "G. Garibaldi", di Genova, conclusivo di un percorso didattico iniziato in quarta ed è servito come riflessione sulle esperienze fatte.
Ha favorito negli alunni la capacità di capire e di ragionare e si è creato un clima cooperativo che ha reso significativa l'attività intrapresa, stimolando i bambini all'esercizio dell'intelligenza e all'esplicitazione delle esperienze "geometriche" vissute.
Lo presenteremo come recita di fine anno scolastico e le parti sono state divise in modo che ogni alunno partecipi attivamente o come figura geometrica o come narratore.
La scenografia, consistente in cartelloni, costruzioni e disegni geometrici adeguati, è stata eseguita esclusivamente dai bambini, senza interventi significativi da parte mia.
Per quanto riguarda la musica, che riempirà i silenzi tra un intervento e un altro, è stato preferito dagli alunni, fra i tanti ascoltati, il seguente pezzo musicale: "Concerto de Aranjuez", per chitarra, di Joaquin Rodrigo (compositore spagnolo, nato nel 1901, che fu colpito da cecità a tre anni).

PROGETTO "LA GEOMETRIA ATTIVA"

LABORATORIO DI ANIMAZIONE TEATRALE
PER CAPIRE, SCOPRIRE, INVENTARE, CREARE, STUDIARE

RECITA

PROLOGO
Con il parallelogramma
dialogare è sempre un dramma,

ma il rettangolo va dritto,
alla lode avrebbe diritto.

Il quadrato ha quattro lati:
tutti uguali son squadrati;

la sua forma è regolare,
è un poligono esemplare.

Poi c'è il rombo, non di tuono:
anzi, credo porti il tempo buono.

Il triangolo è una forma geometrichina,
che per ben due volte diventa trina;

ha bisogno della nostra attenzione
affinché s'impari la lezione.

Quadrilatero è il trapezio
e anche con lui c'è qualche screzio.

All'esagono, quello preciso,
conviene si faccia un sorriso;

quindi c'è, di perfezione,
noto a tutti, un gran campione:

il signor cerchio è imparziale,
la distanza dal centro è sempre uguale.

Tutti sanno che il cubo
non somiglia certo a un tubo,

il parallelepipedo non tanto amiamo,
forse le sue formule un po' ignoriamo.

Va da sé, di conseguenza,
che di alcuni solidi non c'è presenza:

il cilindro e l'amico cono
in effetti non ci sono,

con piramide più sfera,
dormon sodo e buona sera.

Nel computer vogliono andare
e in internet navigare;

il programma è molto vario,
non basta più il sussidiario.

Tutto va studiato con piacere
se un buon risultato si vuole ottenere.

Le figure non stanno inerti,
perché noi alunni si diventi ESPERTI.

"Cahier des doleances"
delle figure geometriche piane e solide

1° NARRATORE: E' notte, tutti i bambini dormono tranquilli.

2° NARRATORE: Le figure geometriche piane e solide escono con disinvoltura dal sussidiario, per presentarsi e per discutere tra loro, cercando delle strategie per farsi amare di più dagli alunni della classe V B della Scuola elementare.

3° NARRATORE: Prendono la parola, una dopo l'altra, ordinatamente, dapprima le figure piane.

1° PARALLELOGRAMMA: Siamo i parallelogrammi, siamo quadrilateri, abbiamo quattro lati, con i lati opposti uguali e paralleli, come i binari di un treno.

2° PARALLELOGRAMMA: Per calcolare il perimetro basta sommare le misure dei lati.

3° PARALLELOGRAMMA: (Base 30 cm. e altezza 10 cm.): se si ritaglia lungo l'altezza il mio triangolino a destra e lo si mette a sinistra (o viceversa) si ottiene un bel rettangolo equiesteso. E' facile calcolare la mia area: basta moltiplicare la misura della base per la misura dell'altezza.
La mia area è 30 x 10 = 300 cmq.
Ecco le mie formule inverse:
altezza = area : base 300 : 30 =10cm.
base = area : altezza 300 : 10 = 30 cm.
Queste formule non cambiano, anche se possono cambiare tutte le mie misure.
Giudico simpatiche le mie formule, eppure molti bambini non le amano affatto e non le studiano con impegno.

