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Traduzione dall'originale latino di Simona Bo
Note e riflessioni matematiche di Gianfranco Bo

Parte quarta - Proposizioni 31 - 40

XXXI. PROPOSITIO DE CANAVA.
Est canava, quae habet in longitudine pedes C, et in latitudine pedes LXIIII. Dicat, qui potest, quot cupas capere debet? ita tamen, ut unaquaeque cupa habeat in longitudine pedes VII, et in lato, hoc est in medio pedes IIII, et pervius unus habeat pedes IIII.
Solutio.
In centum autem quaterdecies VII numerantur, in LXIIII vero sedecies quaterni continentur, ex quibus IIII ad pervium reputantur, quod in longitudinem ipsius canavae ducitur. Quia ergo in LX quindecies quaterni sunt; et in centum quaterdecies septeni; duc\quindecies XIIII, fiunt CCX. Tot cupae juxta suprascriptam magnitudinem in hujusmodi canava contineri possunt.

XXXI. PROPOSIZIONE SU UNA CANTINA DI VINI.
C'è una cantina di vini che è lunga 100 piedi e larga 64. Dica, chi è capace, quanti botti può contenere, dato che una botte è lunga 7 piedi e larga 4 piedi, e dato che c'è un corridoio nel mezzo largo 4 piedi?
Soluzione.
Ci sono 14 volte 7 in 100 e 16 volte 4 in 64, e 4 di questi servono per il corridoio che occupa la lunghezza della cantina. Poichè 15 moltiplicato per 4 è uguale a 60 e poichè ci sono 14 volte 7 in 100, moltiplica 14 per 15 ottenendo 210: tante botti possono essere messe nella cantina sopra descritta.

XXXII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS.
Quidam paterfamilias habuit familias XX. Et jussit eis dare de annona modios XX. Sic jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, vel quot infantes esse debent?
Solutio.
Duc semel ternos, fiunt III, hoc est, unus vir III modios accepit. Similiter et quinquies bini, fiunt X, hoc est, quinque mulieres acceperunt modia X. Duc vero septies binos, fiunt XIIII, hoc est XIIII infantes acceperunt modios VIII. Junge ergo I et V et XIV, fiunt XX. Hae sunt familiae XX. Ac deinde junge III et VII et X, fiunt XX, haec sunt modia XX. Sunt ergo simul familiae XX, et modia XX.

XXXII. PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA.
Un capofamiglia aveva 20 domestici. Ordinò che fossero dati loro 20 moggi di grano come segue: gli uomini avrebbero dovuto ricevere 3 moggi, le donne 2 e i bambini mezzo moggio. Dica, chi può, quanti uomini, donne e bambini dovevano esserci?
Soluzione.
Considera 3 volte 1 che fa 3; cioè ogni uomo ricevette altrettanti moggi. Similmente, considera 2 volte 5, che fa 10; in questo modo 5 donne ricevettero 10 moggi. Quindi, considera 7 volte 2, che fa 14; quindi, 14 bambini ricevettero 7 moggi. Somma 1, 5 e 14, ed otterrai 20; questo è il numero dei domestici. Quindi, somma 3, 7 e 10, che sono le quantità dei moggi. Quindi ci sono 20 domestici e 20 moggi.

XXXIII. PROPOSITO DE ALIO PATREFAMILIAS EROGANTE SUAE FAMILIAE ANNONAM.
Quidam paterfamilias habuit familias XXX, quibus jussit dari de annona modios XXX. Sic vero jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos et infantes singula semodia. Solvat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, quotve infantes fuerunt?
Solutio.
Si duxeris ternos ter, fiunt VIIII. Et si duxeris quinquies binos, fiunt X, ac deinde duc vicies bis semis, fiunt XI, hoc est, viri III acceperunt modia VIIII, et quinque mulieres acceperunt X, et XXII infantes acceperunt XI modia. Simul juncti III et V, et XXII faciunt familias XXX. Rursusque VIIII et XI, et X, simul juncti faciunt modia XXX. Quod sunt simul familiae XXX, et modii XXX.

