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16 giugno 2024

[A24-34] Il meme dell'unicorno 2

Prima di correggere un errore di matematica, cerca sempre un mondo possibile in cui non è un errore. La tua consapevolezza si alzerà.

In effetti, la derivata aritmetica esiste ed è un argomento ricco di sviluppi interessanti.

Vedi il libro: Giorgio Balzarotti e Paolo P. LavaLa derivata aritmetica. Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri, Milano, Hoepli Editore, 2013.

Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico.

Meme dell'unicorno sulla derivata aritmetica

14 giugno 2024

[A24-33] Il meme dell'unicorno 1

Cari amici, ultimamente ho visto il meme dell'unicorno applicato agli errori di matematica. Se commetti un errore, l'unicorno ti infilza senza pietà, ma a volte è troppo impulsivo.

Perciò ho aggiunto un passaggio per dare la possibilità di spiegarsi meglio.

Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico.

 

Meme ubicorno quadrato del binomio in Z/2Z

10 giugno 2024

[A24-32] Tre L-tetramini

Siete capaci di sistemare questi 3 L-tetramini su un piano, senza sovrapposizioni,  in modo da ottenere una figura con un asse di simmetria?

Quante soluzioni ci sono?

E' necessario ribaltare un tetramino?

Tre L-tetramini

Da un'idea di Donald Bell.

5 giugno 2024

[A24-31] Sette nell'esagono regolare

Dal Forum.

Impacchettare 7 figure congruenti di area massima possibile in un esagono regolare.

Ecco alcune belle soluzioni in progressione di Maurizio59 e Quelo.

Packing 7 figure nell'esagono

3 giugno 2024

[A24-30] Cinque nel triangolo equilatero

Dal Forum.

  1. E' possibile dissezionare un triangolo equilatero in 5 parti congruenti?
  2. E se non è possibile, allora come potremmo farci entrare 5 figure congruenti di area massima?

Risposte.

  1. Sì, ma ciascuna parte è una figura disconnessa.
  2. L'area massima di ciascuna figura è il 19,775...% dell'area del triangolo invece del 20%.

Packing triangolo equilatero 5 figure

(1) Soluzione del matematico russo Mikhail Patrakeev, in 5 parti congruenti ma disconnesse.

(2) Un mio tentativo con parti connesse.

(3) Un risultato migliore, di Maurizio59.

(4) Il risultato con area massima, di Maurizio59.

31 maggio 2024

[A24-29] La top five del forum

Care amiche e cari amici, al Forum di BASE Cinque partecipano poche donne e molti uomini, però mi fa piacere comunicarvi che i primi due posti della top five delle discussioni più seguite di tutti i tempi spettano a due donne!

Ecco la top five (dall'inizio del Forum al 31 maggio 2024).

  1. Filiera per le segnalazioni, da Ivana, 444.487 visite.
  2. Figure esagonali composte da esagoni regolari, da mariaangelone, 280.146 visite.
  3. Prodotto di n fattori con n naturale, da infinito, 178.820 visite.
  4. Elucubrazioni fra segmenti consecutivi e punti, da fabtor, 182.149 visite.
  5. Scacchi delirium!, da 0-§, 130.004 visite.

Care amiche, questo è un invito al Forum!

27 maggio 2024

[A24-28] Dissezione della mitra in quadrato

Vesa Timonen ha pubblicato su GitHub una dissezione della mitra in 4 pezzi.

Le dissezioni precedenti più note erano quelle di Samuel Loyd e Henry Dudeney.

  1. La dissezione di Samuel Loyd in 4 pezzi, purtroppo sbagliata perché la seconda figura non è un quadrato (1901).
  2. La dissezione di Henry Dudeney in 5 pezzi (1911).
  3. La dissezione di Vesa Timonen in 4 pezzi (2024).

Dissezione della mitra in quadrato

Ma... qual è la definizione della figura geometrica che si chiama mitra?

20 maggio 2024

[A24-27] La metà della bottiglia

Nell'articolo La metà della bottiglia vi propongo un problema semplice ma ricco di spunti, dalla misura dei volumi alla metrologia legale e persino alla topologia.

Hai una bottiglia a forma di mezzaluna con bocca, naso e occhi quasi piena di sciroppo gusto blu tropical.

