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Il polinomio interpolatore

le formule di Lagrange e di Newton

Supponiamo di avere n punti sul piano cartesiano, (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n).
Come si può fare per scrivere una funzione polinomiale y = P(x) che passi per tutti i punti dati?

Nota 1: le ascisse dei punti devono essere tutte diverse.

Nota 2: il grado massimo del polinomio è n-1. Ad esempio, per due punti passa una retta (1° grado), per tre punti non allineati, una parabola (2° grado), per quattro, una funzione polinomiale di 3° grado e così via.

Nota 3: il polinomio è detto interpolatore perché può essere utilizzato per approssimare una funzione di cui si conoscono alcuni punti.

La risposta più semplice da dire ma più complicata da calcolare questa: si scrive il sistema algebrico ottenuto "imponendo" il passaggio del polinomio per gli n+1 punti, lo si risolve e si ottengono i coefficienti.
Purtroppo questo metodo, al crescere di n, diventa esageratamente lungo e complesso.
E' meglio sentire l'opinione di Newton e Lagrange, tanto per cominciare.

La formula di Lagrange
La formula di Lagrange è la più facile da ricordare.
In pratica la conosciamo già dal Liceo, infatti la classica "equazione" della retta passante per due punti dati è un caso particolare della formula di Lagrange.

Equazione della retta passante per i punti (x₁, y₁), (x₂, y₂)

da cui si ricava:

(y-y₁)(x₂-x₁) = (x-x₁)(y₂-y₁)

La formula generale di Lagrange, scritta per esteso, è la seguente:

y = P(x) =

Equazione della curva polinomiale di grado (n-1), passante per i punti (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n)

Invece, in forma più compatta:

dove:

La formula di Newton

Con la formula di Newton, questo esercizio diventa (quasi) un giochetto.

Per rendere la formula più semplice, conviene partire con gli indici da 0: (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n)

Ad esempio, vogliamo trovare un polinomio di 3° grado y = P(x) che assuma i valori:

x	4	6	8	10
y	1	3	8	20

Costruiamo la tavola delle cosiddette differenze finite.
Qui le indico con la lettera d, ma di solito si usa la "delta" maiuscola.

i	x_i	passo costante x_i+1 - x_i h	y_i	differenze prime d¹y_i	differenze seconde d²y_i	differenze terze d³y_i
0	4		1
		2		d¹y₀= 2
1	6		3		d²y₀= 3
		2		d¹y₁= 5		d³y₀= 4
2	8		8		d²y₁= 7
		2		d¹y₂= 12
3	10		20

Ora dobbiamo applicare la formula di Newton, che é:

y = P(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + ... + a_n(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n-1)

Nota: questa formula vale solo se il passo h fra le x è costante, nel nostro caso h=2.

E' molto semplice, ma i coefficienti a_k?

a₀ = y₀ = 1
a₁ = dⁱy₀/i!*hⁱ = 2/2 = 1

e in generale

a_i = dⁱy₀/i!*hⁱ

Nel nostro caso, il polinomio cercato è:

y = P(x) = 1 + 2/2(x-4) + (3/(2!*2²))(x-4)(x-6) + (4/(3!*2³))(x-4)(x-6)(x-8)

y = P(x) = 1 + (x-4) + (3/8)(x-4)(x-6) + (4/48)(x-4)(x-6)(x-8)

y = P(x) = 1/24(2x³-27x²+142x-240)

Pro-memoria

Tabella delle differenze finite per n = 5

i	x_i	y_i	d¹y_i	d²y_i	d³y_i	d⁴y_i	d⁵y_i
0	x₀	y₀
			d¹y₀
1	x₁	y₁		d²y₀
			d¹y₁		d³y₀
2	x₂	y₂		d²y₁		d⁴y₀
			d¹y₂		d³y₁		d⁵y₀
3	x₃	y₃		d²y₂		d⁴y₁
			d¹y₃		d³y₂
4	x₄	y₄		d²y₃
			d¹y₄
5	x₅	y₅

Vogliamo trovare la formula di una funzione polinomiale che passi per i punti:
(x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n)
Per calcolare i coefficienti della formula di Newton si utilizzano i dati scritti in rosso.
La formula di Newton è:
y = P(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + ... + a_n(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n-1)
Dove: a_i = dⁱy₀/i!*hⁱ
e h è il passo costante delle ascisse.

Un esercizio rapido.
Scrivere l'equazione del polinomio di 3° grado che passa per i punti:
(2, 1), (4, 5), (6, 10), (8, 18)

Ultimo aggiornamento: agosto 2005

Risposte & riflessioni

Un esercizio rapido.
Allora, prendiamo i punti:
(2, 1), (4, 5), (6, 10), (8, 18)

Scriviamo le y_i:
1, 5, 10, 18

Costruiamo la tabella delle differenze finite:
1, 5, 10, 18
4, 5, 8
1, 3
2

Mettiamo da parte la lista delle differenze a sinistra 4, 1, 2 e le chiamiamo d_i (differenza i-esima, con i che parte da 0)

Mettiamo da parte le prime (n-1) x_i, cioè: 2, 4, 6

Calcoliamo il passo, che è 2, e lo chiamiamo h.

Sostituiamo i dati nella formula seguente, che è la formula di Newton.
y = P(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + ... + a_n(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n-1)

Per calcolare i coefficienti ai della formula di Newton utilizziamo i dati appena raccolti prima:
a₀ = y₀
mentre per gli altri: a_i = d_i/i!*hⁱ

Viene

y = P(x) = 1 + (4/2)(x-2) + (1/(2!*2^2))(x-2)(x-4) + (2/3!*2^3)(x-2)(x-4)(x-6)

y = 1 + 2(x-2) + (1/8)(x-2)(x-4) + (1/24)(x-2)(x-4)(x-6)

y=(1/24)(x³-9x²+74x-96)

Newton era un duro!

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