XXXIII. PROPOSIZIONE SU UN ALTRO CAPOFAMIGLIA CHE DISTRIBUISCE GRANO AI SUOI DOMESTICI.
Un capofamiglia aveva 30 domestici, ai quali ordina che siano dati 30 moggi di grano nel modo che segue: gli uomini avrebbero dovuto ricevere 3 moggi; le donne 2 ed i bambini mezzo moggio. Risolva, chi può, quanti uomini, donne e bambini c'erano?
Soluzione.
Se tu prendi 3 volte 3 ottieni 9; se tu prendi 5 volte 2 ottieni 10, e se prendi la metà di 22 ottieni 11. Quindi, 3 uomini ricevono 9 moggi, 5 donne ne ricevono 10 e 22 bambini ricevono 11 moggi. Somma 3, 5 e 22 ed otterrai 30 domestici. Similmente, la somma di 9, 11 e 10 è 30, che è il numero dei moggi. Donde: ci sono 30 domestici e 30 moggi.

XXXIV. PROPOSITIO ALTERA DE PATREFAMILIAS PARTIENTE FAMILIAE SUAE ANNONAM.
Quidam paterfamilias habuit familias C, quibus praecepit dare de annona modios C, eo vero tenore, ut viri acciperent modios ternos, mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat ergo, qui valet, quot viri, quot mulieres, aut quot infantes fuerunt?
Solutio.
Undecim terni fiunt XXXIII. Et XV bis ducti fiunt XXX, id est, XI viri acceperunt XXXIII modios; et XV mulieres acceperunt XXX et LXXIIII infantes acceperunt XXXVII, qui simul juncti, id est, XI et XV, et LXXIIII fiunt C, quae sunt familiae C. Similiter junge XXXIII, et XXX et XXXVII faciunt C, qui sunt modii C. His ergo simul junctis habes familias C et modios C.

XXXIV. PROPOSIZIONE SU UN ALTRO CAPOFAMIGLIA CHE DISTRIBUISCE GRANO AI SUOI DOMESTICI.
Un capofamiglia aveva 100 domestici. Ordinò che fossero dati loro 100 moggi di grano in questo modo: gli uomini avrebbero dovuto ricevere 3 moggi; le donne 2 e i bambini mezzo moggio. Dunque dica, chi può, quanti uomini, donne e bambini c'erano?
Soluzione.
11 volte 3 fa 33 e 2 volte 15 fa 30. Cioè, 11 uomini ricevettero 33 moggi, 15 donne ricevettero 30 moggi e 74 bambini ne ricevettero 37. Sommando insieme 11, 15 e 74 si ottiene 100, che è il numero dei domestici. Similmente, sommando 33, 30 e 37 si ottiene 100, che è il numero dei moggi. Quindi, con queste somme, ottieni 100 domestici e 100 moggi.

XXXV. PROPOSITIO DE OBITU CUJUSDAM PATRISFAMILIAS.
Quidam paterfamilias moriens reliquit infantes, et in facultate sua, solidorum DCCCCLX [Bed., DCCCLX], et uxorem praegnantem. Qui jussit, ut si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrans, hoc est, uncias VIIII. Et mater ipsius acciperet quadrans, hoc est, uncias III. Si autem filia nata esset, acciperet septunx, hoc est, VII [Bed. V] uncias, et mater ipsius acciperet quincunx, hoc est, V uncias. Contigit autem ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater, et quantum filius, quantumve filia?
Solutio.
Junge ergo VIIII et III, fiunt XII, XII namque unciae libram faciunt. Rursusque junge similiter VII et V, fiunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII, XXIIII autem faciunt duas libras, id est, solidos XL. Deinde ergo [duc] per vicesimam quartam partem DCCCCLX solidos, et vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia facit dodrans sive dodrans, XL in nonam partem, ideo novies XL accepit filius, hoc est, XVIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit, et quintam contra filiam, III et V, fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis seu bisse XL in parte octava; octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx, XL in VII partibus: postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX, hoc filia accepit. Junge ergo CCCLX et CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCCLX solidi et XLVIII librae.

