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Appunti scolastici in forma provvisoria e in continuo divenire.

Il mondo additivo

Teoria minima

Una piccola premessa.

Il mondo additivo di cui parlo è quello dei numeri naturali, delle addizioni e delle sottrazioni.

Come sono definiti i numeri naturali in matematica?
Come sono definite le operazioni di addizione e sottrazione?
Quali sono le loro proprietà fondamentali?

A me piace l'impostazione di Giuseppe Peano.
Egli definisce l'addizione ricorsivamente (o induttivamente) e definisce la sottrazione come operazione inversa dell'addizione.

Significato dei simboli usati:
N0 significa "numero", cioè è il nome comune di 1, 2, 3, ...
0 significa "zero"
' significa "successivo". Se a è un numero, a' è il successivo di a
=> significa "implica logicamente"
<> significa "diverso da"
e significa "appartiene", è il simbolo che indica l'appartenenza di un elemento ad un insieme o classe

Gli assiomi dell'aritmetica secondo Giuseppe Peano
N
0, 0, ' indicano le tre idee primitive per mezzo delle quali si possono definire tutte le altre idee dell'aritmetica.
Possiamo definire matematicamente queste tre idee?
Lo possiamo fare implicitamente, attraverso un sistema di assiomi.

0. N0 e Cls (N0 è una classe, un insieme)

1. 0 e N0 (Zero è un numero)

2. a e N0 => a' e N0 (Se a è un numero, allora il suo successivo è un numero)

3. Principio di induzione:
a) se una condizione o proposizione P è soddisfatta per n=0;
e se:
b) il fatto che sia soddisfatta per n implica che è soddisfatta per n+1
allora tale proprietà è soddisfatta per ogni n.

4. a,b e N0 , a' = b' => a = b (Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali)

5. a e N0 => a' <> 0 (0 non è il successivo di alcun numero)

Definizione di addizione
1.
a
e N0 => a+0=a
2.
a,b
e N0 => a+b' = (a+b)'

Come si possono esprimere, a parole, le espressioni 1. e 2.?
1. Se a è un numero, allora a+0 vale a.
2. Se a e b sono numeri, allora la somma di a con il successivo di b è uguale al successivo della somma di a con b. Per "somma" si intende il risultato dell'addizione.

L'addizione gode delle proprietà associativa e commutativa.

Associativa
a
,b,c
e N0 => (a+b)+c = (a+b)+c
Questa proprietà deve essere dimostrata.

Per definizione: a+b+c = (a+b)+c

Commutativa
a,b
e N0 => a+b = b+a
Questa proprietà deve essere dimostrata.

Definizione di sottrazione
Scrivo la definizione "a parole".
Se a è un numero e b è un numero maggore o uguale di a, allora b-a indica quel numero x tale che x+a vale b.

Un'altra possibile assiomatizzazione dell'aritmetica
Ecco un'altra assiomatizzazione dell'aritmetica espressa in una notazione più "moderna"

Da notare che gli assiomi 3, 4 definiscono l'addizione, mentre gli assiomi 5, 6 definiscono la moltiplicazione in N0.
L'assioma 7 è in realtà uno schema di assiomi che esprime il principio di induzione. Si chiama "schema di assiomi" perché rappresenta non uno ma infiniti assiomi: infatti al posto di P possono essere sostituite infinite proposizioni.

1. Addizione

Definizione
Addizionare
due numeri naturali significa contare, di seguito al primo, tanti numeri quante sono le unità del secondo, nella serie dei numeri naturali.

Il simbolo dell'addizione è: +

3 + 4 = 7 perché 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

a + b = c

I numeri da addizionare si chiamano termini dell'addizione o addendi e il risultato si chiama somma o totale.

56

+

89

=

145

addendo

 

addendo

 

somma

La somma di tre o più numeri naturali, dati in un certo ordine, è il numero che si ottiene addizionando al primo il secondo, alla somma ottenuta il terzo numero e così via.

3 + 5 + 6 + 10 =
= 8 + 6 + 10 =
= 14 + 10 =
= 24

2. Proprietà dell'addizione

Proprietà commutativa.
La somma non cambia cambiando l'ordine degli addendi.

3 + 2 = 2 + 3

a + b = b + a

Proprietà associativa.
La somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.

3 + 7 + 5 = (3 + 7) + 5 = 3 + (7 + 5)

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Proprietà dissociativa.
La somma di due o più addendi non cambia se ad uno degli addendi si sostituiscono due o più addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.

10 + 7 = 6 + 4 + 7

(a + b) + c = a + b + c

Micro-Test

3. Sottrazione

Definizione
Sottrarre
da un numero naturale un secondo numero, significa trovare un terzo numero che addizionato al secondo dia come risultato il primo numero.

Il simbolo della sottrazione è -

7 - 3 = 4 perché 4 + 3 = 7

a - b = c perché c + b = a

Il primo numero si chiama minuendo, il secondo sottraendo e il risultato differenza.

254

-

72

=

182

minuendo

 

sottraendo

 

differenza

Se b>a, la sottrazione non ha risultato in N.

5 - 8 non ha risultato in N

4. Proprietà della sottrazione

Proprietà invariantiva.
Addizionando uno stesso numero ad entrambi i termini della sottrazione, la differenza non cambia.

15 - 10 = (15 + 3) - (10 + 3) = 18 -13 = 5

a - b = (a + c) - (b + c)

Lo stesso accade sottraendo da entrambi i termini della sottrazione uno stesso numero, non maggiore del sottraendo.

18 - 14 = (18 - 8) - (14 - 8) = 10 - 6 = 4

a + b = (a - c) - (b - c)

Micro-Test

5. I numeri 0 e 1 nell'addizione e nella sottrazione

Nei seguenti esempi la lettera a indica un qualsiasi numero naturale.

Addizione

a + 0 = a

0 + a = a

a + 1 = il successivo di a

1 + a = il successivo di a

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

a + a = 2a, il doppio di a

Sottrazione

a - 0 = a

0 - a = il risultato non è in N

a - 1 = il precedente di a

1 - a = il risultato non è in N
tranne nei casi a = 0, a = 1

0 - 0 = 0

0 - 1 = il risultato non è in N

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

a - a = 0

 

Micro-Test

6. Cenno ai numeri negativi (Relativi)

Dicembre 2003


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