RETTANGOLO: Io sono il rettangolo. Sono quadrilatero, ho quattro lati, con i lati opposti paralleli e uguali, quindi sono anche un parallelogramma.
Mi chiamano rettangolo perché ho quattro angoli retti; poiché sono un parallelogramma, tutte le mie formule sono uguali a quelle del parallelogramma.

QUADRATO: Sono il quadrato, sono un quadrilatero; ho quattro lati, con i lati opposti uguali e paralleli quindi sono anche un parallelogramma. Ho quattro angoli retti perciò sono anche un rettangolo e avendo i quattro lati tutti uguali ,sono anche un rombo. Avendo tutti i lati e tutti gli angoli uguali sono un poligono regolare.
Per calcolare il perimetro, basta moltiplicare la misura del mio lato per quattro.
Per calcolare l'area basta usare la formula del parallelogramma:
area = base x h; quindi: area = lato x lato.
Consiglierei ai bambini di usare anche le formule del rombo e dei poligoni regolari, che sono meno convenienti, però validissime, perché io, ripeto, sono un tipo particolare di rettangolo, di rombo, e faccio parte dei poligoni regolari.
Forza bambini divertitevi a trovare la mia area, utilizzando la formula dei poligoni regolari!
Se si conosce la misura della mia area e si deve calcolare la misura del lato, la strada da seguire è semplicissima: basta calcolare quel numero che moltiplicato per se stesso dia proprio la misura dell'area.
Ecco un esempio: se l'area misura 81 cmq., il lato misura 9 cm, perché 9 è quel numero che moltiplicato per se stesso dà 81.
Fra tutti i rettangoli isoperimetrici, io mi vanto, perché ho l'area massima, ma devo umilmente ammettere che fra tutti i rettangoli equiestesi io ho il perimetro minimo... Provare per...credere!

ROMBO: Sono il rombo, sono un quadrilatero, ho quattro lati;sono un parallelogramma,avendo i lati opposti paralleli e ho i lati tutti uguali. Anche per me, come per il quadrato ,per calcolare il perimetro basta moltiplicare la misura del lato per quattro. Io non sono un poligono regolare, perché i miei angoli non sono tutti uguali, sono uguali soltanto a due a due.
Essendo un parallelogramma, per calcolare l'area basta moltiplicare la misura della base per la misura dell'altezza.
Spesso, però, nei problemi vengono date soltanto le misure della diagonale maggiore e della diagonale minore; in tal caso l'area si calcola moltiplicando la "D" per la "d" e dividendo il prodotto per due.
I bambini potrebbero divertirsi, disegnando due rombi uguali, ritagliandone uno, seguendo le due diagonali e sistemando i quattro triangolini ottenuti nell'altro rombo, in modo da formare un rettangolo, avente per base la misura di una diagonale e per altezza la misura dell'altra diagonale.
Moltiplicando la "D" per la "d" si ottiene l'area doppia, c'è l'area di due rombi uguali.
Ecco le mie formule inverse:
D = doppia area / d
d = doppia area / D
Qui i bambini fanno un po' di confusione, devo ammetterlo, ma con un po' di esercizio, anche i procedimenti inversi diventano semplici. E' importante l'allenamento costante... Parola di rombo...

TRIANGOLO: Sono il triangolo cioè un poligono di tre lati.
Sono decisamente trino, perché rispetto agli angoli posso essere: acutangolo, ottusangolo e rettangolo, inoltre rispetto ai lati posso essere: scaleno, isoscele, equilatero.
Con due triangoli uguali si forma un bel parallelogramma, perciò la mia area si calcola così:
area = base x altezza / 2
Ecco le mie formule inverse:
b = doppia area / h
h = doppia area / b
Anch' io mi lamento, perché non mi sento affatto circondato dall'affetto dei bambini. Se i ragazzi dedicassero più tempo a costruirmi nelle mie forme diverse, usando matita, righello e goniometro, non mi sentirei più tanto trascurato.

1° TRAPEZIO: Siamo i trapezi, siamo quadrilateri abbiamo quattro lati. I parallelogrammi sono anche trapezi, infatti si può utilizzare la formula dei trapezi per calcolare l'area dei parallelogrammi; invece noi, trapezi, non siamo affatto parallelogrammi, perché abbiamo solo due lati paralleli, gli altri due lati non sono paralleli. Anche noi, come i triangoli, siamo trini: possiamo essere scaleni, isosceli o rettangoli.
Per calcolare il perimetro, anche per noi, come per tutti i nostri amici poligoni, basta sommare i lati. Nel nostro caso si somma la misura della base maggiore, con la misura della base minore e con la misura dei lati obliqui.

