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Sette elfi e tre litri di latte
Sette Elfi siedono intorno ad una tavola rotonda.
Ciascun elfo ha una tazza.
In alcune tazze c'é un po' di latte.
Ciascun elfo, a turno, in senso orario, divide tutto il suo latte
in sei parti uguali fra le tazze degli altri sei elfi.
Dopo che il settimo elfo ha compiuto questa operazione, ogni
tazza contiene esattamente tanto latte quanto ne conteneva
all'inizio.
Quanto latte c'è in ogni tazza, se all'inizio c'erano in tutto
tre litri di latte?
Si supponga che in tutti i travasi non si sia persa neppure un goccia di latte.
Nota.
Questo problema è tratto dalla collezione "The
problems of the All-Soviet-Union mathematical competitions 1961-1986",
nella versione inglese di Vladimir A. Pertsel.
In particolare, il problema è stato assegnato alla "11-th
competition -- Tallinn, 1977".
Seven
elves are sitting at a round table. Each elf has a cup. Some cups
are filled with some milk. Each elf in turn and clockwise divides
all his milk between six other cups. After the seventh has done
this, every cup was containing the initial amount of milk.
How much milk did every cup contain, if there was three litres of
milk total?
agosto 2004
Ho assegnato questo problema, sotto forma di gioco di società, ai miei alunni di prima media.
Per semplificare, invece del latte avevano un
certo numero di frecce (matite) a testa, perché, come si sa, gli
elfi sono arcieri provetti.
Invece di dividere il latte, ciascun alunno doveva distribuire le
sue frecce, in parti uguali, agli altri, con le stesse regole del
problema originale.
Il compito del gruppo era quello di trovare una distribuzione
iniziale delle frecce tale che il gioco non avesse mai termine.
Infatti il gioco termina quando un alunno si
trova ad avere un numero di frecce non divisibile per 6
(se gli alunni sono in 7).
Dopo circa 20 minuti di tentativi i ragazzi hanno
trovato che il numero minimo di frecce è 21 e che deve essere
distribuito così:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Comincia chi ha 6 frecce e ne dà 1 a ciascuno
dei compagni.
Poi continua chi h 6 frecce, e così via all'infinito...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6, 0
2, 3, 4, 5, 6, 0, 1
.....
Dopo 7 trasferimenti si ricrea la situazione iniziale.
Applicando questa soluzione al problema degli
elfi si può dire che i 3 litri
di latte sono divisi inizialmente fra gli elfi in parti
proporzionali ai
numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e cioè:
0, 1/21, 2/21, 3/21, 4/21, 5/21, 6/21 (di 3 litri)
ovvero
0, 3/21, 6/21, 9/21, 12/21, 15/21, 18/21 (di litro)
semplificando:
0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 (di litro)
la cui somma fa per l'appunto 21/7 di litro = 3 litri.
Non so se è l'unica soluzione...
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