[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

La frazione generatrice di un numero decimale periodico

Tutti abbiamo studiato quella regola complicata che serve a trasformare un numero decimale periodico in una frazione, ma... chi è capace di dimostrarla?

Alcuni esempi

Qual è la frazione generatrice di 1,2?

Come verifica possiamo calcolare:

6 : 5 = 1,2

Qual è la frazione generatrice di 1,222...? (il 2 si ripete infinite volte)

La serie prosegue all'infinito, ma esiste una semplice formula per calcolarne la somma.

Come verifica possiamo calcolare:

11 : 9 = 1,222...

Qual è la frazione generatrice di 1,2888...? (l'8 si ripete infinite volte)

Anche in questo caso esiste una semplice formula per calcolare la somma della serie infinita.

Come verifica possiamo calcolare:

116 : 90 = 1,2888...

Qual è la frazione generatrice di 1,52803803803803? (l'803 si ripete infinite volte)

Come verifica possiamo calcolare:

152651 : 99900 = 1,52803803803...

Nomenclatura e regola

Consideriamo ad esempio il numero 1,2888..., con la cifra 8 che si ripete infinite volte.

• si dice periodo il gruppo di cifre che si ripete (nell'esempio, il periodo è 8)
• si dice antiperiodo il gruppo di cifre che sta tra la virgola e il periodo (nell'esempio, l'antiperiodo è 2)
• se l’antiperiodo non c’è, si parla di numero periodico semplice (ad esempio 1,222... è un numero periodico semplice)
• se invece l’antiperiodo è presente, si parla di numero periodico misto (ad esempio 1,2888... è un numero periodico misto)

La regola dice che:

Per costruire la frazione generatrice di un numero decimale periodico si scrive:

• al numeratore, il numero dato senza la virgola e senza il segno di periodo, meno (sottrazione) tutto ciò che sta prima del periodo;
• al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.

Dopo aver fatto queste operazioni dobbiamo ridurre la frazione ai minimi termini.

La spiegazione

Ma come si spiega questa regola?

Si può spiegare con la tecnica delle equazioni sottratte.

1° caso: prendiamo un numero decimale periodico semplice, con il periodo da 1 cifra. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10:

Sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:

2° caso: prendiamo un numero decimale periodico semplice, con il periodo da 2 cifre. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 100:

Sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:

3° caso: prendiamo un numero decimale periodico misto, con il periodo e l'antiperiodo da 1 cifra. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10 e per 100:

Sottraiamo membro a membro le ultime due equazioni:

Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:

4° caso: prendiamo un numero decimale periodico misto, con l'antiperiodo da 2 cifre e il periodo da 3 cifre. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10^2 e per 10^3:

Sottraiamo membro a membro le ultime due equazioni:

Applichiamo la proprietà invariantiva al secondo membro:

Più in generale, prendiamo un numero decimale periodico misto, con l'antiperiodo da n cifre e il periodo da m cifre. Chiamiamolo x e moltiplichiamolo per 10ⁿ e per 10^m.

Sottraendo, come nei casi precedenti, le due equazioni membro a membro, otterremo la frazione generatrice del numero.

Dobbiamo ridurla ai minimi termini, se non lo è già.

E con i numeri decimali finiti?

Il procedimento funziona anche con i numeri interi e decimali finiti, purché immaginiamo tali numeri come numeri decimali periodici di periodo 0.

Ad esempio:

Un altro esempio: la frazione generatrice di 12,47 si trova:

Nella corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali e le rappresentazioni decimali periodiche bisogna escludere il periodo 9, altrimenti i numeri decimali finiti hanno sia periodo 0 sia periodo 9.

D'altronde un numero di periodo 9 non può essere ottenuto come quoziente di una divisione.

O no?

Data creazione: gennaio 2009

Ultimo aggiornamento: gennaio 2009

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