Ogni tanto prelevi un po' di liquido per preparare una bevanda.

Come puoi fare per sapere quando la bottiglia è piena a metà, con una buona approssimazione?

Puoi usare solo un pennarello e tracciare al massimo tre segni sulla bottiglia.

Bottiglia a mezza luna

8 maggio 2024

[A24-26] EU Artificial Intelligence ACT

Ho preso lo spunto dalla pubblicazione dell'European Artificial Intelligence ACT.

L'EU A.I. Act è un regolamento lungo 458 pagine che si propone di proteggere le persone dai rischi dell'intelligenza artificiale.

Si occupa di molti settori ESCLUSO quello militare (pag. 23 e successive). Il testo in italiano (del 6/3/2024) si può scaricare dal sito del Parlamento Europeo, qui:

https://www.europarl.europa.eu/doceo/document/A-9-2023-0188-AM-808-808_IT.pdf

C'è qualcosa dentro di te...

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Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico.

2 maggio 2024

[A24-25] Geometrie del cavolo rosso

Ogni volta che taglio un cavolo rosso rimango affascinato dall’intrico di linee che le sue foglie formano per riempire completamente il volume quasi sferico che hanno a disposizione.

Nell'articolo Geometrie del cavolo rosso vi propongo un percorso facile, tra matematica e arte, alla scoperta di alcune meraviglie geometriche del cavolo rosso.

Per esempio, l'immagine qui sotto è ricavata da una sezione trasversale di cavolo rosso a cui è stata applicata una simmetria assiale.

Cosa vedete nell'immagine?

Cavolo rosso simmetria

1 maggio 2024

[A24-24] 60° anniversario del BASIC

Il primo programma in linguaggio BASIC fu eseguito il 1° maggio 1964.

Io avevo 12 anni, non sapevo niente del BASIC ma cominciai a usarlo 7 anni dopo.

Oggi uso ancora, con piacere e profitto il Decimal BASIC di SHIRAISHI Kazuo, giunto alla versione 7.8.6.8 e costantemente aggiornato.

E' un linguaggio interpretato che ha fatto enormi progressi rispetto alla versione originale e sta in meno di 1Mb.

Per festeggiare, ecco un programmino in Decimal BASIC che traccia le tangenti di tanti colori alla funzione y=sin(x).

Tangenti sen(x)

 

DECLARE EXTERNAL SUB abline
LET lato=2*PI
SET WINDOW 0,2*lato,-lato,lato
FOR x=0 TO 2*lato STEP 0.02
LET x1=x
LET y1=SIN(x)
LET x2=x+1
LET y2=SIN(x)+COS(x)
SET LINE COLOR x
CALL abline(x1,y1,x2,y2,2*lato)
NEXT x
END

EXTERNAL SUB abline(x1,y1,x2,y2,lato)
IF x2<>x1 THEN
LET b=(y2-y1)/(x2-x1)
LET a=y1-b*x1
LET a1=0
LET b1=b*a1+a
LET a2=lato
LET b2=b*a2+a
END IF
IF x2=x1 THEN
LET a1=x1
LET b1=0
LET a2=x2
LET b2=lato
END IF
PLOT LINES:a1,b1;a2,b2
END SUB

24 aprile 2024

[A24-23] Ottimismo topologico

Un matematico beve il tè con un amico. A un certo punto gli cade la tazza e vede che il manico è volato via.

Dice: – Dal punto di vista topologico la tazza è cambiata ma si può usare per bere il tè.
Poi si accorge che anche il fondo della tazza è rotto.
– No, mi sbagliavo. La tazza non si può più usare per bere. Ma topologicamente è rimasta la stessa.

Topologia della tazza

Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico.

20 aprile 2024

[A24-22] Umorismo logico-filosofico

Logica del tempo

La mamma di Arthur Prior dal panettiere.

– Questo pane è di oggi?

– Sì, perché?

– Perché quello di ieri non lo era!

Note.

La Temporal logic esiste davvero ed è un sistema formale assiomatico che permette di ragionare matematicamente su questioni in cui interviene il tempo. La Temporal logic è stata fondata dal logico e filosofo neozelandese Arthur Norman Prior (1914-1969).

Questa barzelletta è tratta e rielaborata da Il Mese Enigmistico di aprile 2024, pag. 35.

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Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico. Ci sono altre storielle che non ho messo qui.

 15 aprile 2024

[A24-21] Sei un intuizionista?

Per un intuizionista, un oggetto matematico esiste se e solo se puoi mostrare come costruirlo.

Gli intuizionisti non accettano il classico principio del terzo escluso (A oppure non-A) perché tale principio permette di dimostrare l'esistenza di un oggetto A senza costruire A.

Esempio.

Teorema.

Esiste un numero irrazionale che elevato a un esponente irrazionale dà come risultato un numero razionale.

Dimostrazione.

Consideriamo

A = √2√2

Per il principio del terzo escluso, (A è razionale) oppure (A non è razionale).

  1. Se A è razionale allora l'esistenza è dimostrata.
  2. Se A non è razionale allora prendiamo
     B = A√2 = √22 = 2, che è razionale.

Quindi tale numero esiste.

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Abbiamo dimostrato che un numero esiste senza costruirlo e senza neppure sapere qual è!

Questa dimostrazione è accettabile per un classicista ma non è accettabile per un intuizionista. Tertium non datur? Ops!

8 aprile 2024

[A24-20] Umorismo matematico

Matematica e teologia

Un prete chiede a un matematico: "Credi in Dio?"

Il matematico risponde: "Sì, a meno di isomorfismi."

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Logica femminile*

La moglie di Perelman, partendo per il paese, lascia sul tavolo un biglietto per il marito:

"Grigorij, le chiavi sono dal vicino di casa".

Esce, chiude a chiave la porta, dà le chiavi al vicino e se ne va.

*Nota. Alcuni potrebbero percepire una certa stereotipia di genere in questa storiella ma ci sono diversi modi di leggerla... molto dipende dal lettore o dalla lettrice.

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Professore pedante

Un professore pedante diceva:

"Polinomio di quarto grado: ax4+bx3+cx2+dx+e,

dove e non è la base dei logaritmi naturali, ma potrebbe esserlo.

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Aggiornata la pagina: Umorismo Matematico.

5 aprile 2024

[A24-19] Altri problemi capziosi

Il test del primo di aprile mi ha suggerito alcuni problemi capziosi da aggiungere alla collezione.

Sottrazione

Sottrai il primo numero pari dal secondo numero quadrato.

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I primi tre multipli

Scrivi i primi tre multipli di 5.

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Fattore 6

Scrivi tutti i numeri che hanno 6 come fattore.

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Le cifre di un numero

Quale numero ha due, cinque, due tre?

[A] 5533

[B] 2523

[C] 2533

[D] 5523

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La metà

Quanto è la metà del doppio di 137509?

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Aggiornata la pagina: Il test di Bertoldino.

1 aprile 2024

[A24-18] Test di Matematica

Pesce aprile 2024

15 marzo 2024

[A24-17] Markov e Alice nel pentagono

Markov e la sua fidanzata Alice si danno un appuntamento in un edificio pentagonale.

Tutti gli ingressi portano in un unico corridoio pentagonale che percorre il perimetro dell'edificio.

Markov e Alice arrivano alla stessa ora ma entrano da due ingressi diversi, entrano nel corridoio e si portano verso uno dei vertici, come mostrato nella figura seguente.

Markov e Alice nel pentagono

Nessuno dei due vede l'altro e per incontrarsi adottano questa strategia:

  1. decidono se percorrere il corridoio di sinistra oppure quello di destra con probabilità 50% ciascuno. Il percorso richiede 1 minuto di tempo.
  2. ripetono l'operazione 1 fino a quando si incontrano in uno stesso vertice.

Ipotesi aggiuntiva: se dovessero trovarsi ai due estremi dello stesso corridoio si vedrebbero e si andrebbero incontro.

Domande.

  1. Qual è la probabilità che si incontrino dopo 1 minuto?
  2. E dopo 2 o 3 minuti?
  3. Esiste una strategia migliore per incontrarsi il prima possibile?

Nota.

E' una versione semplificata del problema Due militari americani posto nel Forum da Quelo.

