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Traduzione dall'originale latino di Simona Bo
Note e riflessioni matematiche di Gianfranco Bo

Parte quinta - Proposizioni 41 - 53

XLI. PROPOSITIO DE SODE ET SCROFA.
Quidam Paterfamilias stabilivit curtem novam [quadrangulam], in qua posuit scrofam, quae peperit porcellos VII in media sode, qui una cum matre, quae octava est [F. add., octo sunt], pepererunt igitur unusquisque in omni angulo VII. Et ipsa iterum in media sode cum omnibus generatis peperit VII. Dicat, qui vult, una cum matribus quot porci fuerunt?
Solutio.
In prima igitur parturitione, quae fuit facta in media sode, fuerunt porcelli VII, et mater eorum octava. Octies igitur octo ducti fiunt LXIIII. Tot porcelli una cum matribus fuerunt in I angulo. Ac deinde sexagies quater octo ducti fiunt DXII. Tot cum matribus suis porcelli in angulo II. Rursusque DXII octies ducti fiunt ¬I¬I¬I¬I XCVI. Tot in tertio angulo cum matribus suis fuerunt. Qui si octies multiplicentur, fiunt ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, tot cum matribus in quarto fuerunt angulo. Multiplica quoque octies ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, fiunt ¬C¬C¬L¬X¬I¬I et CCCIIII. Tot enim creverunt, cum in media sode novissime partum fecerunt.

XLI. PROPOSIZIONE SU UN PORCILE E UNA SCROFA.
Un capofamiglia costruì un porcile quadrangolare, nel quale rinchiuse una scrofa. La scrofa diede alla luce 7 maialini al centro del porcile. Ogni porcellino, compresa la madre che era l'ottavo maiale (n.d.t. e compresi i maiali generati di volta in volta), diede alla luce 7 porcellini in ogni angolo [del porcile] (n.d.t. in quattro generazioni successive). Infine, al centro del porcile, la scrofa e gli altri maiali partorirono ognuno altri 7 porcellini. Dica, chi vuole, quanti maiali c'erano alla fine, compresa la scrofa?
(n.d.t. il senso del problema è il seguente: a partire da una scrofa, si hanno 5 generazioni successive in cui tutti i maiali presenti nel porcile partoriscono 7 maialini)

Soluzione.
Dopo il primo parto, che ha avuto luogo al centro del porcile, c'erano 7 porcellini e la madre era l'ottava.
8 preso 8 volte dà 64: tanti porcellini, compresa la madre, erano nel primo angolo.
Quindi, 64 preso 8 volte dà 512. Tanti porcellini, comprese le loro madri erano nel secondo angolo.
512 moltiplicato per 8 è uguale a 4096: tanti porcellini, comprese le loro madri, erano nel terzo angolo.
4096 moltiplicato per 8 equivale a 32788 (sic): tanti porcellini, comprese le loro madri, erano nel quarto angolo.
32788 moltiplicato per 8 è uguale a 262304. Tanti maiali erano nel porcile dopo l'ultimo parto.

Note.
Ai figli bisogna sommare i genitori: 7n+n = 8n
Il procedimento di Alcunino è corretto, c'è solo un errore di calcolo.
Io interpreto così.
0) 1; si parte con una scrofa
1) 1 + 7 = 8; la scrofa genera 7 maialini, in tutto sono 8
2) 8 + 8*7 = 8*8 = 64; 8 maiali vanno al primo angolo e generano 7 maiali ciascuno, in tutto sono 56 PIU' GLI 8 iniziali fanno 64
3) 64 + 64*7 =64*8 = 512; al secondo angolo
4) 512 + 512* 7 = 512*8 = 4096; al terzo angolo
5) 4096 + 4096*7 = 4096*8 = 32768; al quarto angolo
6) 32768 + 32768*7 = 32768*8 = 262144; tornano di nuovo al centro.
Il procedimento di Alcuino, è esatto, anche se fa un errore di calcolo quando scrive che 4096*8=32788, ma a quel tempo non c'era la calcolatrice di Windows e neppure l'abaco di Fibonacci.

