La meccanica quantistica è nata agli albori del 20^o secolo dalla necessità di motivare fenomeni naturali inspiegabili con la meccanica Newtoniana , quali , ad esempio , la radiazione di un corpo nero, l’effetto fotoelettrico e gli spettri atomici dei gas.

Queste e altre osservazioni nel comportamento delle particelle, in particolare il loro dualismo corpuscolo-onda, hanno portato ad introdurre il concetto di quantizzazione.  

E’ oramai noto che i livelli energetici occupati dagli elettroni attorno all’atomo, non possono assumere un valore qualsiasi, ma debbono avere valori determinati, distinti gli uni dagli altri.  

I possibili livelli occupati, ad esempio in un atomo di idrogeno, sono dati , in base alle equazioni di Schroedinger, da:

 Con mo ad indicare la massa dell'elettrone, q la sua carica, eo costante dielettrica del vuoto e h costante di Planck.

Fig.1.1.1. Sono riportati i livelli energetici dell'atomo di idrogeno e i possibili salti. Sono evidenziati i primi sei livelli corrispondenti ad n = 1, 2, 3, 4, 5 e 6, e le possibili transizioni che coinvolgono il più basso livello (n =1 ). Quelle in rosso rappresentano le prime 5 transizioni della serie di Lyman. Quella blù indica la prima transizione di Rydberg corrispondente a 13.6 eV, equivalenti all'energia di ionizzazione per il primo livello.

Il passaggio da un livello all’altro è possibile solo mediante l’assorbimento, per il salto a quello più alto, o l’emissione, per il salto a quello più basso, di un "quanto" di energia. 

Tale energia può avere varia origine (urti, fotoni, ecc..), ma la cosa importante è che essa debba essere uguale alla differenza di energia tra i livelli, altrimenti il passaggio non avviene, almeno in linea generale.

Fig.1.1.2 - Sono illustrati i fenomeni dell'assorbimento ( sopra) e dell'emissione ( sotto).

Lo schema proposto è valido per un atomo libero, o debolmente legato agli altri, ad esempio un atomo di gas, come quello illustrato, ed è analogo al comportamento di una particella in una buca di potenziale.  

Quando gli atomi interagiscono fra loro, ed in special modo quando cominciano ad intervenire legami stabili, e conseguenti configurazioni fisse degli atomi stessi, come avviene nei solidi, la situazione cambia notevolmente. 

Gli elettroni di ciascun atomo possono occupare ( solo 2 per ogni livello, secondo il principio di esclusione di Pauli ) livelli talmente vicini tra loro, in termini energetici, e talmente numerosi, da distribuirsi su "bande di energia". 

Anche in questo caso, però, esisteranno delle "bande" di energia permesse e delle "bande" di energia proibite. La differenza di energia corrispondente alla separazione fra le bande contigue, viene indicata comunemente "band gap". Poichè gli elettroni interessati al fenomeno della conduzione elettrica sono gli elettroni sulle orbite esterne, cioè gli elettroni di valenza, l'ultima banda occupata viene comunemente indicata come "banda di valenza", mentre la prima banda vuota viene comunemente indicata come "banda di conduzione"

Fig. 1.1.3 - Sono evidenziate in verde le bande di energia permesse. La banda in colore arancione è la "band-gap" , intervallo di energie proibite, corrispondente come valore ad Ec - Ev, con Ec ad indicare il valore inferiore della banda di conduzione ed Ev il valore superiore della banda di valenza.

Questo modello risulta particolarmente semplice per capire il diverso comportamento dei materiali conduttori, isolanti e semiconduttori.

Applicare un campo elettrico equivale, formalmente, ad inclinare le bande, per cui gli elettroni possono rotolare in basso.

Secondo questo schema il basso corrisponde a potenziali elettrici più elevati.

La conducibilità elettrica, infatti, nei solidi è dovuta essenzialmente al moto degli elettroni all'interno degli stessi. Perché gli elettroni possano muoversi per effetto di un campo elettrico esterno, occorre che possano aumentare la loro energia occupando livelli energetici più alti, naturalmente non occupati.

Fig 1.1.5- Le situazioni a) e b) corrispondono a quanto si verifica in un conduttore in cui si ha una banda semipiena o la sovrapposizione di una banda piena e di una vuota. La situazione c) con una band-gap relativamente piccola corrisponde alla situazione in un semiconduttore. La situazione d) è quella di un isolante in cui la band-gap è elevata.

E' del tutto evidente che se i livelli di una banda sono occupati per metà, è molto facile che gli elettroni possano mettersi in moto avendo la possibilità di aumentare la loro energia, mentre risulta impossibile per quelli di una banda completamente piena, a meno che non riescano, in qualche modo, ad acquistare energia sufficiente per passare ad una banda successiva, che si presume vuota. 

Le varie situazioni possibili sono riportate in figura , dalle quali risulta evidente il diverso comportamento degli isolanti, e dei conduttori, rispetto ai semiconduttori.

La ampiezza energetica della banda proibita ha una dipendenza dalla temperatura: diminuisce, cioè, all'aumentare della temperatura . Si può capire questo comportamento se consideriamo che un aumento di temperatura fa aumentare l'agitazione degli atomi rispetto alla loro posizione nel reticolo cristallino, aumentando la distanza interatomica media. Gli elettroni vedono perciò un potenziale minore e quindi le energie permesse assumono valori diversi.

La dipendenza dell'ampiezza Eg della band-gap dalla temperatura ha la seguente espressione, ricavata sperimentalmente:

dove Eg (0) è la ampiezza della band-gap allo zero assoluto, T la temperatura in gradi Kelvin, a e b sono parametri derivati sperimentalmente. Nella tabella sottostante riportiamo i valori rilevati per i semiconduttori più comunemente usati, cioè il Silicio (Si), il Germanio (Ge) e l'Arseniuro di Gallio (GaAs).