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La successione di Fibonacci

Il problema originale di Leonardo Pisano

Il problema di Fibonacci in sintesi
Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto.
Sappiamo che ogni coppia di conigli:
a) inizia a generare dal secondo mese di età;
b) genera una nuova coppia ogni mese;
c) non muore mai.
Quanti conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?

Nota: nel problema originale di Fibonacci, la prima coppia inizia a generare un mese dopo essere stata rinchiusa nel recinto.


Le prime cinque generazioni di conigli secondo lo schema di Fibonacci.
Ogni cerchio colorato rappresenta una coppia di conigli.

Inizio 1
1° mese 2
2° mese 3
3° mese 5
4° mese 8
5° mese 13

 

Dal Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto Fibonacci (figlio di Bonaccio) - 1202

Il seguente testo è estratto dalle pp. 283-284 degli Scritti di Leonardo Pisano: mathematico del secolo decimoterzo, pubblicati da Baldassarre Boncompagni, Roma, 1857.

Traduzione
Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur.

Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant.

Quia suprascriptum par in primo mense germinat, duplicabis ipsum, erunt paria duo in uno mense.

Ex quibus unum, scilicet primum, in secundo mense geminat; et sic sunt in secundo mense paria 3;

ex quibus in uno mense duo pregnantur; et geminantur in tercio mense paria 2 coniculorum; et sic sunt paria 5 in ipso mense;

ex quibus in ipso pregnantur paria 3; et sunt in quarto mense paria 8;

ex quibus paria 5 geminant alia paria 5: quibus additis cum parijs 8, faciunt paria 13 in quinto mense;

ex quibus paria 5, que geminata fuerunt in ipso mense, non concipiunt in ipso mense, sed alia 8 paria pregnantur; et sic sunt in sexto mense paria 21;

cum quibus additis parijs 13, que geminantur in septimo, erunt in ipso paria 34;

cum quibus additis parijs 21, que geminantur in octauo mense, erunt in ipso paria 55;

cum quibus additis parjis [sic] 34, que geminantur in nono mense, erunt in ipso paria 89;

cum quibus additis rursum parijs 55, que geminantur in decimo mense 144;

cum quibus additis rursum parijs 89, que geminantur in undecimo mense, erunt in ipso paria 233.

Cum quibus etiam additis parijs 144, que geminantur in ultimo mense, erunt paria 377;

et tot paria peperit suprascriptum par in prefato loco in capite unius anni.

Potes enim uidere in hac margine, qualiter hoc operati fuimus, scilicet quod iunximus primum numerum cum secundo, uidelicet 1 cum 2; et secundum cum tercio; et tercium cum quarto; et quartum cum quinto, et sic deinceps, donec iunximus decimum cum undecimo, uidelicet 144 cum 233; et habuimus suprascriptorum cuniculorum summam, uidelicet 377; et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.

parium
1
primus
2
secundus
3
tercius
5
quartus
8
quintus
13
sestus
21
septimus
34
octauus
55
nonus
89
decimus
144
undecimus
233
duodecimus
377

(la tabella è disegnata in margine nell'edizione originale)

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia.

Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.

Poiché la suddetta coppia si riproduce nel primo mese, devi raddoppiarla: nel primo mese le coppie saranno 2.

Di queste, la prima, nel secondo mese ne genera un'altra: quindi nel secondo mese ci sono 3 coppie.

Di queste, durante il mese, due si riproducono e nel terzo mese, generano 2 coppie: quindi, nel terzo mese, ci sono 5 coppie di conigli.

Di queste, durante il mese, 3 si riproducono e nel quarto mese ci sono 8 coppie.

Di queste, al quinto mese, 5 coppie ne generano altre 5 che aggiunte alle 8 coppie esistenti fanno 13 coppie.

Di queste, le 5 generate nel mese precedente non generano nel sesto mese, ma le altre 8 si riproducono, quindi nel sesto mese ci sono 21 coppie.

Aggiungendo a queste altre 13 coppie generate nel settimo mese, ci saranno in quel mese 34 coppie.

