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Ringrazio Pasquale, Mago Merlino, Gnorry, Tino, Gaspero, Edmund, Paolop, Elena, per i contributi al Forum, dai quali è nata questa pagina.
Tutto è cominciato con questo messaggio di Pasquale al Forum.
Successione ricorsiva n.1
Date Posted: 25/02/05 20:58
Author: Pasquale
Subject: Successione
Questo proviene dal ginecologo della moglie di Giovanni, che auscultando la
pancia di 6 mesi ha sentito una vocina che diceva così:
| Considerata una successione di numeri reali, in cui a(n + 1) = an + 1/an per n = 0, 1, 2, ... dimostrare che per qualsiasi a0 reale positivo, a1996 > 63. |
Successione ricorsiva n.2
Date Posted: 3/03/05 22:59
Author: Gianfranco Bo
Subject: Successione ricorsiva n.2
Come allenamento per risolvere il problema del ginecologo della moglie di
Giovanni propongo il seguente, tratto da: CWMO 2004, problema 5
| La successione an è definita ricorsivamente così: a1=1 a2=1 a(n+2)=an+1/a(n+1) Quanto vale a2004? |
Ultimo aggiornamento: marzo 2005
Successione ricorsiva n.1
Dopo una lunga discussione, la risposta esatta è giunta da Tino e
successivamente è stata spiegata nei dettagli da Edmund.
Nota: gli indici sono indicati tra parentesi tonde, ad
es. an = a(n)
Secondo me la soluzione di Tino (semplice e geniale) è quella
giusta.
Dalla prima formula
a(n)^2 = (1/a(n-1)^2 + a(n-1)^2 + 2)
sostituendo via via il termine non frazionario con
a(n-1)^2 = (1/a(n-2)^2 + a(n-2)^2 + 2)
a(n-2)^2 = (1/a(n-3)^2 + a(n-3)^2 + 2)
a(n-3)^2 = (1/a(n-4)^2 + a(n-4)^2 + 2)
.....................................
.....................................
a(2)^2 = (1/a(1)^2 + a(1)^2 + 2)
a(1)^2 = (1/a(0)^2 + a(0)^2 + 2)
si ottiene alla fine
a(n)^2 = (a(0)^2 + 1/a(0)^2 + ... + 1/a(n-1)^2 + 2*n) > 2*n
che nel nostro caso specifico è
a(1996)^2 = (a(0) + 1/a(0)^2 + ... + 1/a(1995)^2 + 2*1996) > 2*1996
per cui
a(1996)>sqr(2*1996)=63,1822759957252568741091.......
per qualsiasi a(0) reale positivo.
Successione ricorsiva n.2
Complimenti a Tino ed Elena per le risposte, che sono esatte.
Però sarebbe bello avere una dimostrazione.
Ne riporto una non mia.
Nota1: gli indici letterali sono indicati tra parentesi
tonde, ad es. an = a(n)
Nota2: gli indici numerici sono indicati a
fianco del numero, ad es. a3 = a3
Partendo da:
a(n+2)=a(n)+1/a(n+1)
Moltiplico per a(n+1)
a(n+2)*a(n+1) - a(n+1)*a(n) = 1
Osservo che la sequenza a(n+1)*a(n) è una progressione aritmetica di ragione 1.
Ad esempio:
a1*a2 = 1
a2*a3 = 2
a3*a4 = 3
...
a2003*a2004 = 2003
...
a(n)*a(n+1) = n
Dalle uguaglianze posso ricavare:
a1*a2 * a3*a4 * ...* a2003*a2004 = 1*3*5*7*...*2003
Dalle uguaglianze posso anche ricavare:
(A) a1*a2*a3*a4*...*a2004 = 1*3*5*7*...*2003
e anche:
(B) a2*a3*a4*a5*...*a2003 = 2*4*6*8*...*2002
Dividendo la (A) per la (B) ho che:
| (a1*...*a2004) | = a2004 = | (1*3*5*7*...*2003) |
| (a2*...a2003) | (2*4*6*8*...*2002) |
Che corrisponde alla formula data da Elena e da Tino.
| a(n) = | (n-1)!dispari | per n pari |
| (n-2)!pari |
| a(n) = | (n-1)!pari | per n dispari |
| (n-2)!dispari |
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