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Teoria minima
Appunti scolastici in forma provvisoria e in continuo divenire.
Definizione
Si chiama potenza di un numero un prodotto di più fattori uguali a
quel numero.
34 = 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 = 81
L'espressione 34 (tre alla quarta) si chiama potenza:
il 3 è la base e indica il fattore che deve essere ripetuto
il 4 è l'esponente e indica il numero di fattori uguali
an = a ´ a ´ a ´ ... ´ a (a deve essere ripetuto n volte)
Casi particolari
a0 = 1
a1 = a
00 = 1
Come si leggono le potenze
| 20 : due alla zero
51 : cinque alla prima o alla uno 132 : tredici alla seconda o al quadrato |
73 :sette alla terza o al cubo
24 : due alla quarta 255 : venticinque alla quinta |
| a0 = 1
a1 = a 1n = 1 0n = 0 (con n>0) |
11 = 1
10 = 1 01 = 0 00 = 1 |
| 100 = 1
101 = 10 102 = 100 103 = 1000 ... Le potenze di 10 si ottengono facendo seguire alla cifra 1 tanti 0 quante sono le unità dell'esponente. |
20 = 1
21 = 2 22 = 4 23 = 8 ... Le successive potenze di 2 si calcolano partendo dal 2 (o dall'unità) e raddoppiando ogni volta il numero precedente. |
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Moltiplicazione
Potenze aventi la stessa base
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è la
potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli
esponenti.
am ´ an = am+n
42 ´ 43 = 42+3 = 45
Nota bene:
45 ´ 4 = 45+1 = 46
Potenze aventi lo stesso esponente
Il prodotto di più potenze aventi lo stesso esponente è la potenza
che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso
esponente.
am ´ bm = (a ´ b)m
23 ´ 43 = 83
Potenze aventi basi ed esponenti diversi
Se le potenze hanno basi ed esponenti diversi occorre eseguire i
calcoli per esteso.
34 ´ 25 = 81 ´ 32 = 2592
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Divisione
Potenze aventi la stessa base
Il quoziente fra due potenze aventi la stessa base è la potenza
che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli
esponenti.
am : an = am-n
75 : 73 = 75-3 = 72
Nota bene:
75 : 7 = 75-1 = 74
73 : 73 = 73-3 = 70 = 1
73 : 72 = 73-2 = 71 = 7
73 : 75 = 73-5 = la soluzione non è nei numeri naturali
Potenze aventi lo stesso esponente
Il quoziente fra due potenze aventi lo stesso esponente è la
potenza che ha per base il quoziente fra le basi e per esponente lo stesso
esponente.
am : bm = (a : b)m
123: 43 = (12 : 4)3 = 33
Potenze aventi basi ed esponenti diversi
Se le potenze hanno basi ed esponenti diversi occorre eseguire i
calcoli per esteso.
64 : 32 = 1296 : 9 = 144
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Addizione e sottrazione
Non esistono regole generali per l'addizione e la sottrazione di potenze, per cui occorre eseguire i calcoli per esteso.
23 + 32 = 8 + 9 = 17
52 - 24 = 25 - 16 = 9
Potenza di potenza
La potenza di una potenza è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
(am)n = am ´ n
(53)2 = 53 ´2 = 56
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Radice quadrata
Definizione
Si chiama radice quadrata di un numero quel numero il cui quadrato è
uguale al numero dato.
Il simbolo della radice quadrata è:
Öa = b perché b2 = a
Ö25 = 5 perché 52 = 25
Radice cubica
Definizione
Si chiama radice cubica di un numero quel numero il cui cubo è uguale al
numero dato.
Il simbolo della radice cubica è: 3Ö
3Öa = b perché b3 = a
3Ö64 = 4 perché 43 = 64
Radice ennesima
Definizione
Si chiama radice n-esima di un numero quel numero che elevato alla n-sima
potenza dà come risultato il numero dato.
Il simbolo della radice n-sima è: nÖ
4Öa = b perché b4 = a
4Ö81 = 3 perché 34 = 81
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Definizione
Il logaritmo in base a di un numero b è l'esponente n che
attribuito alla base a dà come risultato il numero b.
Il simbolo del logaritmo è: log
loga b = n significa che: an = b e si legge "logaritmo in base a di b uguale n"
log3 81 = 4 perché: 34 = 81
| Micro-Test |
Alcune radici danno come risultato un numero intero.
Ad esempio le radici quadrate e cubiche dei numeri che sono rispettivamente
quadrati e cubi perfetti.
Ö9216 = 96
Ö9261 = 21
Altre radici danno come risultato un numero decimale finito.
Ö118,81 = 10,9
Ö39,304 = 3,4
Altre ancora,. e sono la maggioranza, danno come risultato un numero con infinite cifre dopo la virgola. Tali cifre decimali si susseguono senza alcuna regolarità.
Ö2 = 1,4142135623736956488616887242097...
I numeri dì questo tipo si chiamano numeri irrazionali.
Se vogliamo scriverli sotto forma dì numero con la virgola, dobbiamo approssimarli ad una data unità: decimi, centesimi, millesimi, etc.
Ad esempio, siccome:
Ö11 = 3,3166247903553998491149327366707 ...
possiamo scrivere:
Ö11 = 3,3 approssimato ai decimi
Ö11 = 3,32 approssimato ai centesimi
Ö11 = 3,317 approssimato ai millesimi
Ö11 = 3,3166 approssimato ai decimillesimi
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Potenza, radice e logaritmo a confronto
Elevamento a potenza: dati la base e l'esponente si calcola il valore della potenza
Estrazione di radice: dati il valore della potenza e l'esponente si calcola la base
Calcolo del logaritmo: dati il valore della potenza e la base si calcola l'esponente
| Micro-Test |
Prendiamo come esempio il numero 25379.
Esso è formato da:
2 decine di migliaia + 5 migliaia + 3 centinaia + 7 decine + 9 unità
La stessa cosa può essere espressa così, in termini matematici:
25379 = 20000+ 5000+ 300+ 70 + 9
O anche:
25379 = 2 x 10 000 + 5 x l 000 + 3 x 100 +7 x 10 + 9 x 1
Oppure, con l'uso delle potenze di 10:
25379 = 2 x 104 + 5 x 103 + 3 x 102 +7 x 101 + 9 x 100
| Micro-Test |
| Una piccola nota.
La potenza può essere definita per induzione (o ricorsivamente): Definizione di potenza |
Dicembre 2003
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