(https://www.base5forum.it/viewtopic.php?f=1&t=8813)

8 marzo 2024

[A24-16] La dimensione frattale del broccolo romanesco

Broccolo romanesco frattale

Secondo il folclore geometrico, di questa stagione bisogna ricordare al mondo che il broccolo romanesco è un "oggetto frattale". Punto.

Ma qual è la dimensione frattale della superficie del broccolo romanesco?

Risposta: circa 2,28.

Vedi l'articolo di Michele Zanoni, Meraviglie del cavolo! (ovvero della dimensione frattale del cavolfiore) https://www.naturalmentescienza.it/.../Cavolo__LFnS_2...

E come si fa per calcolarla?

Sang-Hoon Kim mostra come calcolare la dimensione frattale dei broccoli e del cavolfiore con il metodo delle scansioni e del box counting.

Vedi: https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0411597.pdf.

Ho provato a mettere una sezione di un rametto del broccolo in uno scanner ed ecco il risultato. Si vede che il rametto ripete la struttura del broccolo intero e a sua volta è formato da rametti più piccoli che ripetono la stessa struttura eccetera...

In pratica, posso fare scansioni a diversi ingrandimenti e vedere sempre la stessa immagine. Questa è l'essenza degli oggetti frattali.

6 marzo 2024

[A24-15] Il treno circolare rivisitato da Alex Bellos

Invece del treno c'è una galleria circolare con interruttori.

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La galleria circolare

Sei intrappolato in una galleria sotterranea.

Sai che il percorso della galleria è circolare, ma non sai quanto è lunga.

Lungo le pareti, posizionati a intervalli regolari, ci sono degli interruttori che possono essere commutati tra due posizioni: su o giù.

Non ci sono altri oggetti nella galleria e quando la percorri non puoi dedurre nulla sul raggio di curvatura del percorso circolare.

Tuttavia hai carta, matita e una luce da lettura, così puoi scrivere dei numeri e altri appunti.

Come faresti per contare il numero di interruttori nel tunnel?

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Nota.

Alex Bellos segnala che questo problema gli è stato suggerito da Brian Rabern, professore di Logica e Filosofia presso l'Università di Edimburgo.

3 marzo 2024

[A24-14] Il treno circolare, di Ben Tupper

Il treno circolare

Ti trovi in ​​un treno composto da un numero imprecisato di vagoni collegati fra loro in modo da formare un cerchio.

Dal vagone in cui ti trovi puoi raggiungere a piedi ciascuno dei due vagoni a cui è collegato e poiché il treno è un cerchio, se cammini abbastanza, prima o poi tornerai al punto di partenza.

Ogni vagone ha una lampadina che puoi accendere e spegnere.

Ogni lampadina nel treno è inizialmente accesa o spenta a caso.

Come faresti per capire quanti vagoni ci sono nel treno?

Sappi che:

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Treno circolare

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Nota.

1 marzo 2024

[A24-13] Il più semplice problema epistemico numerico

Il numero più grande

Alice e Roberto hanno ricevuto ciascuno, privatamente, un biglietto con scritto un numero intero compreso fra 1 e 5 (1 ≤ n ≤ 5).

Problema di logica epistemica

Alice e Roberto sanno che:

Il compito di Alice e Roberto è quello di scoprire chi di loro ha il numero più grande.

Ecco il dialogo fra Alice e Roberto.

Avete capito quali sono i numeri scritti sui due biglietti?

Spiegate come ci siete arrivati.

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Ho aggiornato la pagina dedicata ai problemi matematici di logica epistemica.

Io so che tu sai che io so...

29 febbraio 2024

[A24-12] Con una sola domanda

Alice ha pensato uno dei tre numeri: 1, 2, 3.

Roberto può indovinare il numero facendo una sola domanda?

La domanda di Roberto deve essere formulata in modo da ammettere solo una delle seguenti risposte: "SI", "NO", "NON LO SO".

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Lo definirei un problema quasi-epistemico perché una delle risposte è una dichiarazione di conoscenza personale mentre le altre due no... o forse sì, dipende da come è fatta la domanda o da come interpretiamo le risposte.

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Il problema è tratto dal Blog di Tanya Khovanova (https://blog.tanyakhovanova.com/).

27 febbraio 2024

[A24-11] Segnalazioni

Cercando informazioni sulla dimostrazione di Godel dell'esistenza di Dio, ho trovato alcuni articoli interessanti di due autori: Olga Kosheleva (Education) e Vladik Kreinovich (Computer Science) dell'Università del Texas a El Paso.

L'ultimo articolo spiega perché il tradizionale algoritmo per eseguire la moltiplicazione di due numeri insegnato in Italia è migliore di tanti altri.

Olga Kosheleva     Vladik Kreinovich

Olga Kosheleva         Vladik Kreinovich

Un lungo elenco di pubblicazioni in campo educativo si trova qui:

https://www.cs.utep.edu/vladik/olgavita.html

26 febbraio 2024

[A24-10] Un problema di logica epistemica

Tre carte X, Y, Z, con un numero intero positivo scritto su ciascuna di esse, sono in fila sul tavolo, dorso in alto.

Premesse.

Epistemico 3 carte

Tre ragazze con buone qualità logiche, Ada, Bruna e Carla, che conoscono le premesse, agiscono in questo modo:

Ada guarda in privato il numero scritto sulla carta X e dice: "Non posso dedurre i numeri scritti sulle 3 carte."

Poi Bruna guarda in privato il numero scritto sulla carta Z e dice:
"Non posso dedurre i numeri scritti sulle 3 carte."

Infine Ada guarda in privato il numero scritto sulla carta Y e dice:

"Non posso dedurre i numeri scritti sulle 3 carte."

 

Domanda.

Che numero è scritto sulla faccia nascosta della carta centrale Y?

Altre domande.

Come si possono modificare i dati e la situazione per creare varianti più facili o più difficili di questo problema?

Oppure una situazione in cui si possono dedurre i numeri scritti su tutte le facce?

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Tratto da un post di Dario Uri su Facebook.

25 febbraio 2024

[A24-9] Tex Willer e la Matematica

Aggiornata la pagina Il lato comico.

Tex Willer e la matematica

Tratto da un fumetto di Tex Willer, creato da Giovanni Luigi Bonelli e dal disegnatore Aurelio Galleppini nel 1948.

I personaggi raffigurati sono Kit Carson (con baffi) e Tex Willer.

 18 febbraio 2024

[A24-8] Le rane di Markov

Nel giardino di Markov c'è un laghetto e nel laghetto c'è una pianta di Ninfea con tre grandi foglie, indicate con A, B, C.

Una rana salta felice da una foglia all'altra.

Nella figura qui sotto vedete il diagramma delle transizioni di stato della rana.

Per esempio, se la rana è sulla foglia B allora:

Purtroppo, sulla foglia A c'è una biscia nascosta che si mangia sicuramente la rana, quando questa arriva su A.

Le rane di Markov

Domande.

  1. Se la rana all'inizio si trova sulla foglia B, qual è la probabilità che sia ancora viva dopo 3 salti?
  2. E dopo 10 salti?
  3. Queste probabilità cambiano se la rana si trova inizialmente sulla foglia C?
  4. Indipendentemente dallo stato iniziale della rana, qual è la probabilità che prima o poi sia mangiata dalla biscia?

11 febbraio 2024

[A24-7] Markov va al lavoro

Il signor Markov va ogni giorno al lavoro con la propria automobile oppure in treno.

Il 20 agosto, primo giorno di lavoro dopo le ferie, il signor Markov lancia un dado con il proposito di andare al lavoro in treno se esce il 6 e di usare l'auto se esce un numero minore di 6.

Domande.

  1. Qual è la probabilità che il giorno 23 agosto il signor Markov vada al lavoro in treno?
  2. Qualunque sia stato l'esito del lancio del dado, in quale percentuale dei giorni Markov andrà al lavoro in treno?

Markov al lavoro

28 gennaio 2024

[A24-6] Markov in vacanza

Il signor Markov si è preso un mese di vacanza al mare.

Nella sua vacanza felice, egli trascorre ogni ora del giorno in uno di questi due stati:

Spiaggia (stato 1)

Albergo (stato 2)

Ogni ora il signor Markov passa da uno stato all'altro a caso, in base a come si sente in quel momento.

Domande.

  1.  Se all'inizio (ora 0) è in spiaggia, qual è la probabilità che sia ancora in spiaggia dopo 2 ore (ora 2)?
  2. E dopo 3 ore?
  3.  E dopo 10 ore?
  4.  Di 100 ore, quante ne passerà alla spiaggia e quante in albergo?

Markov in vacanza

14 gennaio 2024

[A24-5] Darwin Machine

Nell'anno 2000, quando iniziai a pubblicare BASE Cinque, c'erano on-line altri siti che ammiravo moltissimo, per esempio Remembrance of software past di Livio Zucca.

Un mirror del sito si trova qui: https://www.iread.it/lz/.

In particolare segnalo la pagina dedicata alla Darwin Machine che è un metodo basato sulla teoria dell'evoluzione, utile per risolvere problemi combinatori molto complessi.

Ecco come lo descrive Livio Zucca:

"Metodo iterativo per la risoluzione di qualsiasi problema a n incognite, dove partendo da valori iniziali arbitrari, se ne applicano variazioni casuali: se il risultato migliora, si accettano le variazioni, se no si buttano via."

Darwin Machine di Livio Zucca

10 gennaio 2024

[A24-4] Il teorema di Markov

In questo periodo sto ristudiando le cosiddette catene di Markov e in particolare un teorema del matematico russo, che dice:

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Teorema di Markov. Una matrice di transizione regolare P su un insieme di stati finito E ha una unica distribuzione stazionaria π.

Per di più si ha, qualunque sia la distribuzione iniziale v,

Teorema di Markov

per ogni j E.

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[A24-3] Fasciando un cubo nel 2024

Con una striscia di carta formata da 7 quadrati unitari si può fasciare un cubo unitario. Come si fa?

Fasciare un cubo con una striscia di 7 quadrati

Usando 4 di queste strisce provate a formare il numero 2024 come mostrato qui sotto.

2024 con striscie di carta

Sono ammesse piegature solo lungo i lati o le diagonali dei quadrati.

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Per approfondire.

2 gennaio 2024

[A24-2] Il gioco dell'anno 2024

Carla e Aldo hanno ottenuto il numero 10 usando le cifre 2, 0, 2, 4 e alcune operazioni aritmetiche.

Gioco dell'anno 2024

Usando le cifre 2, 0, 2, 4, le operazioni matematiche che conosci e le parentesi, sei capace di ottenere tutti i numeri da 0 a 20?

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Precisazione: ogni espressione deve contenere TUTTE le quattro cifre 2, 0, 2, 4, ciascuna UNA SOLA VOLTA, in QUALUNQUE ordine.

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The Year Game (http://mathforum.org/yeargames) è una sfida posta ogni anno sul Math Forum.

Bisogna esprimere i numeri da 1 a 100 usando le cifre dell'anno in corso e le operazioni/funzioni aritmetiche.

1 gennaio 2024

[A24-1] Buon anno!

Cari amici, buon anno a tutti!

Auguro che un albero fantastico e sorridente come questo porti un clima di allegria nei vostri cuori per tutto il 2024.

Riporto la descrizione data dall'autore del disegno, che è Bruno.

È la Quercus ornata. Le sue ghiande vengono portate nel mondo dalle farfalle. Predilige il clima della fantasia.

Buon anno! Disegno di Bruno

Appunti precedenti

Il diario di BASE Cinque - 2023

Il diario di BASE Cinque - 2022

Il diario di BASE Cinque - 2021

Il diario di BASE Cinque - 2020

Il diario di BASE Cinque - 2019

Il diario di BASE Cinque - 2018

Negli anni 2016 e 2017 BASE Cinque è stato in power-saving mode.

Il diario di BASE Cinque - 2015

Il diario di BASE Cinque - 2014

Il diario di BASE Cinque - 2013

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Il diario di BASE Cinque - 2010

Il diario di BASE Cinque - 2009

Il diario di BASE Cinque - 2008

Il diario di BASE Cinque - 2007

Degli anni 2005 e 2006 non esiste il diario.

Ricreazioni ricevute 2000 - 2004

Il sito BASE Cinque è nato il 15 luglio 2000.

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Prova B5 adattivo 1 colonna

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BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa (2000-2024)

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