[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Il problema del muro

di Henry Ernest Dudeney

C'era un piccolo lago, attorno al quale quattro uomini poveri avevano costruito le loro casette. In seguito quattro uomini ricchi costruirono le loro ville, come mostrato nella figura qui sotto.

Gli uomini ricchi volevano avere il lago tutto per sé, e incaricarono un costruttore di fabbricare un muro che escludesse le casette ma lasciasse a loro il libero accesso al lago.

Poiché i quattro uomini ricchi erano anche avari, chiesero che il muro fosse il più corto possibile.

Come dovrebbe essere costruito tale muro?

figura

Alcuni piccoli chiarimenti:

il muro è una linea chiusa che delimita una certa superficie;
all'interno di tale superficie si trovano le quattro ville grandi e il lago, mentre le casette sono al suo esterno;

Suggerimenti:

stampate il disegno o ricopiatelo fedelmente su un foglio di carta a quadretti;
cominciate col trovare un muro che soddisfi le condizioni di esclusione anche se non é quello di lunghezza minima;
poi migliorate la vostra soluzione.

Il problema è tratto da Henry Ernest Dudeney, Amusements in Mathematics, 1917.

Il testo originale è il seguente.

There was a small lake, around which four poor men built their cottages. Four rich men afterwards built their mansions, as shown in the illustration, and they wished to have the lake to themselves, so they instructed a builder to put up the shortest possible wall that would exclude the cottagers, but give themselves free access to the lake. How was the wall to be built?

Risposte & riflessioni

Questa è la figura originale di Dudeney.

figura

La sua risposta è la n. 3 fra quelle seguenti.

figura

Il problema forse non è stato inventato da Dudeney perché egli afferma, nella soluzione:

"La risposta fornita in tutti i vecchi libri è quella della figura 1 in cui la parete curva impedisce che le casette abbiano accesso al lago."

Tuttavia egli prosegue facendo notare che se cerchiamo il muro più corto possibile dobbiamo usare delle linee rette anziché curve perché la retta è la distanza minima fra due punti.

Quindi presenta la soluzione 2 che è un miglioramento della 1.

La sua risposta finale è però la soluzione 3, che è più corta della 2, come si può verificare usando un righello.

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Facendo riferimento al disegno proposto nel problema, una risposta potrebbe essere questa.

figura

O quest'altra, in cui il muro è più aderente alle costruzioni e quindi più corto.

figura

Grazie Alessandro B.

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Pasquale, con un piccolo artificio, ha migliorato ulteriormente la soluzione di Dudeney. Ecco il suo ragionamento:

Stavo pensando che in fondo un'altra scorciatina la possiamo dare da un certo punto di vista; infatti, se circondiamo tutto con un muro continuo, come si accede all'interno delle ville? Se i portoncini d'ingresso si trovano sulle facciate interne, allora bisogna prevedere delle aperture nei muri, ma non se ne fa cenno. Bisogna allora supporre che i portoncini si trovino sulle facciate esterne, ma in tale caso non appare opportuno coprirli col muro. Ne deduco che l'area interna è circondata parte dal muro e parte dalle ville stesse, che hanno gli ingressi sulle facciate esterne. Tanto premesso ed a tali condizioni possiamo ridurre ulteriormente la muraglia: