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Traduzione dall'originale latino di Simona Bo
Note e riflessioni matematiche di Gianfranco Bo

Parte prima - Proposizioni 1 - 10

MONITUM PREVIUM
Propositiones sequentes maximama partem editae exstant inter Opera ven. Bedae, tom. I editionis Basileensis anni 1563, pag. 135 seq. (Patrologiae tomo XC, col. 667). Illud tamen opusculum cum pluribus aliis eiusdem tomi, Bedae suppositum esse censent eruditi, quod illius nullam mentionem fecerit in catalogo suorum Operum, quem ipsemet confecit.
Exstat vero sub nomine Alcuini in pervetusto codice ms. monasterii Augiae Divitis, unde descriptum ad nos pervenit. De eodem fortassis intelligendus Alcuinus, dum ad Carolum Magnum in epistola 101 ita scribit: "Misi excellentiae vestrae quasdam species dictionum exemplis et versibus venerandi Patris confirmatas et aliquas figuras arithmeticae subtilitatis, laetitiae causa" etc. En rationem quae nos induxit ut scripto huic inter dubia Alcuini locum daremus. Contulimus vero illud cum editione praefata Ven. Bedae et aliquibus locis menda librarii emendavimus. Modicae, fateor, utilitatis habent propositiones isthaec, et ex arithmetica hodie culta multo facilius et clarius resolvi possent; erunt tamen fortassis qui, ad quasvis antiquitatis reliquias attenti, his quoque pretium statuant, et inde nonnulla quae ad calculum, mensuras hac pondera veterum cognoscenda coferunt, eruere possint. Nonnulla quae in ms. deficiebant, supplevimus ex ven. Beda sub his [] signis.

I. PROPOSITIO DE LIMACE.
Limax fuit ab hierundine invitatus ad prandium infra leucam unam. In die autem non potuit plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot [annis vel] diebus ad idem prandium ipse limax perambulabat?
Sequitur solutio de limace.
In leuca una sunt mille quingenti passus; ¬V¬I¬I D pedes, ¬X¬C unciae. Quot unciae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI et dies CCX.

I. PROPOSIZIONE SULLA LUMACA.
Una rondine invitò una lumaca a pranzo, ad una lega di distanza. Tuttavia la lumaca non poteva percorrere più di un pollice al giorno.
Dica, chi vuole, quanti anni e quanti giorni impiegò la lumaca per raggiungere il luogo del pranzo?
Ecco la soluzione sulla proposizione della lumaca.
In una lega ci sono 1.500 passi. 7.500 piedi corrispondono a 90.000 pollici. Il numero dei pollici è uguale al numero dei giorni, cioè 246 anni e 210 giorni.

Note
La leuca è una misura itineraria celtica pari a 1.500 passi romani
1 lega = 1.500 passi
1 passo = 5 piedi = 1,479 m
1 piede = 12 pollici

L'anno è di 365 giorni

II. PROPOSITIO DE VIRO AMBULANTE IN VIA.
Quidam vir ambulans per viam vidit sibi alios homines obviantes, et dixit eis: volebam, ut fuissetis [Bed. utinam fuissetis] alii tantum, quanti estis; et medietas medietatis; et hujus numeri medietas [et rursus de medietate medietas]; tunc una mecum C fuissetis. Dicat, qui velit, quanti fuerunt, qui in primis ab illo visi sunt?
Solutio de eadem propositione
Qui imprimis ab illo visi sunt, fuerunt XXXVI. Alii tantum LXXII. Medietas medietatis XVIII. Et hujus numeri medietas sunt VIIII. Dic ergo sic: LXXII et XVIII fiunt XC. Adde VIIII fiunt XCVIIII. Adde loquentem, et habebis C.

II. PROPOSIZIONE SU UN UOMO CHE CAMMINAVA PER STRADA.
Un tale, mentre camminava in strada, vide degli altri uomini che gli si avvicinavano, e disse loro: "Pensavo: se voi foste stati il doppio di quanti siete adesso; se poi si aggiungesse la metà della metà di questo numero; e poi si aggiungesse la metà di quest'ultimo numero, allora, me compreso, saremmo stati 100 uomini."
Dica, chi vuole, quanti uomini vide inizialmente quel tale?
Soluzione.
Gli uomini che quel tale vide inizialmente, erano 36, il cui doppio è 72. La metà della metà di 72 è 18, e la metà di 18 è 9. In conclusione: 72 e 18 fanno 90. Aggiungi 9 e fa 99. Aggiungi il tale che parla e avrai 100.

III. PROPOSITIO DE DUOBUS PROFICISCENTIBUS.
Duo homines ambulantes per viam, videntesque ciconias, dixerunt inter se: quot sunt? Qui conferentes numerum dixerunt: Si essent aliae tantae; et ter [Bed. et etiam] tantae et medietas tertii, adjectis duobus, C essent. Dicat, qui potest, quantae fuerunt, quae imprimis ab illis visae sunt?
Solutio de ciconiis
XXVIII et XVIII, et tertio sic; fiunt LXXXIIII. Et medietas tertii fiunt XIIII. Sunt in totum XCVIII. Adjectis duobus, C apparent.

III. PROPOSIZIONE SU DUE VIAGGIATORI.
Due uomini stavano camminando in strada quando notarono alcune cicogne. Si chiesero l'un l'altro: "Quante ce ne sono?" Discutendo sul numero, dissero: "Se le cicogne fossero il doppio; se poi diventassero il triplo; e se se ne aggiungesse la metà di un terzo di quest'ultimo numero; e se infine se ne aggiungessero due, allora sarebbero 100."
Dica, chi può, quante cicogne videro inizialmente i due uomini?
Soluzione.
Così 28 e 18 e il terzo fanno 84 (?). La metà di un terzo di 84 è 14, quindi il totale è 98. Aggiungendone 2 si ottiene 100.

Note
La soluzione mi sembra poco chiara.
Provo ad interpretare con una equazione.
Numero delle cicogne = x
Il triplo del doppio = 6x
La metà di un terzo = (1/6)*6x = x
6x + x + 2 = 100
7x = 98
x=14
Quindi le cicogne erano 14.

IV. PROPOSITIO DE HOMINE ET EQUIS.
Quidam homo vidit equos pascentes in campo, optavit dicens: utinam essetis mei, et essetis alii tantum, et medietas medietatis; certe gloriarer super equos C. Discernat, qui vult, quot equos imprimis vidit ille homo pascentes?
Solutio de equis.
XL equi erant, qui pascebant. Alii tantum fiunt LXXX. Medietas medietatis hujus, id est, XX si addatur, fiunt C.

IV. PROPOSIZIONE SU UN UOMO E ALCUNI CAVALLI.
Un tale vide alcuni cavalli che pascolavano in un prato e disse con vivo desiderio: "Oh, se foste miei, e foste il doppio, e quindi se ne aggiungesse la metà della metà, sicuramente potrei vantare 100 cavalli."
Dica, chi vuole, quanti cavalli vide inizialmente quel tale?
Soluzione.
I cavalli che pascolavano erano 40. Il doppio di 40 è 80, e la metà della metà di 80 è 20. La somma di questi numeri (40+80+20) è 100.

V. PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM.
Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?
Solutio de emptore.
Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.

V. PROPOSIZIONE SUL COMMERCIANTE ED I SUOI DENARII.
Un commerciante disse: "Voglio comprare 100 maiali con 100 denarii in modo tale da pagare 10 denarii per un verro adulto, 5 denarii per una scrofa e 1 denario per due maialini .
Dica, chi lo sa, quanti verri, scrofe e maialini dovrebbe acquistare il commerciante per spendere esattamente 100 denarii?
Soluzione.
Il commerciante compra 9 scrofe ed un verro per 55 denarii, e 80 maialini per 40 denarii. Ecco 90 maiali. Con i rimanenti 5 denarii, compra altri 10 maialini, ed in questo modo ha 100 maiali per 100 denarii.

VI. PROPOSITIO DE DUOBUS NEGOTIATORIBUS C SOLIDOS HABENTIBUS.
Fuerunt duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, volentes eos saginare, atque iterum venumdare, et in solidis lucrum facere. Cumque vidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi eos non valuissent tempore hyemali pascere, tentavere venumdando, si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non valebant eos amplius venumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt ad invicem: dividamus eos. Dividentes autem et vendentes, sicut emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui valet, imprimis quot porci fuerunt; et dividat ac vendat et lucrum faciat, quod facere de simul venditis non valuit.
Solutio de porcis.
Imprimis CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum est, in duobus solidis V porcos: quia sive quinquagies quinos, sive quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus divisis unus tulit CXXV, alter similiter. Unus vendidit deteriores tres semper in solido; alter meliores duos in solido. Sic evenit, ut is, qui deteriores vendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus. Qui vero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus XXX semper in X solidis; de melioribus vinginti autem in X solidis sunt venumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad lucrum IIII solidos et duos denarios facere potueunt.

VI. PROPOSIZIONE SU DUE UOMINI D'AFFARI CHE HANNO 100 SOLIDI.
C'erano due uomini d'affari che avevano 100 solidi in società, con i quali comprarono alcuni maiali al prezzo di 2 solidi per 5 maiali, con l'intenzione di ingrassarli e venderli in seguito, realizzando un profitto. Quando si accorsero che non era il periodo giusto per ingrassare i maiali, e che loro non erano in grado di alimentarli per tutto l'inverno, cercarono di trarre guadagno rivendendoli. Ma non ebbero successo, perchè avrebbero potuto rivendere i maiali solo al prezzo a cui li avevano acquistati, cioè 2 solidi per 5 maiali. Quando lo capirono, si dissero l'un l'altro: "Ci divideremo i maiali." Ma spartendosi i maiali e rivendendoli allo stesso prezzo al quale li avevano pagati, riuscirono a realizzare un guadagno.
Dica, chi ne è capace: quanti maiali acquistarono inizialmente i due uomini, come se li spartirono e a quale li rivendettero in modo da realizzare quel profitto che non avrebbero ottenuto se li avessero rivenduti tutti insieme?
Soluzione.
I due uomini acquistarono inizialmente 250 maiali con 100 solidi come detto sopra, al prezzo di 2 solidi per 5 maiali. Infatti se dici "50 volte 5" o "5 volte 50" ottieni sempre 250. Divisi i maiali, i due uomini ne presero 125 a testa.
Un uomo vendette i maiali di qualità inferiore al prezzo di 1 solido per 3 maiali.
L'altro vendette i maiali di qualità superiore al prezzo di 1 solido per due maiali.
Allora accadde che colui che aveva venduto i maiali di qualità inferiore ricavò 40 solidi per 120 maiali, mentre colui che aveva venduto dei maiali di qualità superiore ricavò 60 solidi per 120 maiali. Questo perchè c'erano sempre 30 maiali di qualità inferiore per 10 solidi e 20 di qualità superiore per 10 solidi.
Ai due uomini rimasero 5 maiali a testa, che fruttarono loro 4 solidi e 2 denarii di guadagno.

Note
Dapprima, i due uomini vendettero 120+120=240 maiali ricavando 40+60=100 solidi. Così recuperarono la spesa, pur rimanendo con 5+5 maiali.
In seguito vendettero:
- 5 maiali di qualità inferiore a 1 solido per 3 maiali = 1+2/3 solidi
- 5 maiali di qualità superiore a 1 solido per 2 maiali = 2+1/2 solidi
In totale il ricavo è 4+1/6 solidi.
Da ciò si deduce che un solido era diviso in 12 denarii.

Nel Liber Abaci, di Leonardo Pisano (Fibonacci), si trova il seguente problema.

Se un solido imperiale, che vale 12 denari imperiali, è venduto per 31 denari pisani, quanti denari pisani si devono ricevere in cambio di 11 denari imperiali?
La risposta è:
12 : 31 = x : 11
x = 12/11*31

VII. PROPOSITIO DE DISCO PENSANTE LIBRAS XXX.
Est discus qui pensat libras XXX sive solidos DC, habens in se aurum, argentum, auricalchum, et stannum. Quantum habet auri, ter tantum habet argenti. Quantum argenti, ter tantum auricalchi. Quantum auricalchi, ter tantum stanni. Dicat, qui potest, quantum in unaquaque specie [Bed. unaquaeque species] pensat?
Solutio.
Aurum pensat uncias novem: argentum ter uncias VIIII, id est, libras duas et tres uncias. Auricalchum pensat ter libras duas et [ter] III uncias, id est, libras VI et VIIII uncias. Stannum pensat ter libras VI, et ter uncias VIIII, hoc est, libras XX, et III uncias. VIIII unciae, et II librae cum III unciis: et VI librae cum VIIII unciis: et XX librae cum III unciis adunatae, XXX libras efficiunt.

Item aliter ad solidum.

Aurum pensat solidos argenteos XV. Argentum ter XV, id est, XLV. Auricalchum ter XLV, id est, CXXV. Stannum ter CXXXV, hoc est, CCCCV. Junge CCCCV, et CXXXV: et XLV: et XV; et invenies DC, qui sunt librae XXX.