XXXV. PROPOSIZIONE SULLA MORTE DI UN CAPOFAMIGLIA.
Un capofamiglia morì, lasciando una moglie incinta e 960 solidi dei suoi beni. Sul letto di morte, ordinò che se fosse nato un maschio, allora avrebbe ricevuto i 3/4 dell'eredità, cioè 9 oncie (9/12). E la madre avrebbe ricevuto 1/4, cioè 3 oncie (3/12).
Se invece fosse nata una femmina, avrebbe ricevuto i 7/12, cioè 7 oncie e la madre i 5/12, cioè 5 oncie.
Ma quando venne il momento, la donna partorì due gemelli, un maschio e una femmina.
Risolva chi può: quanto ricevettero la madre, il figlio, la figlia?

Soluzione.
Addiziona 9 e 3, e ottieni 12. 12 once equivalgono ad una libbra.
Quindi addiziona 7 e 5, e ottieni nuovamente 12.
Prendi 2 volte 12 e ottieni 24 once, cioè 2 libbre, che equivalgono a 40 solidi.
Poi prendi 1/24 di 960 solidi, che è 40.
Quindi, poichè il figlio ricevette i 3/4 o i 9/12 dell'eredità, considera 1/9 di 40.
Il figlio ricevette 9 volte 40 once, che sono 18 libbre, che equivalgono a 360 solidi.
E poichè la madre ricevette 1/3 di quello che ottenne il figlio e 1/5 di quello che ottenne la figlia, ricevette 3 e 5, che fa 8.
Similmente, come prescritto, prendi 2 volte 40 e dividi il risultato in 8 parti. Quindi la madre ricevette 8 volte 40 once, che sono 16 libbre, che equivalgono a 320 solidi.
Quindi, come stipulato, dividi 40 in 7 parti, così da ottenere 7/12. Dopo prendi 7 volte 40 cioè 14 libbre che equivalgono a 280 solidi. Questo è quanto ricevette la figlia.
Somma 360, 320 e 280 ed otterrai 960 solidi o 48 libbre.

Note.
La soluzione di Alcuino contiene passi chiari alternati a passi di difficile interpretazione.
Il senso è il seguente.
1) se nasce un solo erede, l'eredità va divisa in 12-esimi e distribuita in parti proporzionali a 9, 3 oppure a 7, 5 a seconda che il neonato sia maschio o femmina
2) poiché sono nati 2 eredi, l'eredità va divisa in 24-esimi e distribuita in parti proporzionali a 9, 7, 3+5 assegnate rispettivamente al figlio, alla figlia, alla madre.

Ammessa questa divisione come legalmente corretta, i calcoli da eseguire sono:
9+3+7+5 = 24 parti
960 solidi / 24 parti = 40 solidi/parte
40*9 = 360 solidi; parte spettante al figlio
40*7 = 280 solidi; parte spettante alla figlia
40*(3+5) = 320 solidi; parte spettante alla madre

XXXVI. PROPOSITIO DE SALUTATIONE CUJUSDAM SENIS AD PUERUM.
Quidam senior salutavit puerum, cui et dixit: Vivas fili, vivas, inquit, quantum vixisti, et aliud tantum, et ter tantum. Addatque tibi Deus unum de annis meis, et impleas annos centum. Solvat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?
Solutio.
In eo vero, quod dxit, vivas, quantm vixisti, vixerat ante annos VIII et menses tres: et aliud tantum fiunt anni XVI et menses VI, et alterum tantum fiunt anni XXXIII, qui ter multiplicati fiunt anni XCVIIII, unum ipsis additum fiunt C.

XXXVI. PROPOSIZIONE SUL SALUTO DI UN ANZIANO AD UN RAGAZZO.
Un anziano salutò un ragazzo dicendogli: "Possa tu vivere, ragazzo, possa tu vivere tanto quanto hai vissuto finora, e quindi ancora gli stessi anni e ancora tre volte tanto. E possa Dio concederti uno dei miei anni, e potrai vivere 100 anni." Risolva, chi può: quanti anni aveva al momento il ragazzo?
Soluzione.
Quando l'anziano disse: "Possa tu vivere al lungo quanto hai già vissuto", il ragazzo aveva appena compiuto 8 anni e 3 mesi. Aggiungendo un altro numero uguale si ottiene 16 anni e 6 mesi, che sommati fanno 33 anni. Il triplo è 99 anni, che con l'aggiunta di uno diventano 100.