XLII. PROPOSITIO DE SCALA HABENTE GRADUS CENTUM.
Est scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una: in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V. Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot columbae in totum fuerunt?
Solutio.
Numerabitur autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et junge ad illas XCVIIII, quae nonagesimo [nono] gradu consistunt, et erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octavum et invenies similiter C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et alium de inferioribus, hoc ordine conjunge, et reperies semper in binis gradibus C. Quinquagesimus autem gradus solus et absolutus est, non habens parem; similiter et centesimus solus remanebit. Junge ergo omnes et invenies columbas ¬V L.

XLII. PROPOSIZIONE SU UNA SCALA DI 100 GRADINI.
C'è una scala che ha 100 gradini. Sul primo gradino era appollaiata una colomba, sul secondo gradino 2 colombe, sul terzo 3, sul quarto 4, sul quinto 5, e così via fino al centesimo gradino. Dica, chi può, quante colombe c'erano in tutto?
Soluzione.
Ecco come contare le colombe: prendi la colomba appollaiata sul primo gradino e aggiungi ad essa le colombe appollaiate sul novantanovesimo gradino, ottenendo così 100. Fai la stessa cosa con il secondo e il novantottesimo gradino ed otterrai ugualmente 100. Così, sommando tutti i gradini in questo modo, cioè uno dei più alti con uno dei più bassi, otterrai sempre 100. Il cinquantesimo gradino, però, rimane solo e senza compagno, così come il centesimo gradino. Somma tutti i numeri e otterrai 5050 colombe.

XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS.
Homo quidam habuit CCC porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCC sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.
Solutio.
Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.

XLIII. PROPOSIZIONE SU ALCUNI MAIALI.
Un uomo aveva 300 maiali. Ordinò che fossero tutti macellati in 3 giorni, ma ogni giorno doveva essere ucciso un numero dispari di maiali. Egli volle che la stessa cosa fosse fatta con 30 maiali.
Dica, chi può, quanti maiali vennero uccisi al giorno in numero dispari, del gruppo dei 300 e dei 30 maiali?
Questo calcolo irrisolvibile è stato composto per scherno.
Soluzione
Ecco uno scherzo! Nessuno può risolvere il problema nel modo indicato, cioè in modo che 300 o 30 maiali siano uccisi in 3 giorni, macellandone un numero dispari ogni giorno. Questo è un problema inverosimile ideato solo per mettere alla prova i giovani.

XLIIII. PROPOSITIO DE SALUTATIONE PUERI AD PATREM.
Quidam puer salutavit patrem; ave, inquit, pater! Cui pater: valeas fili! vivas, quantum vixisti, quos annos geminatos triplicatos [Bed., triplicabi]; et sume unum de annis meis; et habebis annos C. Dicat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?
Solutio.
Erat enim puer annorum XVI, et mensium VI, qui geminati cum mensibus fiunt anni XXXIII, qui triplicati fiunt XCVIIII. Additio uno patris anno C apparent.

XLIIII. PROPOSIZIONE SUL SALUTO DI UN RAGAZZO AL PROPRIO PADRE.
Un ragazzo salutò il proprio padre dicendo: "Saluti, padre!" Il padre rispose: "Mantieniti in salute, figlio mio, e possa tu vivere tre volte il doppio dei tuoi anni. Quindi, aggiungendo un anno dei miei, tu vivrai fino a 100 anni". Dica, chi può, quanti anni aveva il ragazzo al momento?
Soluzione.
Il ragazzo aveva 16 anni e 6 mesi. Il doppio è 33, il cui triplo è 99. Avendo aggiunto un anno del padre, si ottiene 100.

XLV. PROPOSITIO.
Columba sedens in arbore vidit alias volantes: dixit eis: utinam fuissetis aliae tantum et ternae tantum, tunc una mecum fuissetis C. Dicat, qui potest, quot columbae erant in primis volantes?
Solutio.
Triginta III erant columbae, quas prius conspexit volantes. Item aliae tantae fiunt LXVI. Et tertiae tantum, fiunt XCVIIII. Adde sedentem, et erunt C.

XLV. PROPOSIZIONE.
Una colomba appollaiata su un albero vide altre colombe che volavano e disse loro: "Oh, se voi foste il doppio, e quindi il triplo! Allora, me compresa, sareste 100". Dica, chi può, quante erano le colombe che inizialmente volavano?
Soluzione.
Inizialmente le colombe che volavano erano 33. Il doppio è 66, il triplo è 99. Aggiungendo la colomba appollaiata diventano 100.

XLVI. PROPOSITIO DE SACCULO AB HOMINE INVENTO.
Quidam homo ambulans per viam invenit sacculum cum talentis duobus. Hoc quoque alii videntes dixerunt ei: frater da nobis portionem inventionis tantum [Bed., tuae]. Qui renuens noluit eis dare. Ipsi vero irruentes diripuerunt sacculum, et tulit sibi quisque solidos quinquaginta. Et ipse postquam vidit se resistere non posse, misit manum et rapuit solidos quinquaginta. Dicat, qui vult, quot homines fuerunt?
Solutio
Apud quosdam talentum LXXII [F. l. LXXV] vel pondo vel habet libras. Libra vero habet solidos aureos LXXII. Sexagies quinquies LXXII ducti fiunt ¬V CCCC, qui numerus duplicatus fiunt decies [Suppl., mille] DCCC. In X millibus et octingentis sunt quinquagenarii CCXVI. Tot homines idcirco fuerunt.

XLVI. PROPOSIZIONE SULLA PICCOLA BORSA TROVATA DA UN UOMO.
Un uomo che camminava per la strada trovò una piccola borsa che conteneva 2 talenti. Altre persone lo videro, e gli dissero: "Fratello, dacci una parte di ciò che hai trovato". Ma l'uomo scosse la testa e non volle dare loro nulla. Allora gli altri lo assalirono e gli strapparono via la borsa, ottenendo ognuno 50 solidi. E quando l'uomo capì che non poteva più resistere a lungo, rubò 50 solidi per sè. Dica, chi vuole, quanti uomini c'erano?
Soluzione.
Ogni talento pesa 72 libbre, e una libbra equivale a 72 solidi d'oro. 65 volte 72 è uguale a 5400, il cui doppio è 10800. 10800 diviso 50 è uguale a 216, che è il numero degli uomini.

XLVII. PROPOSITIO DE EPISCOPO QUI JUSSIT XII PANES DIVIDI.
Quidam Episcopus jussit XII panes dividi in Clero. Praecepit enim sic ut singuli Presbyteri binos acciperent panes; Diaconus dimidium, Lector quartam partem: ita tamen fiat, ut Clericorum et panum unus sit numerus. Dicat, qui vult, quot Presbyteri, vel quot Diacones, aut quot Lectores esse debent?
Solutio.
Quinquies bini fiunt X, id est, V presbyteri decem panes receperunt: et diaconus unus dimidium panem: et inter lectores VI habuerunt panem et dimidium. Junge V et I et VI in simul, et fiunt XII. Rursusque junge X et semis et unum et semis, fiunt XII. Et illi sunt XII panes; qui simul juncti faciunt homines XII et panes XII. Unus est ergo numerus clericorum et panum.