VII. PROPOSIZIONE SU UN PIATTO CHE PESA 30 LIBBRE.
C'è un piatto che pesa 30 libbre ovvero 600 solidi. Il piatto è formato da (una lega di) oro, argento, bronzo e stagno. La quantità d'argento è il triplo della quantità d'oro, la quantità di bronzo è il triplo della quantità di argento e la quantità dello stagno è il triplo della quantità di bronzo.
Dica, chi ne è in grado, qual è il peso di ogni metallo?
Soluzione.
L'oro pesa 9 oncie. L'argento pesa il triplo, cioè 2 libbre e 3 oncie. Il bronzo pesa il triplo di 2 libbre e 3 oncie, cioè 6 libbre e 9 oncie. Lo stagno pesa il triplo di 6 libbre e 9 oncie, cioè 20 libbre e 3 oncie. La somma di questi pesi equivale a 30 libbre.
Altro metodo.
L'oro pesa 15 solidi d'argento. L'argento equivale al triplo dell'oro, cioè 45. Il bronzo equivale al doppio di 45, cioè 135. Lo stagno è il triplo di 135, cioè 405. La somma di questi numeri è uguale a 600 solidi, che equivalgono a 30 libbre.

VIII. PROPOSITIO DE CUPA.
Est cupa una, quae C metretis impletur capientibus singulis modia tria; habens fistulas III. Ex numero modiorum tertia pars et VI per unam fistulam currit: per alteram tertia pars sola: per tertiam sexta tantum. Dicat nunc, qui vult, quot sextarii per unamquamque fistulam cucurrissent.
Solutio.
Per primam fistulam ¬I¬I¬I DC sextarii cucurrerunt. Per secundum ¬I¬I CCCC. Per tertiam ¬I CC.

VIII. PROPOSIZIONE SU UN BARILE.
C'è un barile che ha la capacità di 100 metrete, equivalenti ognuna a 3 modia. Il barile ha 3 condotti. Di tutti i modia contenuti nel barile, un terzo e un sesto fuoriescono da un condotto, mentre un terzo fuoriesce dal secondo condotto e un sesto fuoriesce dal terzo condotto.
Ora dica, chi vuole, quanti sextarii fuoriescono da ogni condotto.
Soluzione.
Dal primo condotto fuoriescono 3600 sextarii, dal secondo 2400 e dal terzo 1200.

Note
La metreta era una misura di capacità pari a circa 38,84 litri.

IX. PROPOSITIO DE SAGO.
Habeo sagum habentem in longitudine cubitos C, et in latitudine LXXX. Volo exinde per portiones sagulos facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos V, et in latitudine cubitos IIII. Dic, rogo, sapiens, quot saguli exinde fieri possint?
Solutio.
De quadringentis octogesima pars V sunt; et centesima IIII. Sive ergo octuagies V, sive centies IIII duxeris, semper CCCC invenies. Tot sagi erunt.

IX. PROPOSIZIONE SU UN MANTELLO.
Io ho un pezzo di stoffa per mantelli che misura 100 cubiti di lunghezza e 80 di larghezza. Voglio ricavare alcuni mantelli più piccoli da scampoli che misurano 5 cubiti di lunghezza e 4 cubiti di larghezza.
Dimmi, ti prego, tu che sei saggio, quanti mantelli più piccoli si possono ricavare dalla stoffa?
Soluzione.
L'ottantesima parte di 400 è 5, e la centesima parte di 400 è 4. Quindi se tu dividi 80 di lunghezza in 5 cubiti o 100 in 4 cubiti, il risultato sarà sempre 400. Tanti saranno i mantelli.

X. PROPOSITIO DE LINTEO.
Habeo linteamen unum longum cubitorum LX, latum cubitorum XL. Volo ex eo portiones facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos senos, et in latitudine quaternos, ut sufficiat ad tunicam consuendam. Dicat, qui vult, quot tunicae exinde fieri possint?
Solutio.
Decima pars sexagenarii VI sunt. Decima vero quadragenarii IIII sunt. Sive ergo decimam sexagenarii, sive decimam quadragenarii decies miseris, centum portiones VI cubitorum longas; et IIII cubitorum latas invenies.

X. PROPOSIZIONE SU UN VESTITO DI LINO.
Ho una pezza di lino lunga 60 cubiti e larga 40 cubiti. Voglio dividerla in scampoli più piccoli, ognuno di lungo 6 cubiti e largo 4 cubiti, cosicchè ogni scampolo sia sufficientemente ampio da fare una tunica.
Dica, chi vuole, quante tuniche si possono ricavare dalla stoffa di lino?
Soluzione.
Un decimo di 60 è 6 e un decimo di 40 è 4. Dunque, se tu consideri 10 volte un decimo di 60 cubiti e 10 volte un decimo di 40 cubiti, otterrai 100 scampoli di lunghi 6 cubiti e larghi 4 cubiti.

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