[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Un semplice modello matematico in poche righe di codice.
Sintesi.
A volte basta fermarsi e osservare: una pigna, una cicoria, un cavolo rosso, una margherita. Tutte mostrano spirali.
In molte specie queste spirali compaiono in coppie di numeri di Fibonacci, come se la pianta seguisse una semplice regola per crescere.
Con la turtle graphics possiamo esplorare quella regola: un angolo costante, un passo regolare in poche righe di codice.
Queste attività di programmazione sono semplici, visive e immediate: funzionano già dalla scuola secondaria di primo grado.
Apriamo LibreLogo e digitiamo il programma seguente (oppure usiamo il copia e incolla).
HIDETURTLE PENSIZE 1 PENCOLOR "GREEN" PENDOWN REPEAT 50 [ FORWARD 5*REPCOUNT LEFT 120 ]
Come risultato si ottiene una spirale triangolare avvolta in senso antiorario.
Ricordiamo che per stabilire se una spirale è oraria o antioraria si guarda sempre l’avvolgimento dal centro verso la periferia.
Proviamo a modificare leggermente l'angolo di rotazione.
Con LEFT 121 appaiono 3 spirali antiorarie. E' una specie
di illusione ottica ma è interessante.
Con LEFT 119 appaiono 3 spirali orarie.
Con LEFT 137.51 la figura sembra irregolare, quasi caotica. In
realtà non è caos ma stiamo entrando nel territorio dell'angolo aureo.
L’angolo aureo è il minore dei due angoli al centro ottenuti suddividendo la circonferenza (C) secondo la sezione aurea.
Dividiamo cioè la circonferenza in due archi tali che l'arco maggiore sia medio proporzionale tra l'arco minore e l'intera circonferenza.
a : b = b : C
ovvero:
a : b = b : (a+b)
Per calcolare l'ampiezza dell'angolo aureo basta dividere l'angolo giro per ϕ2, dove ϕ è il numero aureo, cioè (1+√5)/2.
In gradi sessadecimali:
Angolo aureo = 360° : ϕ2= 360° : ((3+√5)/2) = 137.507764...° (è un numero irrazionale).
Proviamo ora a modificare il programma così.
Per la rotazione usiamo l'angolo aureo LEFT 137.51.
Il passo cresce proporzionalmente a √n.
Nella figura si percepiscono varie spirali, sia orarie sia antiorarie. Sono pattern emergenti, non programmati.
HIDETURTLE PENSIZE 0 PENCOLOR "GREEN" PENDOWN REPEAT 300 [ FORWARD 18*REPCOUNT**0.5 LEFT 137.51 ]
Finalmente siamo arrivati alla creazione del nostro modello matematico!
Eliminiamo i segmenti che rappresentano gli spostamenti della turtle e disegniamo in ogni vertice un piccolo cerchio di diametro opportuno.
Il cerchio rosso rappresenta il punto di origine della struttura.
HIDETURTLE PENSIZE 0 FILLCOLOR "RED" PENDOWN CIRCLE 7 PENUP PENCOLOR "BLACK" FILLCOLOR "GREEN" REPEAT 300 [ FORWARD 12*REPCOUNT**0.5 PENDOWN CIRCLE 7 PENUP LEFT 137.51 ]
L'angolo aureo è determinante per ottenere questa struttura.
Basta infatti modificarlo di pochissimo perché quel pattern si perda completamente.
Per esempio, con LEFT 137.20
Oppure con LEFT 139.90
Proviamo a disegnare i cerchi con diametro crescente e cambiamo il colore di riempimento.
HIDETURTLE PENSIZE 1 FILLCOLOR "ORANGE" FILLTRANSPARENCY 10 REPEAT 100 [ PENDOWN CIRCLE 8 + REPCOUNT PENUP FORWARD 12 + (REPCOUNT*2) RIGHT 137.51 ]
Ricordiamo la sequenza di Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Osserviamo il modello della margherita.
Con un po' di pazienza, possiamo contare 21 spirali antiorarie e 34 spirali orarie. Sono due numeri di Fibonacci consecutivi!
Nel modello della pigna, invece, possiamo contare 13 spirali antiorarie e 8 spirali orarie. Ancora una volta due numeri di Fibonacci consecutivi.
C'è una corrispondenza fra questi modelli matematici e le strutture naturali?
Assolutamente sì. Però la natura non sceglie l’angolo aureo: esso emerge da
semplici regole locali di crescita.
A seconda della specie, si vedono spirali
diverse.
Per dare l'idea, riporto alcuni esempi fotografici.
Nel cavolo rosso si vedono 3 spirali orarie.
La cicoria presenta 5 spirali antiorarie.
Nella pigna di pino si possono contare 8 spirali orarie e 13 spirali antiorarie.
Nella margherita comune si possono contare 34 spirali orarie e 21 spirali antiorarie, esattamente come nel modello matematico.
Guardando una margherita più da vicino, si vede che i fiori del capolino hanno una struttura pentagonale ma si impacchettano in un reticolo quasi esagonale.
Il nostro modello semplificato cattura la geometria di fondo ma non riesce a cogliere le forme e le deformazioni dei singoli elementi. Un buon punto di partenza per futuri approfondimenti.
Questo articolo e i relativi modelli geometrici si ispirano al testo
fondamentale di Przemyslaw Prusinkiewicz e Aristid
Lindenmayer, The Algorithmic Beauty of Plants, Springer, 2004.
Le pagine 99–109, in particolare, introducono la fillotassi
piana e mostrano come modellarla attraverso gli L‑System.
Per la realizzazione di questa guida, il modello geometrico proposto dagli
autori è stato tradotto nel linguaggio della turtle graphics, mantenendo la
stessa idea di fondo: un angolo costante e una distanza dal centro che cresce
con la radice quadrata dell’indice.
La formula utilizzata per disporre i
punti è la celebre equazione introdotta da Helmut Vogel nel 1979 per descrivere
la distribuzione ottimale dei fiori nel capolino del girasole.
Il modello assegna al seme di indice n una distanza dal centro
proporzionale a √n e applica una rotazione costante pari all’angolo aureo, circa
137.508°..
Pace e bene a tutti.
GfBo
Data creazione: maggio 2026
Ultimo aggiornamento: giugno 2026
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo