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I migliori problemi di Alcuino da York

in latino, spagnolo e italiano

Esperimento trilingue pubblicato sulla rivista "INTEGRA" del Departamento de Matematica dell'Università di Vina del Mar (Chile) in collaborazione con il professor Roberto Doniez Soro.

INTEGRA 7, 2003
Serie: Historia de la Matemàtica
Universidad de Viña del Mar
Viña del Mar - Chile

I. EXORDIO

II. COLECCIÓN ESCOGIDA DE PROBLEMAS

PROBLEMA 5

PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM

Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?

Solutio

Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.

PROPOSIZIONE SU UN COMMERCIANTE E I SUOI DENARI

Disse un commerciante: "Voglio comprare 100 maiali con 100 denari in modo tale da pagare 10 denari per un verro adulto, 5 denari per una scrofa e 1 denaro per due maialini". Dica, chi lo sa, quanti verri, scrofe e maialini dovrebbe acquistare il commerciante per spendere esattamente 100 denari?

Soluzione
Il commerciante compra 9 scrofe ed un verro per 55 denari, e 80 maialini per 40 denari. Ecco 90 maiali. Con i rimanenti 5 denari, compra altri 10 maialini, ed in questo modo ha 100 maiali per 100 denari.

PROBLEMA DEL COMERCIANTE Y SUS DINARES

Un comerciante dijo: "Quiero comprar 100 cerdos con 100 dinares, de manera que deba pagar 10 dinares por un cerdo adulto, 5 dinares por una cerda adulta y 1 dinar por 2 cerditos. Diga, quien lo sepa, ¿cuántos cerdos adultos, cerdas adultas y cerditos debería adquirir el comerciante para gastar exactamente 100 dinares?

Solución

El comerciante compra 9 cerdas adultas y 1 cerdo adulto por 55 dinares, y 80 cerditos por 40 dinares. Totalizando 90 cerdos. Con los restantes 5 dinares, compra 10 cerditos más, y de esta forma, tiene 100 cerdos por 100 dinares.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

Supongamos que x: nº de cerdos adultos, y: nº de cerdas adultas, z: nº de cerditos.

Entonces se plantea el siguiente sistema dos ecuaciones con tres incógnitas:

x + y + z = 100

10x + 5y + 0,5z = 100

-----------------------------------------------------

del cual se obtiene que : 9y = 100 - 19x

pero como x >0 , y >0 entonces debe ocurrir que : x = 1, 2, 3, 4 ó 5

y revisando cada una de estas alternativas se llega a que la única solución es:

x = 1, y = 9, z = 90

Por lo tanto el comerciante debe adquirir 1cerdo adulto, 9 cerdas adultas y 90 cerditos para gastar exactamente 100 dinares.¦

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 6

PROPOSITIO DE DUOBUS NEGOTIATORIBUS C SOLIDOS HABENTIBUS

Fuerunt duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, volentes eos saginare, atque iterum venumdare, et in solidis lucrum facere. Cumque vidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi eos non valuissent tempore hyemali pascere, tentavere venumdando, si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non valebant eos amplius venumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt ad invicem: dividamus eos. Dividentes autem et vendentes, sicut emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui valet, imprimis quot porci fuerunt; et dividat ac vendat et lucrum faciat, quod facere de simul venditis non valuit.

Solutio
Imprimis CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum est, in duobus solidis V porcos: quia sive quinquagies quinos, sive quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus divisis unus tulit CXXV, alter similiter. Unus vendidit deteriores tres semper in solido; alter meliores duos in solido. Sic evenit, ut is, qui deteriores vendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus. Qui vero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus XXX semper in X solidis; de melioribus vinginti autem in X solidis sunt venumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad lucrum IIII solidos et duos denarios facere potueunt.

PROPOSIZIONE SU DUE UOMINI D'AFFARI CHE HANNO 100 SOLDI

C'erano due uomini d'affari che avevano 100 soldi in società, con i quali comprarono alcuni maiali al prezzo di 2 soldi per 5 maiali, con l'intenzione di ingrassarli e venderli in seguito, realizzando un profitto. Quando si accorsero che non era il periodo giusto per ingrassare i maiali, e che loro non erano in grado di alimentarli per tutto l'inverno, cercarono di trarre guadagno rivendendoli. Ma non ebbero successo, perchè avrebbero potuto rivendere i maiali solo al prezzo a cui li avevano acquistati, cioè 2 soldi per 5 maiali. Quando lo capirono, si dissero l'un l'altro: "Ci divideremo i maiali." Ma spartendosi i maiali e rivendendoli allo stesso prezzo al quale li avevano pagati, riuscirono a realizzare un guadagno. Dica, chi ne è capace: quanti maiali acquistarono inizialmente i due uomini, come se li spartirono e a quale prezzo li rivendettero in modo da realizzare quel profitto che non avrebbero ottenuto se li avessero rivenduti tutti insieme?

