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Ringrazio Bruno Berselli per le seguenti riflessioni sulla tavola pitagorica.
Questo familiare schema di prodotti ha diverse proprietà che meriterebbero di essere illustrate, ma una di esse mi sembra particolarmente elegante e intuitiva.
La Tavola pitagorica, di solito, viene presentata agli scolari come un quadrato. Così può essere interessante chiedersi se abbia qualche caratteristica legata a tale forma. Ne esiste una, in effetti, pur non essendo l’unica. Vediamola insieme.
Nella figura seguente sono state evidenziate le porzioni 1, 2 e 3, tutte di forma quadrata, cioè con lo stesso numero di righe e colonne. Bene: possiamo verificare che la somma dei termini contenuti in tali porzioni è un numero quadrato.
Abbiamo infatti (per il principio generatore della tabella):
nella porzione 1, (1+2+3+4)(1+2+3+4) = 100 = 102
nella porzione 2, (1+2+3)(7+8+9) = 144 = 122
nella porzione 3, (7+8+9+10+11)(2+3+4+5+6) = 900 = 302.
Ma sicuramente non basta delimitare un quadrato per poter affermare che la somma di tutti i suoi termini sia un quadrato perfetto! La porzione con il perimetro marrone, in effetti, è un esempio: pur avendo lo stesso numero di righe e colonne, la somma dei suoi termini è uguale a 308 = 22x7x11, quindi non è un quadrato.
Data una qualsiasi porzione quadrata della Tavola pitagorica, allora, c’è una regola che permetta di stabilire se la somma dei suoi termini sia un quadrato oppure no?
Esiste, certo, e può essere così formulata:
La somma dei termini di una porzione quadrata è un numero quadrato quando il termine della casella centrale (o la somma dei termini delle quattro caselle centrali) è un quadrato.
Naturalmente, la porzione quadrata presenta una sola casella centrale quando ha un numero dispari di righe (o colonne), altrimenti ha quattro caselle.
Effettivamente,
nella porzione 1, 4+6+6+9 = 25 = 52
nella porzione 2, 16 = 42
nella porzione 3, 36 = 62.
Guardando la porzione con il contorno marrone, al contrario, si ha:
15+20+18+24 = 77
e 77 = 7x11 non è un quadrato.
Dunque, nei quadrati con valore centrale 36 (non importa quante caselle consideriamo) la somma di tutti i termini è un quadrato; nei quadrati con valore centrale 77, invece, no.
Bella proprietà, no? Ma ora bisogna dimostrarla.
Per far questo possiamo determinare, innanzitutto, la somma dei termini di una generica porzione rettangolare della Tavola pitagorica.
Consideriamo lo schema:
Come abbiamo fatto più sopra, scriviamo:
Stot = [p+(p+1)+(p+2)+...+(p+m)][q+(q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+n)]
vale a dire:
Stot = [p(m+1)+m(m+1)/2][q(n+1)+n(n+1)/2]
Il termine m+1 corrisponde al numero delle colonne che compongono il riquadro, mentre n+1 indica il numero delle righe.
Se m = n, la porzione della Tavola pitagorica è un quadrato e perciò possiamo porre, in maniera equivalente:
Stot = (p+m/2)(q+m/2)(m+1)2 = (2p+m)(2q+m)[(m+1)/2]2,
in cui distinguiamo i due casi, riferiti alla prima e alla seconda forma scritta:
Si vede subito, inoltre, che sia (p+m/2)(q+m/2) che (2p+m)(2q+m) risultano moltiplicati per un quadrato. Pertanto, affinché Stot sia un quadrato occorre e basta che siano quadrati anche (p+m/2)(q+m/2) e (2p+m)(2q+m).
Dimostrazione compiuta.
Un caso particolare. Se p = q, allora (p+m/2)(q+m/2) = (p+m/2)2 e (2p+m)(2q+m) = (2p+m)2 : questo vuol dire che in qualsiasi quadrato con il centro sulla diagonale [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...], indipendentemente dal numero delle caselle che lo compongono, la somma dei termini è un quadrato perfetto.