XLVII. PROPOSIZIONE SU UN VESCOVO CHE ORDINO' 12 PANI DA DIVIDERE.
Un vescovo ordinò 12 pani da dividere fra il clero. Egli stabilì che ogni prete avrebbe dovuto ricevere 2 pani, ogni diacono la metà di un pane e ogni lettore un quarto di pane. Così, il numero dei pani e dei clericali avrebbe dovuto essere lo stesso. Dica, chi può, quanti preti, diaconi e lettori dovevano esserci?
Soluzione.
Il doppio di 5 è 10; cioè 5 preti ricevettero 10 pani. Il diacono ottenne metà di un pane, quindi rimanevano un pane e mezzo per i 6 lettori. Somma 1, 5, 6 ed ottieni 12. Quindi somma 10, 1/2 e 1 1/2 ed ottieni 12, che è il numero dei pani. Dunque c'erano 12 uomini e 12 pani. Così il numero dei pani e dei clericali è lo stesso.

XLVIII. PROPOSITIO DE HOMINE QUI OBVIAVIT SCHOLARIBUS.
Quidam homo obviavit scholaribus, et dixit eis: quanti estis in schola? Unus ex eis respondit dicens: Nolo hoc tibi dicere, tu numera nos bis, multiplica ter; tunc divide in quatuor partes. Quarta pars numeri, si me addis cum ipsis, centenarium explet numerum. Dicat, qui potest, quanti fuerunt, qui pridem obviaverunt ambulanti per viam?
Solutio.
Terties ter bini [Id est, bis XXXIII] fiunt LXVI: tant erant, qui pridem obviaverunt ambulanti; qui numerus bis ductus CXXXII reddit. Hos multiplica ter, fiunt CCCXCVI, horum quarta pars XCVIIII sunt. Adde puerum respondentem et reperies C.

XLVIII. PROPOSIZIONE SU UN UOMO CHE INCONTRO' ALCUNI STUDENTI.
Un uomo incontrò alcuni studenti e chiese loro: "Quanti di voi sono a scuola?" Uno di essi rispose: " Non te lo voglio dire [se non nel seguente modo]: considera il doppio di noi, quindi il triplo di questo numero; quindi dividi questo numero in 4 parti. Se tu mi aggiungi ad 1/4, ce ne saranno 100". Dica, chi può, quanti erano gli studenti inizialmente incontrati dall'uomo?
Soluzione.
Il doppio di 33 è 66: questo è il numero degli studenti inizialmente incontrati dall'uomo. Il doppio di 96 è 132, e il triplo di 132 è 396, la cui quarta parte è 99. Aggiungi il ragazzo che ha risposto ed otterrai 100.

XLVIIII. PROPOSITIO DE CARPENTARIIS.
Septem carpentarii septenas rotas fecerunt. Dicat, qui potest, quot carrae rexerunt [Bed., quod carra fecerunt]?
Solutio.
Duc septies VII fiunt XLVIIII, tot rotas fecerunt. XII vero quater ducti XLVIII reddunt. Super XL et VIIII rotas XII carra sunt erecta et una superfuit rota.

XLVIIII. PROPOSIZIONE SU ALCUNI CARPENTIERI.
Sette carpentieri fecero ognuno 7 ruote. Dica, chi può, quanti carri costruirono?
Soluzione.
Prendi 7 volte 7: 49 è il numero delle ruote. 12 moltiplicato per 4 è uguale a 48. Con le 49 ruote si possono costruire 12 carri, ed avanza una ruota.

L. PROPOSITIO DE VINO IN VASCULIS.
Centum metra vini, rogo, ut dicat, qui vult, quot sextarios capiunt? vel ipsa etiam centum metra quot meros habent?
Solutio.
Unum metrum capit sectarios XL et VIII. Duc centies XLVIII, fiunt quatuor milia DCCC. Tot sextarii sunt. Similiter et unum metrum habet meros CCLXXXVIIII, duc centies CCLXXXVIIII fiunt ¬X¬X¬V¬I¬I¬I DCCCC. Tot sunt meri.

