[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Un puzzle basato su una famiglia di dissezioni del quadrato in tre pezzi con i quali si può costruire un triangolo equilatero... con un foro.
Provate a dissezionare un quadrato in tre parti come illustrato nella figura 1 qui sotto.
Potete stampare il disegno su cartoncino oppure costruire la dissezione seguendo le indicazioni riportate dopo.
Il lato del quadrato dovrebbe misurare almeno 10 cm.
Figura 1
Domanda 1.
Sistemate i tre pezzi in modo da formare un triangolo equilatero.
Attenzione: il triangolo equilatero avrà un foro triangolare!
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Ecco, nella figura 2, alcune indicazioni essenziali per costruire la dissezione con misure indicative, arrotondate. Le misure sono espresse in millimetri.
Figura 2
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Domanda 2.
Se indichiamo con a la lunghezza del lato del quadrato, quali sono le misure esatte dei lati dei tre poligoni che compongono la dissezione?
Scriveteli nella figura figura 3 seguente. Usate dei radicali.
Figura 3
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Domanda 3.
Analizzate le misure del triangolo forato che si ottiene ricomponendo i pezzi del quadrato.
Dove si trova esattamente il foro triangolare?
Ora chiediamoci: è possibile costruire dissezioni in tre pezzi che abbiano il foro triangolare in altre posizioni?
La risposta è sì, e si possono seguire almeno due strade:
Qui sotto ci sono due esempi.
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Esempio 1. Mantenere la logica costruttiva (figura 4).
Il foro triangolare, rappresentato con triangoli verdi, può spostarsi solo in alto o in basso.
Figura 4
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Esempio 2. Cambiare logica (figura 5).
Questo esempio mostra una dissezione in tre pezzi più "facili" dei precedenti.
Figura 5
La figura 6 seguente, Tratta da un'idea di Maurizio Morandi, dà un'idea dello spazio di libertà del foro triangolare, rappresentato con triangoli verdi.
In ogni caso, se prendiamo il lato del quadrato come unità, il foro è un triangolo equilatero di lato 1-1/√3.
Figura 6
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Domanda 4.
Inventate e costruite il vostro puzzle in tre pezzi che permetta di trasformare un quadrato in un triangolo equilatero.
Con o senza foro.
Il problema della dissezione che trasforma un quadrato in un triangolo
equilatero in 4 pezzi fu posto da Henry Ernest Dudeney per la prima
volta nel 1902 sul Weekly Dispatch.
Successivamente, Dudeney pubblicò la celebre dissezione articolata nel suo libro The Canterbury Puzzles (1907).
In una nota diede credito da un certo Mr. C. W. M'Elroy di
essere stato l'unico a inviargli la soluzione corretta.
Questa dissezione,
illustrata nella figura 7, è nota come
Haberdasher’s
Puzzle.
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Figura 7
Immagine tratta da Henry Ernest Dudeney, The Canterbury
puzzles and other curious problems, second edition, London, 1919, pag.179
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Nel 2002, Greg Norman Frederickson, nel volume Hinged Dissections: Swinging & Twisting, ha analizzato ampiamente queste strutture, confermando che la soluzione di Dudeney è l'unica dissezione articolata (hinged) nota con il minor numero di pezzi possibile.
Tuttavia rimane ancora aperta la possibilità di una dissezione in tre pezzi con ribaltamenti, cioè con pezzi che possono essere capovolti.
Domanda 1.
Sistemate i tre pezzi in modo da formare un triangolo equilatero.
Attenzione: il triangolo equilatero avrà un foro triangolare!
Figura 8
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Domanda 2.
Se indichiamo con a la lunghezza del lato del quadrato, quali sono le misure esatte dei lati dei tre poligoni che compongono la dissezione?
Scriveteli nella figura seguente. Usate dei radicali.
Figura 9
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Domanda 3.
Analizzate le misure del triangolo forato che si ottiene ricomponendo i pezzi del quadrato.
Dove si trova esattamente il foro triangolare?
Figura 10
Il triangolo grande e il foro hanno lo stesso baricentro.
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Domanda 4.
Inventate e costruite il vostro puzzle in tre pezzi che permetta di trasformare un quadrato in un triangolo equilatero.
Con o senza foro.
La risposta è vostra. Questa è la mia. Salvo errori.
Figura 11
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Pace e bene a tutti.
GfBo
Data creazione: marzo 2026
Ultimo aggiornamento: marzo 2026
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