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12. Propositio de quodam patrefamilias et tribus filius ejus
XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS
FILIIS EIUS.
Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX
ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae.
Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum
de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.
Solutio.
Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt
plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio
veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da
primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas.
Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam
in vitro.
PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA E I SUOI TRE FIGLI.
Un capofamiglia, morendo, lasciò in eredità ai suoi tre figli 30 ampolle
di vetro, di cui 10 erano piene d'olio, 10 erano piene a metà e 10 erano vuote.
Divida, chi può, l'olio e le ampolle, cosicché i tre figli ricevano quantità
uguali sia di vetro sia di olio.
Soluzione.
Tre sono i figli e 30 le ampolle di vetro. Tuttavia, di queste ampolle, 10
sono piene d'olio, 10 piene a metà e 10 vuote. Considera il triplo di 10, che
è 30: ogni figlio riceve 10 ampolle come parte di eredità. Dividi inoltre le
tre parti di eredità in questo modo: Dà al primo figlio 10 ampolle piene a
metà e al secondo figlio 5 piene e 5 vuote. Dà anche al terzo figlio 5 ampolle
piene e 5 vuote ed ecco che le parti di eredità sono uguali sia nella quantità
d'olio sia nel numero di ampolle.
Note.
Il problema sembra avere almeno 21 soluzioni
Grazie a Dino e Ivana Niccolai per la seguente analisi.
Le 10 ampolle piene e le 10 ampolle semipiene sono esattamente equivalenti a
30 ampolle semipiene.
Ogni figlio deve prendere 10 ampolle semipiene.
Si presentano sei casi possibili, che si equivalgono:
0 ampolle piene e 10 ampolle semipiene
1 ampolla piena e 8 ampolle semipiene
2 ampolle piene e 6 ampolle semipiene
3 ampolle piene e 4 ampolle semipiene
4 ampolle piene e 2 ampolle semipiene
5 ampolle piene e 0 ampolle semipiene
Poiché ogni figlio deve prendere 10 ampolle (piene, semipiene, oppure vuote)
sono possibili cinque modalità di equa suddivisione del vino e delle ampolle:
Primo modo:
Uno dei tre figli prende: 1 ampolla piena, 8 ampolle semipiene e 1 ampolla vuota
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.
Secondo modo:
Uno dei tre figli prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.
Terzo modo
Uno dei tre figli prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Quarto modo
Uno dei tre figli prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote
Quinto modo
Uno dei tre figli prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 0 ampolle piene, 10 ampolle semipiene e 0 ampolle vuote.
Per ognuna delle prime due modalità descritte i tre figli possono dividersi le
ampolle in 6 modi diversi
Per ognuna delle ultime tre modalità descritte i tre figli possono dividersi le
ampolle in tre modi diversi.
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