L. PROPOSIZIONE SU DEL VINO IN PICCOLI RECIPIENTI.
Chiedo, cosicchè chi vuole possa rispondere: quanti sextarii contengono 100 metra di vino e quanti mera contengono 100 metra?
Soluzione.
Un metrum contiene 48 sextarii. Moltiplica 48 per 100 ed otterrai 4800: questo è il numero dei sextarii [in 100 metra]. Similmente, un metrum contiene 289 meri. 100 volte 289 equivale a 28900. Questo è il numero dei meri [in 100 metra].

LI. PROPOSITIO DE VINI IN VASCULIS A QUODAM PATRE DIVISIONE.
Quidam paterfamilias moriens dimisit IIII filiis, IIII vascula vini: in primo vase erant modia XL; in secundo XXX; in tertio XX; et in quarto X; qui vocans dispensatorem domus suae ait: Haec quatuor vascula cum vino intrinsecus manente divide inter quatuor filios meos; sic tamen, ut unicuique eorum una sit portio tam in vino, quam in vasis. Dicat, qui intelligit, quomodo dividendum est, ut omnes aequaliter ex hoc accipere possint?
Solutio.
In primo siquidem vasculo fuerunt modia XL, in secundo XXX, in tertio XX, in quarto X. Junge igitur XL et XXX et XX et X, fiunt C. Tunc deinde centenarium idcirco numerum per quartam divide partem. Quarta namque pars centenarii XXV reperitur, qui numerus bis ductus quinquagenarium de se reddit numerum. Eveniunt ergo unicuique filio in portione sua XXV modia; et inter duos L. In primo XL, et in quarto sunt modii X, hi juncti faciunt L, hoc dabis inter duos. Similiter junge XXX et XX modia, quae fuerunt in secundo et tertio vascula, et fiunt L et hoc quoque, similiter ut superius, dabis inter duos, et habebunt singuli XXV modia; eritque id faciendo singlorum aequa filiorum divisio, tam in vino, quam et in vasis.

LI. PROPOSIZIONE SU DEL VINO IN PICCOLI RECIPIENTI DIVISO DA UN PADRE.
Un padre morente lasciò 4 piccoli contentitori di vino ai suoi 4 figli. Nel primo contenitore c'erano 40 moggi di vino; nel secondo, 30; nel terzo, 20; nel quarto, 10. Chiamando il tesoriere della sua casa, disse: "Dividi questi quattro contenitori di vino fra i miei figli in modo che ogni figlio riceva parti uguali di vino e di contenitori". Dica, chi può, come dovevano essere divisi i contenitori in modo che i figli ricevano parti uguali di vino e di contenitori?
Soluzione.
Nel primo contenitore c'erano 40 moggi di vino; nel secondo, 30; nel terzo, 20; nel quarto, 10. dunque somma questi moggi ed otterrai 100. Quindi, dividi 100 in 4 parti, ed otterrai 25. Questo numero moltiplicato per 2 diventa 50. Quindi, 25 moggi spettano ad ogni figlio, e a due figli toccano 50 moggi. Nel primo [contenitore] ci sono 40 moggi e nel quarto 10. Insieme sono 50 moggi che tu puoi dividere fra due dei figli. In maniera simile, somma i 20 e i 30 moggi che sono nel secondo e nel terzo contenitore, ottenendo 50 moggi. Come sopra, dividi questi moggi fra i rimanenti due figli, ed oguno avrà la quantità di 25 moggi. Facendo questo, ci sarà un'equa divisione di vino e contenitori fra i figli.

LII. PROPOSITIO DE HOMINE PATERFAMILIAS.
Quidam paterfamilias jussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari; quae distabat leucas XXX: ea vero ratione, ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus, et in unaquaque subvectione XXX modia portarentur: camelus quoque in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent?
Solutio.
In prima subvectione portavit camelus modios XXX super leucas X, et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est, modios XX comedit et remanserunt X. In secunda subvectione similiter deportavit modios XXX et ex his comedit XX, et remanserunt X, in tertia vero subvectione fecit similiter; deportavit modios XXX, et ex his comedit XX, et remanserut X. Sunt vero de his, qui remanserunt, modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX, in quarta subvectione domum detulit, et ex his X in itinere comedit, et remanserunt de tota illa summa modia tantum XX.