Soluzione
I due uomini acquistarono inizialmente 250 maiali con 100 soldi come detto sopra, al prezzo di 2 soldi per 5 maiali. Infatti se dici "50 volte 5" o "5 volte 50" ottieni sempre 250. Divisi i maiali, i due uomini ne presero 125 a testa.
Un uomo vendette i maiali di qualità inferiore al prezzo di 1 soldo per 3 maiali. L'altro vendette i maiali di qualità superiore al prezzo di 1 soldo per due maiali.Allora accadde che colui che aveva venduto i maiali di qualità inferiore ricavò 40 soldi per 120 maiali, mentre colui che aveva venduto dei maiali di qualità superiore ricavò 60 soldi per 120 maiali. Questo perchè c'erano sempre 30 maiali di qualità inferiore per 10 soldi e 20 di qualità superiore per 10 soldi. Ai due uomini rimasero 5 maiali a testa, che fruttarono loro 4 soldi e 2 denari di guadagno.

PROBLEMA DE LOS DOS HOMBRES DE NEGOCIO QUE TIENEN 100 SUELDOS

Había dos hombres de negocio que tenían 100 sueldos en sociedad, con los cuales compraron unos cerdos al precio de 2 sueldos por cada 5 cerdos, con la intención de engordarlos y en seguida venderlos, para obtener un beneficio. Cuando se dieron cuenta que no era la época adecuada para engordar a los cerdos, y que no estaban en condiciones de alimentarlos todo el invierno, intentaron conseguir ganancia revendiéndolos. Pero no tuvieron éxito (en venderlos como un total), porque sólo podían revender los cerdos al precio que los habían adquirido, o sea, 2 sueldos por cada 5 cerdos. Cuando se convencieron, uno le dijo al otro: " Nos dividiremos los cerdos." Pero repartiéndose los cerdos y revendiéndolos al mismo precio que habían tenido que pagar, lograron obtener una ganancia. Diga, quien sea capaz, ¿Cuántos cerdos adquirieron inicialmente los dos hombres, cómo se los repartieron y a cuánto los revendieron de modo de obtener el beneficio que no habrían obtenido si los hubiesen revendido todos juntos?

Solución

Los dos hombres adquirieron inicialmente 250 cerdos con 100 sueldos como se dijo arriba, al precio de 5 sueldos por cada 5 cerdos. De hecho, si dices "50 veces 5" o "5 veces 50", obtienes siempre 250. Divididos los cerdos, los 2 hombres tomaron 125 cada uno. Un hombre vendió los cerdos de calidad inferior, al precio de 1 sueldo por cada 3 cerdos. El otro vendió los cerdos de calidad superior, al precio de 1 sueldo por cada 2 cerdos. Sucedió entonces que aquel que había vendido los cerdos de calidad inferior, recaudó 40 sueldos por 120 cerdos, mientras que aquel que había vendido los cerdos de calidad superior, recaudó 60 sueldos por 120 cerdos. Aquello porque había 30 cerdos de calidad inferior por 10 sueldos y 20 de calidad superior por el mismo precio. A cada uno de los dos hombres le quedaron 5 cerdos, que les reportaron 4 sueldos y 2 dinares de ganancia.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

En la época romana se usaban varias monedas de diferentes metales: bronce, plata, oro. El valor de una moneda dependía de la cantidad de metal contenido en ella. A partir de Carlo Magno el sistema fue cambiado: en el imperio se establecieron la lira (del latin libbra), el sueldo (del latin solidum) y el dinar en monedas sólo de plata. La lira y el sueldo eran monedas ficticias dado que sólo se acuñaban dinares de plata (se supone que 1 dinar contenía 1,6 gr. de plata).

Se sabe que 1 lira = 240 dinares = 20 sueldos, 1 sueldo = 12 dinares.

Los dos hombres vendieron 120 + 120 = 240 cerdos, recaudando 40 + 60 = 100 sueldos y de esta forma recuperaron la inversión inicial.

Los 5 + 5 cerdos que les sobraron los vendieron así:

• -5 cerdos de calidad inferior a 1 sueldo por cada 3 cerdos, obteniendo 1 + 2/3 sueldos
• -5 cerdos de calidad superior a 1 sueldo por cada 2 cerdos, obteniendo 2 + 1/2 sueldos
• y esto les permitió un beneficio final de 4 + 1/6 sueldos.

De la solución de Alcuino se deduce que 1/6 sueldo = 2 dinares, es decir 1 sueldo = 12 dinares.

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 12

PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS.

Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.

Solutio
Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro.

PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA E I SUOI TRE FIGLI.

Un capofamiglia, morendo, lasciò in eredità ai suoi tre figli 30 ampolle di vetro, di cui 10 erano piene d'olio, 10 erano piene a metà e 10 erano vuote. Divida, chi può, l'olio e le ampolle, cosicchè i tre figli ricevano quantità uguali sia di vetro sia di olio.

Soluzione
Tre sono i figli e 30 le ampolle di vetro. Tuttavia, di queste ampolle, 10 sono piene d'olio, 10 piene a metà e 10 vuote. Considera il triplo di 10, che è 30: ogni figlio riceve 10 ampolle come parte di eredità. Dividi inoltre le tre parti di eredità in questo modo: Dà al primo figlio 10 ampolle piene a metà e al secondo figlio 5 piene e 5 vuote. Dà anche al terzo figlio 5 ampolle piene e 5 vuote ed ecco che le parti di eredità sono uguali sia nella quantità d'olio sia nel numero di ampolle.

PROBLEMA SOBRE UN PADRE DE FAMILIA Y SUS TRES HIJOS

Un padre de familia, al morir, dejó en herencia a sus tres hijos 30 vasijas de vidrio con aceite, de las cuales 10 estaban llenas de aceite, 10 estaban llenas hasta la mitad y 10 estaban vacías. Divida, quien pueda, el aceite y las vasijas, para que los tres hijos reciban cantidades iguales tanto de vasijas de vidrio como de aceite.