Aggiungendo a queste altre 21 coppie generate nell'ottavo mese, ci saranno in quel mese 55 coppie.

Aggiungendo a queste, altre 34 coppie generate nel nono mese, ci saranno in quel mese 89 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste altre 55 coppie generate, nel decimo ci saranno 144 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste altre 89 coppie generate nell' undicesimo mese, ci saranno in quel mese 233 coppie.

Aggiungendo nuovamente a queste anche 144 coppie generate nell'ultimo mese, ci saranno 377 coppie.

Tante sono le coppie generate dalla coppia iniziale in quel luogo in capo ad un anno.

Puoi inoltre vedere in questo margine (vedi sotto) come abbiamo operato: abbiamo sommato il primo numero con il secondo, cioè 1 e 2; il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto e così via finché abbiamo sommato il decimo con l'undicesimo, cioè 144 con 233 ed abbiamo ottenuto la somma dei suddetti conigli, cioè 377; e così si può fare per un numero infinito di mesi.

coppie
1
primo
2
secondo
3
terzo
5
quarto
8
quinto
13
sesto
21
settimo
34
ottavo
55
nono
89
decimo
144
undicesimo
233
dodicesimo
377

Definizione della successione di Fibonacci
Prendendo lo spunto dal famoso problema dei conigli, e estendendolo, la successione di Fibonacci può essere definita così:

Chiamando F(n) la successione di Fibonacci, abbiamo la seguente definizione matematica:

In base a questa definizione si assume convenzionalmente F(0) = 0.

La successione di Fibonacci, dunque, è:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Si osservi che la funzione F(n) è ricorsiva, cioè è definita in termini della funzione stessa.


Come calcolare rapidamente un elemento qualsiasi della successione di Fibonacci?
Dato un qualunque numero n, quanto vale l'n-esimo termine della successione di Fibonacci?

dove:
a) è il rapporto aureo, pari a = 1,618...
b) [x] è la funzione che approssima x al suo intero più vicino. Questa funzione è chiamata nint(x).


Come calcolare rapidamente il successivo di un elemento nella successione di Fibonacci?
Alex ha proposto al Forum la seguente domanda.
Considerando la successione di Fibonacci:

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

trovare una funzione y=f(x) tale che, se x è un termine generico F(n) della successione di Fibonacci, allora y risulti esattamente uguale al termine F(n+1).

Grazie a Zorro per la risposta.

dove:
a) è il rapporto aureo, pari a (1+sqr(5))/2 = 1,618...
b) |_x_| è la funzione parte intera di x. Questa funzione è chiamata int(x).

Gianfranco Bo
C'è anche una mia soluzione, contorta come la mia personalità (forse)
Ho trovato la seguente funzione:

f(n+1)=[R^log(in base R)(sqr(5)*f(n))+1]/sqr(5) (appross. all'intero)

Se vogliamo utilizzare soltanto la base e, allora la funzione diventa:

f(n+1)=R^(ln(sqr(5)*f(n))/ln(R))/sqr(5) (appross. all'intero)

dove:

1) f(n) è l'ennesimo numero della serie di Fibonacci
2) R è il numero aureo = (1+sqr(5))/2
3) ln è il logaritmo in base e

In sintesi il discorso è questo:

1) esiste una funzione che dato n permette di trovare f(n) e precisamente:

f(n) = R^n/sqr(5) (il risultato deve essere approssimato all'unità)

2) la funzione inversa della precedente permette di calcolare n conoscendo f(n)

3) aggiungiamo 1 al risultato precedente ottenendo (n+1)

4) applichiamo la funzione diretta a (n+1) e otteniamo f(n+1)


NOTA BENE:
1) Questa funzione "funziona bene" dal quarto elemento della serie di Fibonacci in avanti.
2) Come f(3) bisogna prendere il valore decimale calcolato con:
f(3) = R^3/sqr(5)
3) I risultati devono essere approssimati all'intero ma i calcoli vanno fatti con i numeri decimali.

Maggio 2004


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