XXXVII. PROPOSITIO DE QUODAM HOMINE VOLENTE AEDIFICARE DOMUM.
Homo quidam volens aedificare domum locavit artifices VI, ex quibus V magistri et unus discipulus erat, et convenit inter eum, qui aedificare volebat, et artifices, ut per singulos dies XXV denarii eis in mercede darentur, sic tamen, ut discipulus medietatem de eo, quod unus ex magistris accipiebat, acciperet. Dicat, qui potest, quantum unusquisque de illis per unamquamque diem accepit?
Solutio.
Tolle primum XXII denarios et divide eos in VI partes. Sic unicuique de magistris, qui quinque sunt, IIII denarios; nam quinquies quatuor XX sunt. Duos, qui remanserunt, quae est medietas de uno, tolle et da discipulo; et sunt adhuc III denarii residui; quos sic distribues. Fac de unoquoque denario partes XI, ter undecim fiunt XXXIII, tolle illas triginta partes, divide eas inter magistros V. Quinquies seni fiunt XXX. Accidunt ergo unicuique magistro partes VI. Tolle tres partes, quae super XXX remanserunt, quod est inedietas senarii, et da discipulo.

XXXVII. PROPOSIZIONE SU UN UOMO CHE VOLEVA COSTRUIRE UNA CASA.
Un uomo, volendo costruire una casa, assoldò 6 muratori, 5 dei quali erano capomastri, e uno apprendista. Fu accordato fra l'uomo che voleva costruire una casa e i murartori che la loro paga giornaliera sarebbe stata di 25 denarii, e che l'apprendista avrebbe ricevuto la metà rispetto ai capomastri. Dica, chi può, quale fu il loro stipendio giornaliero?
Soluzione.
Dapprima prendi 22 denarii e dividili in 6 parti. Dai 4 denarii ad ognuno dei 5 capomastri, e 5 volte 4 è 20. Prendi i rimanenti 2 denarii, la metà del totale, e dalli all'apprendista. Avanzano 3 denarii che distribuirai così: dividi ogni denario in 11 parti, ottenendo 33. Prendi 30 di questi e dividili fra i 5 capomastri, e 5 volte 6 fa 30. Quindi, 6 parti vanno ad ogni capomastro. Prendi le rimanenti 3 parti, cioè la metè dei 6 che ricevettero i capomastri, e dalli all'apprendista.

XXXVIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ANIMALIBUS CENTUM.
Voluit quidam homo emere animalia promiscua C de solidis C, ita ut equus tribus solidis emeretur; bos vero in solido I, et XXIIII oves in sol. I. Dicat, qui valet, quot caballi, vel quot boves, quotve fuerunt oves?
Solutio.
Duc ter vicies tria [I.e., ter XXIII] I, fiunt LXVIIII. Et duc bis vicies quatuor [I.e., bis XXIIII], fiunt XLVIII. Sunt ergo caballi XXXIII, et solidi LXVIIII. Et oves XLVIII, et solidi II. Et boves XXVIIII, in solidis XXVIIII. Junge ergo XXIII et XLVIII et XXVIIII, fiunt animalia C. Ac deinde junge LXVIIII et II et XXVIIII, fiunt solidi C. Sunt ergo simul juncta animalia C, et soldi C.

XXXVIII. PROPOSIZIONE SU UN VENDITORE ED I SUOI 100 ANIMALI.
Un uomo voleva comprare 100 animali diversi per 100 solidi. Egli voleva pagare 3 solidi per cavallo, uno per mucca ed un solido per 24 pacore. Dica, chi può, quanti cavalli, mucche e pecore acquistò?
Soluzione.
Prendi 3 volte 23, ottenendo 69. Quindi, prendi 2 volte 24, ottenendo 48. Ci sono quindi 23 cavalli che costano 69 solidi, 48 pecore che costano 2 solidi e 29 mucche che costano 29 solidi.Dunque somma 23, 48 e 29 ottenendo 100, cheè il numero degli animali. Quindi somma 69, 29 e 2 ottenendo 100, che è il numero dei solidi. Quindi ci sono 100 animali ed altrettanti solidi.

XXXVIIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ORIENTE.
Quidam homo voluit de C solidis animalia promiscua emere C in oriente; qui jussit famulo suo, ut camelum V solidis acciperet; asinum solido I. XX oves in solido compararet. Dicat, qui vult, quot cameli, vel asini, sive oves in negotio C solidorum fuerunt?
Solutio.
Si duxeris X novies, [et] V fiunt XCV, hoc est, cameli XVIIII sunt empti in solidis XCV. Adde cum ipsis unum, hoc est, in solido I asinum I, fiunt XCVI. Ac deinde duc vicies quater, fiunt LXXX, hoc est, in quatuor solidis oves LXXX. Junge ergo XVIIII et I et LXXX, fiunt C. Haec sunt animalia. Ac deinde junge XCV, et I et IIII, fiunt solid. C. Simul ergo juncti faciunt pecora C, et solidos C.

XXXVIIII. PROPOSIZIONE SU UN VENDITORE IN ORIENTE.
Un uomo voleva comprare 100 animali assortiti per 100 solidi in Oriente. Egli ordinò al suo servitore di pagere 5 solidi per cammello; un solido per asino , un solido per 20 pecore. Dica, chi vuole, quanti cammelli, asini e pecore ottenne per 100 solidi?
Soluzione.
Se prendi 10 volte 9 e aggiungi 5 ottieni 95, cioè: con 95 solidi si comprano 19 cammelli. Aggiungi un solido per un asino ottenendo 96. Quindi prendi 20 per 4 volte ottenendo 80, cioè: 20 pecore per 4 solidi. Somma 19, 1 e 80 ed ottieni 100, cioè il numero degli animali; quindi somma 95, 1 e 4 ottenendo 100 solidi. Dunque ci sono 100 animali e 100 solidi.

XL. PROPOSITIO DE HOMINE ET OVIBUS IN MONTE PASCENTIBUS.
Quidam homo vdit de monte oves pascentes, et dixit, utinam haberem tantum, et aliud tantum et medietatem de medietate, et de hac medietate aliam medietatem, atque ego centesimus una cum ipsis ingrederer meam domum. Solvat, qui potest, quot oves vidit ibidem pascentes?
Solutio.
In hoc ergo, quod dixit; haberem tantum; XXXVI oves primum ab illo visae sunt. Et aliud tantum fiunt LXXII, atque medietas de hac videlicet medietate, hoc est, de XXXVI, fiunt X et VIII. Rursusque de hac secunda scilicet medietate assumpta medietas, id est, de XVIII fiunt VIIII. Junge ergo XXXVI et XXXVI, fiunt LXXII. Adde cum ipsis XVIII, fiunt XC. Adde vero VIIII cum XC, fiunt XCVIIII. Ipse vero homo cum ipsis additus erit centesimus.

XL. PROPOSIZIONE SU UN UOMO E ALCUNE PECORE CHE PASCOLANO SU UN MONTE.
Un uomo vide da un monte alcune pecore che pascolavano e disse: "Oh, se potessi averne tante così, e quindi altrettante, e quindi la metà della metà di queste, e quindi la metà di questa metà! Allora io, come centesimo membro, potrei tornare a casa mia con loro." Risolva, chi può: quante pecore vide l'uomo pascolare?
Soluzione.
L'uomo, quando disse, "Oh, potessi averne tante così", aveva visto 36 pecore. Aggiungi un numero uguale ed ottieni 72, e la metà della metà di queste, cioè 36, fa 18. E poi la metà di queste, cioè 18, è 9. Dunque somma 36 e 36 ottenendo 72. Aggiungi 18 ed ottieni 90. Quindi aggiungi 9 ottenendo 99. L'uomo stesso si aggiunge alle pecore e sarà il centesimo.

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