Solución

Tres son los hijos y 30 las vasijas de vidrio. Sin embargo, de estas vasijas, 10 están llenas de aceite, 10 llenas hasta la mitad y 10 vacías. Considera el triple de 10, que es 30: cada hijo recibe 10 vasijas como parte de la herencia. Reparte además las tres partes de al herencia de este modo: Da al primer hijo 10 vasijas llenas hasta la mitad y al segundo hijo 5 llenas y 5 vacías. Da también al tercero 5 vasijas llenas y 5 vacías y he aquí que las partes de la herencia son iguales tanto en la cantidad de aceite como en el número de vasijas.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

i) Cada hijo recibe 30/3 = 10 vasijas de vidrio con aceite y 15/3 = 5 volúmenes de aceite.

ii) Basta asignar las vasijas llenas a cada uno de los hijos para que se conozca el número de las otras.

iii) Razonando de este modo de descubren 21 soluciones (5 tipos con sus permutaciones por hijos).

En el sito Web que se indica, hay un artículo de David Singmaster titulado "Triangles with Integer Sides and Sharing Barrels" y en el cual se estudia una generalización de este problema.

http://www2.edc.org/makingmath/handbook/Teacher/GettingInformation/TrianglesAndBarrels.pdf

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 17

PROPOSITIO DE TRIBUS FRATRIBUS SINGULAS HABENTIBUS SORORES

Tres fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui) qui venientes ad fluvium non invenerunt, nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit?

Solutio
Primo omnium ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororeque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio.

PROPOSIZIONE SU TRE AMICI CIASCUNO DEI QUALI AVEVA UNA SORELLA NUBILE

C'erano tre amici, ciascuno dei quali aveva una sorella nubile, che dovevano attraversare un fiume. Ogni uomo desiderava le sorelle degli altri due. Giunti al fiume, non trovarono altro che una piccola barca che poteva trasportare non più di due persone alla volta. Dica, chi può, in che modo attraversarono il fiume, affinchè nessuna donna fosse disonorata dagli uomini?

Soluzione
Prima di tutto, io e mia sorella salimmo sulla barca e attraversammo il fiume. Lei scese e io ritornai alla riva di partenza. Poi salirono le sorelle degli altri due uomini. Giunte alla riva opposta, scesero dalla barca e vi salì mia sorella riportandocela indietro. Quindi salirono gli altri due uomini. Giunti sull'altra riva, uno dei due ritornò indietro assieme a sua sorella. Poi io e l'uomo che aveva riportato la barca attraversammo nuovamente il fiume mentre mia sorella rimase sulla riva. Giunti alla riva opposta, una donna prese la barca, attraversò il fiume e ritornò indietro portando mia sorella verso di noi. Infine, l'uomo la cui sorella era rimasta sull'altra riva, attraversò il fiume e ritornò indietro con lei. Così si concluse la traversata senza che nessuna donna fosse disonorata.

PROBLEMA DE LOS TRES HOMBRES CADA UNO DE LOS CUALES TENÍA UNA HERMANA CASADERA

Había tres hombres, cada uno de los cuales tenía una hermana casadera, que debían cruzar un río. Cada hombre deseaba a la hermana de cada uno de los otros dos. En la orilla del río, no encontraron otra cosa que una pequeña barca que podía transportar no más de dos personas a la vez. Diga, quien pueda, de qué modo cruzaron el río para que ninguna hermana fuese asediada por los hombres.

Solución

Primeramente, yo y mi hermana, subimos a la barca y cruzamos el río. Ella bajó y yo volví a la orilla de partida. Después subieron las hermanas de los otros dos hombres. En la orilla opuesta, bajaron de la barca, mi hermana se subió y nos trajo de vuelta la barca. Luego subieron los otros dos hombres. Ya en la otra orilla, uno de los dos regresó con su hermana. Luego yo y el hombre que había traído la barca cruzamos el río mientras mi hermana permaneció en la orilla (de partida). Junto a la orilla opuesta, una mujer tomó la barca, atravesó el río volvió y trajo a mi hermana hacia nosotros. Finalmente, el hombre cuya hermana estaba en la otra orilla , atravesó el río y volvió a tras con ella. De este modo se concluyó la travesía sin que ninguna mujer fuese asediada por los hombres.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

1. De la solución que da Alcuino al problema, se deducen las restricciones que tenían las mujeres tanto para permanecer en alguna de las dos orillas o en la barca. Estas son de cuatro tipos:

• Estar sóla.
• Estar en compañía de otra mujer.
• Estar en compañía de su propio hermano.
• Estar con su hermano si hay otros hombres presentes.

2. Cada uno de los hombres será simbolizado por una M (M₁, M₂, y M₃) y cada una de sus hermanas por una F (F₁, F₂, F₃). Asi hay tres parejas de hermanos (M_i, F_i) donde i = 1, 2 ,3.

3. Alcuino presenta la solución en primera persona, por lo tanto M₁ corresponderá a la primera persona (yo) y F₁ a su hermana.