Così abbiamo osservato la Tavola pitagorica rispetto a una
caratteristica riguardante i quadrati dei numeri interi, che sono una
particolare forma di numeri poligonali o figurati.
Tali numeri indicano la quantità di punti con cui si può formare un
determinato poligono regolare. A seconda della figura generata, pertanto, avremo
i numeri triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali etc.
Giusto per fare qualche esempio:
4 è un numero quadrato e corrisponde al numero di punti che possiamo disporre su un foglio per ottenere un quadrato:
15 è un numero triangolare perché con 15 punti possiamo rappresentare un triangolo:
35, infine, è un numero pentagonale, essendo la quantità di punti con cui possiamo comporre un pentagono:
I numeri poligonali si possono ottenere sommando gli elementi di
progressioni aritmetiche come:
1+0*d, 1+1*d, 1+2*d, 1+3*d, 1+4*d, ...
Prendendo d = 3, la successione diventa:
1, 4, 7, 10, 13, ...
Le somme dei primi termini valgono:
1, 1+4 = 5, 1+4+7 = 12, 1+4+7+10 = 22, 1+4+7+10+13 = 35, ...
Le figure geometriche ad essi associate hanno d+2 lati, pertanto tutti i numeri
appena trovati sono pentagonali.
A ogni tipo di numero poligonale corrisponde un’espressione che ne permette l’immediato
calcolo.
La tabella che segue raccoglie i primi numeri poligonali e le relative formule,
senza semplificazioni (per apprezzarne meglio la regolarità):
Abbiamo detto che i quadrati sono numeri poligonali. Potremmo
allora chiederci se tali numeri presentino qualche particolarità rispetto alla
Tavola pitagorica.
In effetti, si possono osservare distribuzioni molto regolari dei numeri
poligonali all’interno della Tavola pitagorica.
Ma esiste un’interessante connessione fra quest’ultima e lo schema visto
sopra che merita attenzione. Si tratta di una relazione che permette di
trasformare la Tavola pitagorica nella tabella dei numeri poligonali, in modo
semplice e uniforme. (Naturalmente, si può compiere anche l’operazione
inversa.)
Questa proprietà ha un certo fascino e tuttavia può essere dimostrata
facilmente.
Consideriamo gli specchietti numerici seguenti (non sono altro che espansioni
della Tavola pitagorica e della tabella dei numeri poligonali, in cui è stato
incluso qualche indice negativo per spostarci su un piano più generale, meno
condizionato dalle forme tradizionali):
Se indichiamo con
pit(m,n) il termine comune alla riga m e alla colonna n della tabella superiore, e indichiamo con
pol(m,n) il termine comune alla riga m e alla colonna n della tabella inferiore,
possiamo scrivere:
pol(m,n) = pit(m,n)-(m+n-2)+(m-2)*(n-1)*(n-2)/2.
Si verifica infatti, sostituendo pit(m,n) con m*n e ricorrendo a brevi passaggi
algebrici, che:
pol(m,n) = m*n-(m+n-2)+(m-2)*(n-1)*(n-2)/2
= (m-2)*(n-1)+n+(m-2)*(n-1)*(n-2)/2
= n+(m-2)*(n-1)*n/2
= n*[(m-2)*n-(m-4)]/2.
Al secondo membro riconosciamo lo stesso tipo di formula di quelle indicate
nella prima tabella dei numeri poligonali che abbiamo visto.
Un esempio. Se pit(8,6) = 48, allora: 48-(8+6-2)+(8-2)*(6-1)*(6-2)/2 = 96, e in
effetti: pol(8,6) = 96 (sesto numero ottagonale).
Ecco, dunque, ciò che volevamo trovare: una certa combinazione degli indici di
riga e di colonna permette di trasformare ciascun elemento della Tavola
pitagorica in un numero poligonale, e viceversa.
Ultimo aggiornamento: agosto 2005
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