2° TRAPEZIO: Costruendo due trapezi uguali, ritagliandoli e sistemandoli opportunamente, si ottiene un bel parallelogramma, che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio.
La mia area, quindi, si calcola così:
area = somma basi x altezza / 2
Formule inverse:
somma basi = area x 2 / altezza
altezza = area x 2 / somma basi
Devo riconoscerlo: molti bambini non mi amano affatto, soprattutto quando devono risolvere i problemi geometrici, o meglio... chilometrici, per le troppe operazioni necessarie.
Sono dispiaciuto perché a me, come a tutti noi, piacciono molto i bambini e mi rattristo nel vederli annoiati e distratti durante la risoluzione dei problemi.
Se potessi parlare con i bambini, suggerirei loro tutto il procedimento e per i calcoli chilometrici chiamerei in aiuto i cari numeri della nostra compagna di sventura: l'aritmetica. Anche lei, poveretta, non è benvoluta dalla maggior parte dei bambini.

ESAGONO REGOLARE: Siamo l'esagono regolare e il pentagono regolare; facciamo parte della famiglia dei poligoni regolari, perché abbiamo tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
Per calcolare il mio perimetro, basta moltiplicare la misura del lato per 6.
Vorrei che i bambini trovassero divertimento nel costruire, con righello e compasso, due esagoni regolari uguali, per poi ritagliare, con le forbici, i dodici triangoli tutti uguali, sistemandoli in modo da ottenere un bel parallelogramma, avente per base il perimetro dell'esagono regolare e per altezza l'apotema.
Ecco la mia formula:
Area = perimetro x apotema / 2
Mi dimenticavo: l'apotema si calcola moltiplicando la misura del lato per il numero fisso. Per me, esagono regolare, il numero fisso è 0,866.
E' il mio numero fisso, perché in qualsiasi esagono regolare il rapporto tra apotema e lato è sempre 0,866.
apotema : lato = 0,866
Per il pentagono regolare il numero fisso è 0,688; infatti in qualsiasi pentagono regolare, grande o piccolo che sia, dividendo la misura dell'apotema per la misura del lato si otterrà sempre 0,688.

PENTAGONO REGOLARE: Caro amico ti sei dimenticato di dire che cos'è esattamente l'apotema. Prima di tutto è di genere maschile e poi è il segmento perpendicolare che dal centro del poligono regolare cade proprio nel punto di mezzo del lato: insomma coincide con l'altezza dei cinque triangoli tutti uguali, in cui io posso essere diviso.
Caro esagono regolare, hai dimenticato anche di parlare delle nostre formule inverse, quindi spetta a me dirle:
Apotema = doppia area / perimetro
Perimetro = doppia area / apotema
Come vorrei che i bambini ci studiassero volentieri!
Sono veramente soddisfatto, quando gli scolari lavorano con entusiasmo, ci disegnano con attenzione, ci ritagliano e ci colorano, facendoci subire trasformazioni meravigliose!

1° CERCHIO: Siamo i cerchi, siamo figure perfette e decisamente imparziali. In una tavola rotonda nessun ospite diventa più importante di un altro, perché non c'è nessun posto privilegiato; infatti ogni punto della circonferenza è equidistante dal centro.
Il diametro è la massima corda, perché passa per il centro.
Il raggio è la metà del diametro, quindi il diametro è il doppio raggio .
I bambini dovrebbero divertirsi a constatare, usando uno spago sottile, come la misura del diametro stia tre volte e qualcosina in più nella misura della circonferenza.
Per calcolare la circonferenza, basta moltiplicare il diametro per 3,14, oppure si può moltiplicare il raggio per 6,28.
Formule inverse
Diametro = circonferenza / 3,14
Raggio = circonferenza / 6,28.

2° CERCHIO: Anche se non sono un poligono, posso essere paragonato a un poligono regolare con tantissimi lati, che finiscono per coincidere con tutti i punti della circonferenza.
Il raggio coincide, così, con l'apotema del poligono regolare.
Per calcolare l'area si moltiplica la misura della circonferenza per la misura del raggio e si divide il prodotto per 2.
Ricordando che la circonferenza si calcola moltiplicando il raggio per 6,28, la formula diventa così
Area = Raggio x 6,28 x Raggio / 2
Dividendo subito il 6,28 per 2 si arriva alla conosciutissima formula tanto usata nella risoluzione dei problemi:
Area = Raggio x Raggio x 3,14.