4. La tabla siguiente esquematiza la solución de Alcuino:

5. El problema tiene infinitas soluciones, sin embargo evitando los viajes "sin sentido" hay cuatro grandes tipos de solución. Para realizar con más claridad el conteo presentamos el grafo siguiente (aporte de Gianfranco Bo):

Breve explicación del grafo dirigido: Los vértices (nodos) corresponden a los distintos estados de las riberas del río. Las aristas (arcos) indican los sucesivos viajes de una ribera a otra del río. El signo + indica que el viaje se hace de la ribera de partida a la de llegada y entonces el signo - indicará un viaje en sentido contrario. Las indicaciónes F(n), M(n), FF(n), MM(n), MF(n): corresponden al viaje de una mujer, un hombre, dos mujeres, dos hombres o dos hermanos y la letra n entre paréntesis indica el número de alternativas para ello. Una solución del problema se encuentra recorriendo el grafo desde el punto de partida al punto de llegada. Como se ve el grafo consta de tres partes: un "cuadrado inicial"(lado izquierdo), un segmento central y un "cuadrado final".

En la tabla siguiente presentamos un esquema para el total de soluciones (hacemos uso de dos principios básicos de Combinatoria: el Aditivo y el Multiplicativo).

Entonces las tres parejas de hermanos pueden cruzar el río (cumpliendo las reglas dadas), de 486 maneras diferentes.

En el sitio Web http://gallica.bnf.fr/ puede encontrarse en formato pdf, el libro de Edouard Lucas (1842-1891), Récréations Mathématiques, Tomo I, 1881, (2° edizione, Paris, 1992). En las páginas 6-9 se encuentra un análisis detallado del problema "La traversée des trois ménages", que el autor atribuye a Claude-Gaspar Bachet (1581-1638) y es una variante de este problema de Alcuino, en el cual los protagonistas son tres maridos celosos y sus mujeres.

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 26

PROPOSITIO DE CURSU CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS.

Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est,

fecerunt [Bed., confecerint].

Solutio
Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

PROPOSIZIONE SULLA CORSA DEL CANE E LA FUGA DELLA LEPRE

C'è un campo lungo 150 piedi. Ad un'estremità c'era un cane, all'altra una lepre. Il cane correva dietro alla lepre inseguendola. Ma mentre il cane avanzava di 9 piedi ad ogni salto, la lepre ne avanzava soltanto di 7. Dica, chi lo vuole, quanti piedi percorsero e quanti salti fecero il cane inseguendo e la lepre fuggendo fino a quando la lepre fu catturata.

Soluzione
La lunghezza del campo era di 150 piedi. La metà di 150 è 75. Il cane percorreva 9 piedi ad ogni salto e 9 moltiplicato per 75 fa 675. Il cane quindi percorse 675 piedi inseguendo la lepre finchè non la afferrò con i denti robusti. E invero, poichè la lepre percorreva 7 piedi ad ogni salto, calcola 75 volte 7. Tanti furono i piedi che la lepre percorse fuggendo prima di essere catturata.

PROBLEMA DE LA CARRERA DEL PERRO Y LA FUGA DE LA LIEBRE

Hay un campo de 150 pies de longitud. En un extremo había un perro, en el otro una liebre. El perro corría tras la liebre persiguiéndola. Pero mientras el perro avanzaba 9 pies en cada salto, la liebre sólo avanzaba 7. Diga, quien quiera, ¿cuántos pies recorrerá y cuántos saltos dará el perro persiguiendo a la liebre que huye, hasta que sea capturada.

Solución

La longitud del campo era de 150 pies. La mitad de 150 es 75. El perro recorría 9 pies en cada salto y 9 multiplicado por 75 hace 675. El perro entonces recorrió 675 pies persiguiendo a la liebre, hasta atraparla con sus robustos dientes. Y en verdad, puesto que la liebre recorrió 7 pies en cada salto, calcula 75 veces 7. Estos fueron los pies que la liebre recorrió huyendo antes de ser capturada.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

El título es una broma en el cual Alcuino cambia algunas letras (vocales) del alfabeto por las siguientes.

Escribe Propositio de cursu CBNKS BC FVGB LFPPRKS en vez de:

Propositio de cursu CANIS AC FUGA LEPORIS

i) Suponiendo que el perro y la liebre inician su carrera en el mismo instante y saltan con la misma frecuencia, se observa que el perro con cada salto se acerca 2 pies a la liebre (9 - 7 = 2)

ii) Debido a que la saparación inicial entre el perro y la liebre es de 150 pies, el perro alcanza a la liebre al término del septuagésimo quinto salto.

iii) Las distancias recorridas son entonces:

para el perro 9* 76 = 675 pies y para la liebre 7*75 = 525 = 675 - 150 pies.

iv) ¿Pero estamos seguros que el perro y la liebre, al terminar el 75º salto se encuentran en el mismo punto? Sí, pues la distancia inicial es un múltiplo de la diferencia de sus velocidades.

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 35

PROPOSITIO DE OBITU CUJUSDAM PATRISFAMILIAS

Quidam paterfamilias moriens reliquit infantes, et in facultate sua, solidorum DCCCCLX [Bed., DCCCLX], et uxorem praegnantem. Qui jussit, ut si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrans, hoc est, uncias VIIII. Et mater ipsius acciperet quadrans, hoc est, uncias III. Si autem filia nata esset, acciperet septunx, hoc est, VII [Bed. V] uncias, et mater ipsius acciperet quincunx, hoc est, V uncias. Contigit autem ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater, et quantum filius, quantumve filia?

Solutio
Junge ergo VIIII et III, fiunt XII, XII namque unciae libram faciunt. Rursusque junge similiter VII et V, fiunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII, XXIIII autem faciunt duas libras, id est, solidos XL. Deinde ergo [duc] per vicesimam quartam partem DCCCCLX solidos, et vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia facit dodrans sive dodrans, XL in nonam partem, ideo novies XL accepit filius, hoc est, XVIIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit, et quintam contra filiam, III et V, fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis seu bisse XL in parte octava; octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx, XL in VII partibus: postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX, hoc filia accepit. Junge ergo CCCLX et CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCCLX solidi et XLVIII librae.

PROPOSIZIONE SULLA MORTE DI UN CAPOFAMIGLIA

Un capofamiglia morì, lasciando una moglie incinta e 960 soldi dei suoi beni. Sul letto di morte, ordinò che se fosse nato un maschio, allora avrebbe ricevuto i 3/4 dell'eredità, cioè 9 oncie (9/12). E la madre avrebbe ricevuto 1/4, cioè 3 oncie (3/12). Se invece fosse nata una femmina, avrebbe ricevuto i 7/12, cioè 7 oncie e la madre i 5/12, cioè 5 oncie.
Ma quando venne il momento, la donna partorì due gemelli, un maschio e una femmina. Risolva chi può: quanto ricevette la madre, quanto il figlio e quanto la figlia?

Soluzione
Addiziona 9 e 3, e ottieni 12. Dodici once equivalgono ad una libbra. Quindi addiziona 7 e 5, e ottieni nuovamente 12. Prendi 2 volte 12 e ottieni 24 once, cioè 2 libbre, che equivalgono a 40 soldi. Poi prendi 1/24 di 960 soldi che è 40. Quindi, poichè il figlio ricevette i 3/4 o i 9/12 dell'eredità, considera 1/9 di 40. Il figlio ricevette 9 volte 40 once, che sono 18 libbre, che equivalgono a 360 solidi. E poichè la madre ricevette 1/3 di quello che ottenne il figlio e 1/5 di quello che ottenne la figlia, ricevette 3 e 5, che fa 8. Similmente, come prescritto, prendi 2 volte 40 e dividi il risultato in 8 parti. Quindi la madre ricevette 8 volte 40 once, che sono 16 libbre, che equivalgono a 320 soldi.
Quindi, come stipulato, dividi 40 in 7 parti, così da ottenere 7/12. Dopo prendi 7 volte 40 cioè 14 libbre che equivalgono a 280 soldi. Questo è quanto ricevette la figlia. Somma 360, 320 e 280 ed otterrai 960 soldi o 48 libbre.

PROBLEMA DE LA MUERTE DE UN PADRE DE FAMILIA

Un padre de familia murió, dejando a una mujer encinta y 960 sueldos de sus bienes. En el lecho de muerte, ordenó que si nacía un varón, entonces recibiría los ¾ de la herencia, o sea 9 onzas (9/12). Y la madre recibiría ¼ , o sea 3 onzas (3/12). Si por el contrrario nacía una niña, recibiría los 7/12, o sea 7 onzas y la madre los 5/12, o sea 5 onzas. Pero cuando llegó el momento, la mujer dio a luz un par de gemelos, un varón y una niña. Resuelva quien pueda, ¿cuánto recibieron la madre, cuánto el hijo y cuánto la hija?

Solución

Suma 9 y 3, y obtienes 12. Doce onzas equivalen a 1 libra. Después suma 7 y 5, y obtienes nuevamente 12. Toma 2 veces 12 y obtienes 24 onzas, o sea 2 libras, que equivalen a 40 sueldos. Después toma 1/24 de 960 sueldos, que son 40. Luego, ya que el hijo recibe los ¾ o los 9/12 de la herencia, considera 1/9 de 40. El hijo recibe 9 veces 40 onzas, que son 18 libras y que equivalen a 360 sueldos.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

En la época de Alcuino, el sistema de medidas derivaba del sistema romano. La unidad de peso fundamental era la onza y de ella derivaba la libbra que equivalía 12 onzas (1 libbra = 12 onzas).

Por otra parte 1 onza equivale aproximadamente a 27 gramos y 1 libbra a aproximadamente a 324 gramos (actuales). 1 onza = 27 gramos , 1 libbra = 324 gramos

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 41

PROPOSITIO DE SODE ET SCROFA

Quidam Paterfamilias stabilivit curtem novam [quadrangulam], in qua posuit scrofam, quae peperit porcellos VII in media sode, qui una cum matre, quae octava est [F. add., octo sunt], pepererunt igitur unusquisque in omni angulo VII. Et ipsa iterum in media sode cum omnibus generatis peperit VII. Dicat, qui vult, una cum matribus quot porci fuerunt?

Solutio
In prima igitur parturitione, quae fuit facta in media sode, fuerunt porcelli VII, et mater eorum octava. Octies igitur octo ducti fiunt LXIIII. Tot porcelli una cum matribus fuerunt in I angulo. Ac deinde sexagies quater octo ducti fiunt DXII. Tot cum matribus suis porcelli in angulo II. Rursusque DXII octies ducti fiunt ¬I¬I¬I¬I XCVI. Tot in tertio angulo cum matribus suis fuerunt. Qui si octies multiplicentur, fiunt ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, tot cum matribus in quarto fuerunt angulo. Multiplica quoque octies ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, fiunt ¬C¬C¬L¬X¬I¬I et CCCIIII. Tot enim creverunt, cum in media sode novissime partum fecerunt.