LII. PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA.
Un capofamiglia ordinò che 90 moggi di frumento fossero portati da una delle sue case ad un'altra, distante 30 leghe. Dato che il carico di frumento poteva essere portato da un cammello in 3 viaggi, e dato che il cammello mangia un moggio per lega, dica, chi vuole, quanti moggi rimasero [alla fine del trasporto]?
Soluzione.
Nel primo viaggio il cammello portò 30 moggi per 10 leghe, mangiando un moggio di grano per lega; cioè, mangiò 20 moggi e ne lasciò 10. Nel secondo viaggio, portò ugualmente 30 moggi, mangiandone 20 e lasciandone 10. Nel terzo viaggio fece la stessa cosa, portando 30 moggi, mangiandone 20 e lasciandone 10. Quindi rimasero 30 moggi e 10 leghe da percorrere. Il cammello portò questi 30 moggi in un quarto viaggio durante il quale ne mangiò 10 lasciandone soltanto 20 di tutto il carico originario.

Nota.
Evidentemente la soluzione di Alcuino è errata.

LIII. PROPOSITIO DE HOMINE PATREFAMILIAS MONASTERII XII MONACHORUM.
Quidam Pater Monasterii habuit XII monachos, qui vocans dispensatorem domus suae dedit illis ova CCIIII, jussitque, ut singulis aequalem daret ex eis portionem. Sic tamen jussit, ut inter V presbyteros daret ova LXXXV [et inter quatuor Diaconos LXVIII, et inter tres Lectores LI]. Dicat, rogo, qui valet, quot ova unicuique ipsorum in portionem venerunt, ita ut in nullo nec superabundet numerus, nec minuatur; sed omnis, ut supra diximus, aequalem in omni accipiat portionem?
Solutio.
Ducentos igitur quatuor per XII partem divide. Horum quippe pars XII in septima decima resolvitur parte; quia sive duodecies XVII, sive decies septies XII miseris, CCIIII reperies. Sicut enim octogenarius quintus numerus septimum decimum quinarium [Leg., quinarie] reddit numerum de se, ita et sexagenarius octavus quadrifarie, et quinquagesimus primus trifarie. Junge V et IIII et III, fiunt XII. Isti sunt homines XII. Rursusque junge LXXXV et LXVIII et LI, fiunt CCIIII. Haec sunt ova CCIIII. Veniunt ergo singulorum ex his in partes ova XVII per duodecimam partem. Septimum decimum aequa lance dividi fiunt...

LIII. PROPOSIZIONE SU UN ABATE DI UN MONASTERO CON 12 MONACI
Un abate aveva 12 monaci. Diede ai monaci 204 uova e chiamò il tesoriere ordinandogli di dividere le uova in parti uguali fra i monaci. Stabilì inoltre che fossero consegnate 85 uova ai 5 preti, 68 uova ai 4 diaconi e 51 uova ai 3 lettori.
Dica, chiedo, chi ne è capace, quante uova ricevette ogni monaco in modo tale che nessuno ne ricevette troppe, né troppo poche, ma, come abbiamo detto sopra, tutti ne ricevettero la stessa quantità?
Soluzione
Dividi 204 in 12 parti. Ciascuna parte è formata da 17 uova, poiché se tu prendi 12 volte 17 o 17 volte 12 ottieni comunque 204.
Infatti il numero 85 contiene 17 volte 5 e il numero 68 contiene 17 volte 4 e il numero 51 contiene 17 volte 3.
Sommando 5, 4 e 3 si ottiene 12, questo è il numero degli uomini.
Sommando invece 85, 68 e 51 si ottiene 204, questo è il numero delle uova.
Perciò le uova saranno divise in 17 parti di 12 uova ciascuna. Le 17 parti saranno quindi divise equamente.

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