[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
In un'isola vivono 2 camaleonti blu, 5 gialli e 3 verdi.
Se due camaleonti di due colori diversi si incontrano, cambiano entrambi colore e diventano del terzo colore.
Per esempio, se si incontrano un camaleonte verde e uno giallo diventano entrambi blu.
a) Descrivete la più breve sequenza di incontri in cui tutti i camaleonti diventano verdi.
b) Dimostrate che i camaleonti dell'isola, in queste circostanze, non potranno mai diventare tutti gialli.
Nota storica.
Questo problema è apparso per la prima volta (?) nel 1984, nell'International Mathematics Tournament of the Towns, Russia (con i numeri 13, 15, 17), ideato da V. G. Ilichev.
Si trova anche nel libro di Terence Tao, Solving Mathematical Problems. A Personal Perspective, Oxford University press, 2006.
Ci sono altre varianti con i numeri (20, 18, 16) e (12, 15, 18).
Ringrazio Franco, Bruno e Gnugnu per i contributi inviati al Forum.
Una distribuzione dei colori si può esprimere con una tripletta ordinata di numeri interi.
Per esempio, stabilito l'ordine dei colori blu, giallo, verde, la tripletta (2, 5, 3) significa che la popolazione è formata da 2 camaleonti blu, 5 gialli e 3 verdi.
Invece la tripletta (0, 0, 10) indica una popolazione formata da 10 camaleonti verdi.
La soluzione si può descrivere in vari modi.
A parole.
5 incontri:
Giallo + Verde = 2 Blu.
A questo punto i 4 Blu incontrano uno a uno i 4 Gialli e tutti diventano Verdi
(Franco e Bruno)
Con una tabella contenente tutti i passaggi.
| passaggio n. | Blu | Gialli | Verdi |
| Situazione iniziale | 2 | 5 | 3 |
| 1 - G+V | 4 | 4 | 2 |
| 2 - B+G | 3 | 3 | 4 |
| 3 - B+G | 2 | 2 | 6 |
| 4 - B+G | 1 | 1 | 8 |
| 5 - B+G | 0 | 0 | 10 |
Con una tabella sintetica.
La tabella sintetica è utile quando ci sono numeri più alti.
| passaggio n. | Blu | Gialli | Verdi |
| Situazione iniziale | 2 | 5 | 3 |
| 1 - G+V | 4 | 4 | 2 |
| 2 - (B+G)*4 incontri | 0 | 0 | 10 |
Con una sequenza di terne.
(b, g, v)
(2, 5, 3)
(4, 4, 2)
(0, 0, 10)
Indichiamo con b e g il numero di camaleonti blu e gialli presenti in dato momento (il numero dei verdi sarà 10−b−g).
Osserviamo che la differenza b−g:
Questa differenza, che inizialmente (2, 5, 3) vale 2-5=-3, sarà sempre multipla di 3. Quindi alle due situazioni (10, 0, 0) e (0, 10, 0) non si può giungere perché 10-0=10 e 0-10=-10 che non sono multipli di 3.
Invece si può arrivare a (0, 0, 10) perché 0-0=0 è un multiplo di 3
Come già indicato da Franco e Bruno basteranno 5 incontri. Le possibili sequenze distinte sono tre.
(Gnugnu)
Se la differenza tra i numeri di camaleonti di due colori è un multiplo di 3 allora tutti i camaleonti possono diventare del terzo colore.
Per esempio:
se b−g ≡ 0 MOD 3, allora tutti i camaleonti possono diventare verdi.
Altro esempio.
Se b=2, g=5, v=8, i camaleonti possono diventare tutti blu o gialli o verdi.
Tutti blu:
(b, g, v)
(2, 5, 8)
(1, 7, 7)
(15, 0, 0)
Tutti verdi:
(b, g, v)
(2, 5, 8)
(4, 4, 7)
(0, 0, 15
Tutti gialli:
(b, g, v)
(2, 5, 8)
(6, 3, 6)
(0, 15, 0)
---
Prima o poi inserirò una dimostrazione più completa.
Nel frattempo ripassiamo modulo 3.
6 MOD 3 = 0 (oppure 6 ≡ 0 MOD 3)
5 MOD 3 = 2
4 MOD 3 = 1
3 MOD 3 = 0
2 MOD 3 = 2
1 MOD 3 = 1
0 MOD 3 = 0
-1 MOD 3 = 2 (oppure -1 ≡ 2 MOD 3)
-2 MOD 3 = 1 (oppure -2 ≡ 1 MOD 3)
-3 MOD 3 = 0
---
Pace e bene a tutti.
GfBo
Data creazione: febbraio 2020
Ultimo aggiornamento: febbraio 2020
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