PROPOSIZIONE SU UN PORCILE E UNA SCROFA

Un capofamiglia costruì un porcile quadrangolare, nel quale rinchiuse una scrofa. La scrofa diede alla luce 7 maialini al centro del porcile. Ogni porcellino, compresa la madre che era l'ottavo maiale (n.d.t. e compresi i maiali generati di volta in volta), diede alla luce 7 porcellini in ogni angolo [del porcile] (n.d.t. in quattro generazioni successive). Infine, al centro del porcile, la scrofa e gli altri maiali partorirono ognuno altri 7 porcellini. Dica, chi vuole, quanti maiali c'erano alla fine, compresa la scrofa? (n.d.t. il senso del problema è il seguente: a partire da una scrofa, si hanno 5 generazioni successive in cui ciascuno dei maiali presenti nel porcile partorisce 7 maialini)

Soluzione
Dopo il primo parto, che ha avuto luogo al centro del porcile, c'erano 7 porcellini e la madre era l'ottava.
Otto preso 8 volte dà 64: tanti porcellini, compresa la madre, erano nel primo angolo. Quindi, 64 preso 8 volte dà 512. Tanti porcellini, comprese le loro madri erano nel secondo angolo. 512 moltiplicato per 8 è uguale a 4096: tanti porcellini, comprese le loro madri, erano nel terzo angolo. 4096 moltiplicato per 8 equivale a 32788 (sic): tanti porcellini, comprese le loro madri, erano nel quarto angolo. 32788 moltiplicato per 8 è uguale a 262304. Tanti maiali erano nel porcile dopo l'ultimo parto.

PROBLEMA DE UN CHIQUERO Y UNA CERDA

Un padre de familia construye un chiquero cuadrangular, en el que encierra a una cerda adulta. La cerda pare 7 cerditos en el centro del chiquero. Cada cerdito, comprendida la madre que era el octavo cerdo (n. d. t. y comprendidos los cerdos nacidos cada vez), parieron 7 cerditos en cada ángulo (del chiquero) (n. d. t. en 4 generaciones sucesivas). Finalmente, al centro del chiquero, la cerda y los otros cerdos parieron cada uno otros 7 cerditos. Diga, quien quiera, ¿cuántos cerdos había al final, incluída la cerda? (n. d. t. el sentido del problema es el siguiente: a partir de una cerda, se tienen 5 generaciones sucesivas en cada una de las cuales los cerdos presentes en el chiquero paren 7 cerditos).

Solución

Después de la primera parida, que ha tenido lugar en el centro del chiquero, había 7 cerditos y la madre era la octava. Ocho tomado 8 veces da 64: que era el número de cerditos, comprendida la madre, que estaban en el primer ángulo. Luego, 64 tomado 8 veces da 512. Tantos eran los cerditos, comprendida su madre, que estaban en el segundo ángulo. 512 multiplicado por 8 es igual a 4096: tantos eran los cerditos, comprendida su madre, que estaban en el tercer ángulo. 4096 multiplicado por 8 equivale a 32788: tantos eran los cerditos, comprendida su madre, que estaban en el cuarto ángulo. 32788 multiplicado por 8 es igual a 262304 (el valor correcto es 262304). Tantos cerdos estaban en el centro del chiquero después de la última parida.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

Alcuino comete un error al multiplicar 4096 por 8, entregando el resultado 32 788 en vez del correcto que es 32768. El siguiente valor arrastra el error anterior y en vez de ser 262304 es 262144.

En la tabla siguiente presentamos el número total (corregido) de cerdos en cada uno de los lugares indicados del chiquero (centro y cuatro ángulos):

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 42

PROPOSITIO DE SCALA HABENTE GRADUS CENTUM

Est scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una: in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V. Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot columbae in totum fuerunt?

Solutio
Numerabitur autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et junge ad illas XCVIIII, quae nonagesimo [nono] gradu consistunt, et erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octavum et invenies similiter C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et alium de inferioribus, hoc ordine conjunge, et reperies semper in binis gradibus C. Quinquagesimus autem gradus solus et absolutus est, non habens parem; similiter et centesimus solus remanebit. Junge ergo omnes et invenies columbas ¬V L.

PROPOSIZIONE SU UNA SCALA DI 100 GRADINI

C'è una scala che ha 100 gradini. Sul primo gradino era appollaiata una colomba, sul secondo gradino 2 colombe, sul terzo 3, sul quarto 4, sul quinto 5, e così via fino al centesimo gradino. Dica, chi può, quante colombe c'erano in tutto?

Soluzione
Ecco come contare le colombe: prendi la colomba appollaiata sul primo gradino e aggiungi ad essa le colombe appollaiate sul novantanovesimo gradino, ottenendo così 100. Fai la stessa cosa con il secondo e il novantottesimo gradino ed otterrai ugualmente 100. Così, sommando tutti i gradini in questo modo, cioè uno dei più alti con uno dei più bassi, otterrai sempre 100. Il cinquantesimo gradino, però, rimane solo e senza compagno, così come il centesimo gradino. Somma tutti i numeri e otterrai 5050 colombe.

PROBLEMA DE UNA ESCALA CON 100 PELDAÑOS

Hay una escala que tiene 100 peldaños. Sobre el primer peldaño estaba acurrucada una paloma, sobre el segundo peldaño dos palomas, sobre el tercero tres, sobre el cuarto cuatro, sobre el quinto cinco, y así hasta el centésimo peldaño. Diga, quien pueda, ¿cuántas palomas había en total?

Solución

He aquí como contar las palomas: toma la paloma acurrucada sobre el primer peldaño y agrega a esta la paloma acurrucada sobre el peldaño nonagésimo noveno, obteniendo así 100. Haz la misma cosa con el segundo y el nonagésimo octavo peldaño y obtendrás igualmente 100. Así, sumando todos los peldaños de este modo, esto es uno de los más altos con uno de los más bajos, obtendrás siempre 100. El quincuagésimo peldaño, sin embargo permanece sólo y sin compañía, así como el centésimo peldaño. Suma todos los peldaños y obtendrás 5050 palomas.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 43

PROPOSITIO DE PORCIS

Homo quidam habuit CCC porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCC sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.

Solutio
Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.

PROPOSIZIONE SU ALCUNI MAIALI

Un uomo aveva 300 maiali. Ordinò che fossero tutti macellati in 3 giorni, ma ogni giorno doveva essere ucciso un numero dispari di maiali. Egli volle che la stessa cosa fosse fatta con 30 maiali. Dica, chi può, quanti maiali vennero uccisi al giorno in numero dispari, del gruppo dei 300 e dei 30 maiali? Questo calcolo irrisolvibile è stato composto per scherno.

Soluzione
Ecco uno scherzo! Nessuno può risolvere il problema nel modo indicato, cioè in modo che 300 o 30 maiali siano uccisi in 3 giorni, macellandone un numero dispari ogni giorno. Questo è un problema inverosimile ideato solo per mettere alla prova i ragazzi.

PROBLEMA DE ALGUNOS CERDOS

Un hombre tenía 300 cerdos. Ordenó que fuesen sacrificados todos en tres días, pero que cada día debían ser muertos un número impar de cerdos. El quería que la misma cosa fuese hecha con 30 cerdos. Diga, quien pueda, ¿cuántos cerdos fueron sacrificados al día en número impar del grupo de los 300 y de los 30. Este cálculo insoluble ha sido compuesto a modo de burla.

Solución

¡He aquí una broma! Nadie puede resolver el problema del modo indicado, es decir de modo que 300 o 30 cerdos sean muertos en días, faenendo un número impar cada día. Este es un problema inverosímil ideado sólo para poner a prueba a los jóvenes.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

Se sabe que la suma se tres números impares cualesquiera es siempre impar:

(2·k + 1) + (2·t + 1) + (2·s +1) = 2( k + s + t + 1) + 1 , donde k, t y s números enteros

y como los números 300 y 30 son ambos pares, es obvia la broma.

PROPOSITIO PROPOSIZIONE PROBLEMA 52

PROPOSITIO DE HOMINE PATERFAMILIAS

Quidam paterfamilias jussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari; quae distabat leucas XXX: ea vero ratione, ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus, et in unaquaque subvectione XXX modia portarentur: camelus quoque in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent?

Solutio
In prima subvectione portavit camelus modios XXX super leucas X, et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est, modios XX comedit et remanserunt X. In secunda subvectione similiter deportavit modios XXX et ex his comedit XX, et remanserunt X, in tertia vero subvectione fecit similiter; deportavit medios XXX, et ex his comedit XX, et remanserut X. Sunt vero de his, qui remanserunt, modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX, in quarta subvectione domum detulit, et ex his X in itinere comedit, et remanserunt de tota illa summa modia tantum XX.

PROPOSIZIONE SU UN CAPOFAMIGLIA

Un capofamiglia ordinò che 90 moggi di frumento fossero portati da una delle sue case ad un'altra, distante 30 leghe. Dato che il carico di frumento poteva essere portato da un cammello in 3 trasporti, e dato che il cammello mangia un moggio per lega. Dica, chi vuole, quanti moggi rimasero [alla fine del trasporto]?

Soluzione
Nel primo trasporto il cammello portò 30 moggi per 10 leghe, mangiando un moggio di grano per lega; cioè, mangiò 20 moggi e ne lasciò 10. Nel secondo trasporto, portò ugualmente 30 moggi, mangiandone 20 e lasciandone 10. Nel terzo trasporto fece la stessa cosa, portando 30 moggi, mangiandone 20 e lasciandone 10. Quindi rimasero 30 moggi e 10 leghe da percorrere. Il cammello portò questi 30 moggi in un quarto trasporto durante il quale ne mangiò 10 lasciandone soltanto 20 di tutto il carico originario.

PROBLEMA DE UN JEFE DE FAMILIA

Un padre de familia ordenó que 90 modios de trigo fuesen llevados de una de sus casas a otra, distante 30 leguas. Dado que el cargamento podía ser llevado por un camello en 3 transportes, y dado que el camello come un modio por legua. Diga, quien quiera, ¿cuántos modios sobraron (al final del transporte)?.

Solución

En el primer transporte el camello llevó 30 modios de grano para 10 leguas, comiendo 1 modio de grano por legua; esto es, comió 20 modios y dejó allí 10. En el segundo transporte, llevó igualmente 30 modios, comiéndose 20 y dejando 10. En el tercer transporte hace la misma cosa, llevando 30 modios, comiéndose 20 y dejando 10. Luego quedaron 30 modios y 10 leguas por recorrer. El camello llevó estos 30 modios en un cuarto transporte durante el cual se comió 10 dejando solamente 20 de todo el cargamento inicial.

ANOTACIONES MATEMÁTICAS:

En tiempos de Alcuino era corriente usar medidas de capacidad para medir sustancias sólidas en la forma de granos (por ejemplo cereales). Una de estas medidas era el modius (italicus modius). En el sitio http://www.fh-augsburg.de/~harsch/dio_ep_m.html se dice que 1 modius 8,7541 litros.

Este es uno de los problemas más interesantes de la colección. Desgraciadamente la solución dada por Alcuino está errada y no explica la estrategia usada para encontrarla.

¿Cuáles son los errores más evidentes en la solución de Alcuino?

• En el enunciado del problema se habla de 3 transportes mientras que en la solución se indican 4; probablemente la afirmación "el cargamento de grano podía ser llevado por un camello en 3 transportes" debe interpretarse así: " la carga máxima transportáble por el camello es 1/3 del total; esto es 30 modios.
• Alcuino no parece tener en cuenta el hecho de que en el tercer transporte, el camello no debe volver atrás y en consecuencia consume 10 modios de grano y no 20.
• Después del tercer transporte quedan 20 leguas por recorrer y no 10, y los modios de grano restantes son 40 y no 30. Si el camello pudiese transportar 40 modios, entonces llegaría a destino con 20 modios.

Soluciones

Una cuestión interesante en la fallida solución de Alcuino, es que sugiere dividir el recorrido total en dos partes. El camello deposita una cierta cantidad de modios en un punto intermedio para luego recogerla en el último transporte.

Supongamos que las casas del padre de familia se ubican en dos puntos A y C separados 30 leguas.

I. Solución en el caso de dividir AC en dos partes.

Pregunta: ¿Dónde ubicar un punto B entre A y C de manera que la solución sea óptima?

Respuesta: B es el punto más alejado de la partida (A) en el cual el camello puede reunir 30 modios (esta es la carga máxima con la cual puede reemprender su marcha en el último transporte hacia el destino (C).

(figura aporte de Gianfranco Bo)

II. Solución en el caso de dividir AC en tres partes.

Se puede encontrar una mejor solución, dividiendo el recorrido en 3 partes. Para esto hay que encontrar y fijar dos puntos intermedios B₁ y B₂. Es bastante claro que si se tiene en mente la idea de transportar 60 modios hasta B₁ y luego, de estos, transportar 30 modios hasta B₂, entonces:

• B₁ debe ubicarse a t leguas de la partida :

basta considerar que para llevar 60 modios desde A hasta B₁ debe cumplirse que:

(30 - 2t) + (30 - 2t) + (30 - t) = 60

90 - 5t = 60

t = 6

• B₂ debe ubicarse a k leguas de B₁ y entonces a k + 6 leguas de la partida:

Basta considerar que para llevar 30 modios de B₁ a B₂ debe cumplirse que:

60 - 3k = 30

k = 10

(figura aporte de Gianfranco Bo)

Sabemos por experiencia que un problema es siempre muchos problemas. Sabemos que una vez encontrada la o las soluciones del problema en que estabamos sumergidos, comienzan de a poco a aparecer cuestiones que nos impulsan a plantear nuevas preguntas. Y es obvio, tales preguntas son nuevos problemas, nuevos desafíos. Todo esto en una cadena sin fin. De este modo constatamos el ritmo propio que ha tenido la Matemática en su desarrollo.

Del problema LII de Alcuino surgen las siguientes preguntas:

Con las condiciones dadas, ¿es posible llevar a destino más de 16 modios de grano?

• ¿De qué manera se puede generalizar el problema?
• ¿Cómo pueden resolverse problemas de este tipo con el auxilio del computador?

Una variante de este problema se conoce como "Problema del Jeep". He aquí una versión simplificada.

Se debe atravesar un desierto de longitud 2a con un Jeep que puede transportar bencina (depósito + bidones adicionales) suficiente para recorrer solamente la distancia a. ¿Cómo realizar la empresa?

El Jeep puede:

• abastecerse varias veces en un único depósito de bencina colocado a la entrada del desierto.
• dejar los bidones con bencina en varios puntos a lo largo de su recorrido y retornar al punto de partida para recargar los estanques.

En los siguientes sitios web se encuentra más información acerca de este problema:

http://digilander.libero.it/basecinque/misure/probjeep.htm

http://digilander.libero.it/basecinque/alcuino/alcuinp52.htm

http://mathworld.wolfram.com/JeepProblem.html

http://page.inf.fu-berlin.de/~rote/Papers/abstract/....html

III. DIRECCIONARIO WEB

IV. FINALE

Este trabajo de "traducción anotada" habría sido irrealizable sin la activa cola(bo)ración de Gianfranco Bo, y debo reconocer que sus numerosos, amplios y regulares correos electrónicos permitieron que las ideas iniciales fueran fraguando hasta dar con este escrito final. Por esto considero a Gianfranco un legítimo coautor del trabajo. Para terminar dejo indicado aquí que Simona Bo participó en la traducción (latín a italiano) de los problemas aquí presentados.