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Collane bicolori

Un particolare ringraziamento a giobimbo per il problema proposto e a Elena, Marco, Pasquale per le soluzioni.

Anna ha una collana formata da 16 dischi, otto bianchi e otto neri. Sul retro di ogni disco è inciso un numero, infatti girando la collana si leggono, in senso orario, i numeri da 1 a 16.

Barbara ha una collana che sul davanti è identica a quella di Anna, ma girandola si leggono, in senso orario, i numeri 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 1, 16.

Sapendo che dischi dello stesso colore hanno lo stesso numero e sapendo che il disco col numero 16 è nero, che numeri sono incisi nel retro dei dischi bianchi?

Una precisazione:
L'ordine dei dischi delle due collane è quello enunciato dal problema (ossia a 1 corrisponde 3, a 2 corrisponde 5 etc..).

(Gianfranco Bo)
Propongo alcuni problemini che mi sono serviti per comprendere meglio il problema di giobimbo.

File di dischi bicolori 1
Anna mette in fila 6 dischi, 3 bianchi e 3 neri. Sul retro di ogni disco è inciso un numero.
Infatti girando la fila di dischi si leggono, in senso orario, i numeri da 1 a 6.

Barbara fa un'altra fila di dischi che sul davanti è identica a quella di Anna, ma girandola si leggono, da sinistra a destra, i numeri 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Sapendo che dischi dello stesso colore hanno lo stesso numero e sapendo che il disco col numero 3 è nero, quali numeri sono incisi nel retro dei dischi bianchi?

QUANTE SOLUZIONI HA QUESTO PROBLEMA?

File di dischi bicolori 2
Stessa situazione del problema 1 con la differenza che girando la fila di Barbara, si leggono i numeri 4, 3, 2, 1, 5, 6

QUANTE SOLUZIONI HA QUESTO PROBLEMA?

File di dischi bicolori 3
Stessa situazione del problema 1 con le differenze seguenti:
a) i dischi sono 8
b) girando la fila di Barbara, si leggono i numeri 2, 1, 4, 3, 5, 6, 7, 8

QUANTE SOLUZIONI HA QUESTO PROBLEMA?

Domanda:
E' possibile, osservando la permutazione dei numeri di Barbara, esprimere una formula che permetta di calcolare quante soluzioni ha il problema?

Ultimo aggiornamento: febbraio 2005

Risposte & riflessioni

(La risposta è di Pasquale, ma comprende anche le risposte di Elena e Marco)

Se ho capito il problema, le corrispondenze dei numeri (= dischi) tra la prima e la seconda collana sono:
1-3
2-5
3-7
4-9
5-11
6-13
7-15
8-2
9-4
10-6
11-8
12-10
13-12
14-14
15-1
16-16

Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza i seguenti gruppi devono essere formati ognuno da dischi dello stesso colore:
Gruppo A : 1-3, 3-7 , 7-15, 15-1
Gruppo B : 2-5, 5-11, 11-8, 8-2
Gruppo C : 6-13, 13-12, 12-10, 10-6
Gruppo D : 4-9, 9-4
Restano le coppie 14-14 e 16-16. Dato che ci sono 8 dischi bianchi e 8 neri, per la parità le coppie 14-14 e 16-16 devono avere lo stesso colore e quindi sono nere.
Chiamo E il gruppo formato da 14-14 e 16-16
Dato che ABC sono formati ognuno da 4 coppie, per avere 8 bianchi e 8 neri il gruppo E deve essere necessariamente dello stesso colore del gruppo D, quindi anche D è nero .
Le sole combinazioni possibili mi sembrano quindi (bianchi a sinistra e neri a destra):
AB........CDE
AC........BDE
BC........ADE

(giobimbo)
Il problema ha 14 soluzioni. Sotto scrivo il numero di soluzioni ottenute per ogni rotazione:
3 3 3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

Soluzione
Scrivo le due liste di numeri

1 2 3 4 5 6
2 4 6 1 3 5

Sapendo che il 3 è nero e vedendo che il 3 corrisponde al 6 il quale corrisponde al 5, posso dedurre immediatamente che i neri sono 3,5,6.
Di conseguenza i bianchi sono 1,2,4.

Poiché gli abbinamenti permettono di individuare tutti i neri, è evidente che il problema ha una sola soluzione.

File di dischi bicolori 2
Stessa situazione del problema 1 con la differenza che girando la fila di Barbara, si leggono i numeri 4, 3, 2, 1, 5, 6

QUANTE SOLUZIONI HA QUESTO PROBLEMA?

Soluzione
Scrivo le due liste di numeri

1 2 3 4 5 6
4 3 2 1 5 6

Sapendo che il 3 è nero e vedendo che il 3 corrisponde al 2 il quale corrisponde al 3, posso individuare soltanto 2 neri.

Inoltre l'1 e il 4 si corrispondono a vicenda, quindi sono dello stesso colore. Non possono essere neri, perché si avrebbero 4 neri, dunque devono essere bianchi.

Quindi questo problema ha 2 soluzioni, pari alle Combinazioni di 2 elementi a gruppi di 1:

In particolare (1 4 5) oppure (1 4 6) bianchi.

Soluzione
Scrivo le due liste di numeri

1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 5 6 7 8

Vedo che il 3 corrisponde al 4 il quale corrisponde al 3, quindi anche in questo caso ho individuato soltanto 2 neri.

Anche l'1 e il 2 si corrispondono a vicenda, quindi sono dello stesso colore.

Riassumendo, so che:
- 2 dischi sono neri
- altri 2 dischi sono dello stesso colore (bianco o nero)
- altri 4 dischi sono liberi

Se (1 2) sono neri, ho 1 sola possibilità: (5 6 7 8) bianchi.

Se (1 2) sono bianchi, allora ne devo avere 2 bianchi in (5 6 7 8) e le possibilità sono pari alle Combinazioni di 4 elementi a due a due, cioè: (4*3)/(1*2)=6 possibilità.

Dunque il problema 3 ha 6+1=7 soluzioni.

Domanda:
E' possibile, osservando la permutazione dei numeri di Barbara, esprimere una formula che permetta di calcolare quante soluzioni ha il problema?

Supponiamo di affrontare lo stesso problema con 1000 dischi, di cui 500 bianchi e 500 neri.
Osservando le due liste di numeri come sopra...
posso sempre trovare, ad esempio:

- 52 dischi neri;
- un gruppo di 35 dischi dello stesso colore
- un altro gruppo di 76 dischi dello stesso colore
- i rimanenti 837 dischi (quelli che non cambiano posizione) liberi.

Posso calcolare quante soluzioni ha questo problema con una formula, o per lo meno una procedura relativamente semplice?

Secondo me, sì, e farei così:
1 2 3 4
1 2 3 4 - 3
1 2 4 3 - 1
1 3 2 4 - 1
1 3 4 2 - imp
1 4 2 3 - imp
1 4 3 2 - 1
2 1 3 4 - 1
2 1 4 3 - 1
2 3 1 4 - imp
2 3 4 1 - imp
2 4 1 3 - imp
2 4 3 1 - imp
3 1 2 4 - imp
3 1 4 2 - imp
3 2 1 4 - imp
3 2 4 1 - imp
3 4 1 2 - 1
3 4 2 1 - imp
4 1 2 3 - imp
4 1 3 2 - imp
4 2 1 3 - imp
4 2 3 1 - 1
4 3 1 2 - imp
4 3 2 1 - 1

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