3° CERCHIO: Io vorrei che tutti i bambini si esercitassero nell'uso del compasso, senza arrendersi di fronte alla prima difficoltà e senza preferire, come al solito, le corse nel salone, consentite durante la ricreazione, da me tanto invidiata. Ho detto "invidiata", sì, perché essa riesce davvero a farsi amare dagli alunni.

4° NARRATORE: Soltanto due figure solide sono uscite dal sussidiario, le altre, come il cilindro, il cono e la sfera, i cosiddetti solidi di rotazione, hanno preferito rimanere dentro al libro, per continuare il loro letargo; sono indignate, in quanto sanno che devono trasferirsi nel libro di geometria della scuola media per poter essere prese in considerazione dai professori e dagli studenti del terzo anno.

5° NARRATORE: In classe quinta elementare si sentono trascurate o meglio ignorate, perché il programma di matematica è troppo vasto, il tempo manca e solo alcuni poliedri vengono studiati.
Adesso sta per parlare un prisma retto, le cui basi sono due rettangoli: è il parallelepipedo rettangolo.

PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO: Ho sei facce rettangolari a due a due uguali. I tre spigoli che escono da uno stesso mio vertice sono le mie dimensioni che vengono chiamate lunghezza, larghezza e altezza.
Non capisco perché voi, figure piane, vi lamentate tanto, i bambini vi studiano sempre e risolvono molti problemi vostri, invece noi solidi, siamo come la povera Cenerentola: rimaniamo in solitudine nel sussidiario, proprio nelle ultime pagine che nessuno legge, nessuno sfoglia.
Mi piacerebbe che i bambini si divertissero a costruire tanti poliedri e vorrei controllassero che per ogni poliedro, regolare o no, c'è sempre una regolarità: sommando il numero dei vertici di un poliedro con il numero delle sue facce e sottraendo il numero degli spigoli il risultato è sempre : 2.
V + F - S = 2
(vertici + facce - spigoli = 2)
Per calcolare l'area della superficie laterale, basta moltiplicare la misura del perimetro di base per l'altezza.
Infatti, se mi aprite, la mia superficie laterale diventa un bel rettangolo che ha per base il perimetro di base e per altezza l'altezza stessa del parallelepipedo rettangolo.
Per calcolare la superficie totale basta aggiungere alla superficie laterale l'area dei due rettangoli di base.
Volume = Area di base x altezza.
Bambini, vi prego, giocate con noi!
Mi piacerebbe essere trattato come un fedele compagno di giochi istruttivi e la mia speranza è quella di veder aumentare la vostra capacità creativa.

CUBO: Sono un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni uguali e mi faccio chiamare "Cubo".
Le mie facce sono sei quadrati tutti uguali.
Ecco le mie formule:
Sl = Area di un quadrato x 4; quindi l x l x 4
ST = Area di un quadrato x 6; quindi l x l x 6.
Per calcolare il volume si possono disporre dentro di me tanti cubetti uguali, di 1 centimetro cubo ciascuno.
Per esempio, questo mio spigolo misura 10 cm., per calcolare il volume si usa la seguente formula:
V = l x l x l.
Infatti risulto scomposto in dieci strati avanti ciascuno dieci file di dieci cubetti, cioè in totale 10 x 10 x 10 = 1000 centimetri cubi.
Cari amici, io propongo di andare tutti insieme ad animare i sogni degli alunni, per spronarli a dedicarci più tempo e più entusiasmo: così finiranno per accorgersi che il loro pensiero logico e la loro fantasia voleranno molto in alto.
A poco a poco, gli scolari impareranno ad amarci proprio come noi li amiamo.
Ricordate? "Omnia vincit amor" (l'amore vince tutto).
Bimbi amateci e studiateci; noi avremo una compagnia giovane e allegra, e voi, alunni, comincerete a trovare veramente piacevole e stimolante lo studio della geometria.

EPILOGO
Tutto il pubblico presente ringraziamo
E in coro noi diciamo:

"La cosa più bella ,che in matematica ci sia,
resta sempre di Euclide la geometria!"

maggio 2001

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo