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Un particolare ringraziamento a Pasquale per aver postato il problema al Forum e a Alcuino per la risposta e le precisazioni.
Cerchi in un quadrato
Si inscriva una circonferenza in un quadrato di lato 1 e poi si inscrivano 4
circonferenze in ciascuno dei 4 angoli (tangenti a due lati ed alla precedente
circonferenza); quindi ripetere il procedimento per 999.999 volte ancora (cioè
aggiungere 4 circonferenze sempre più piccole nei 4 angoli).
Calcolare la somma di tutti i cerchi (l'area totale).
Cerchi in un triangolo equilatero
Si inscriva una circonferenza in un triangolo equilatero di lato 1 e poi si
inscrivano 3 circonferenze in ciascuno dei 3 angoli (tangenti a due lati ed alla
precedente circonferenza); quindi si ripeta il procedimento all'infinito (cioè
si aggiungano 3 circonferenze sempre più piccole nei 3 angoli).
Calcolare la somma di tutti i cerchi (l'area totale).
Se proprio non volete ripeterlo all'infinito, fatelo almeno per 3 volte!
Cerchi in un cerchio
Ultimo aggiornamento: aprile 2005
Cerchi in un quadrato
[> Re: circonferenze --
Alcuino, 29/03/05 21:46:45[1]
A = pi*[3-sqrt(2)]/[4*sqrt(2)] = 0,88068293...
[> Re: circonferenze --
Pasquale, 30/03/05 4:31:46[1]
Il programmino di calcolo, che di seguito riporto, dice che dici giusto
(0,880682938411938....).
Speravo di trovare una qualche successione con rapporti costanti fra i vari
termini, per addivenire ad una formula risolutiva, ma non mi è riuscito:
quindi, sono curioso di vedere come sei giunto alla tua formula (magari più in
là, per dare la possibilità ad altri di provare a risolvere il problema).
LET R=1/2
LET S=PI*R^2
LET C=R
LET x=2*R+C-(R+C)*SQR(2)
LET S=S+4*PI*x^2
FOR m=1 TO 999999
LET C=C+2*x
LET x=2*R+C-(R+C)*SQR(2)
LET S=S+4*PI*x^2
NEXT M
PRINT S
END
[> Re: circonferenze --
Gianfranco Bo, 30/03/05 22:58:49[1]
Ciao Pasquale, complimenti Alcuino,
Credo di aver trovato una formula ancora più semplice, che è la seguente:
Area = pi*(3*sqr(2)-2)/8
Vediamo come...
Se tu metti tanti cerchi in fila, come noccioline in una collana, anche se sono
di raggi diversi, (e anche se non sono in fila) puoi calcolare la somma delle
aree con una unica formula:
Atot = pi*(r1^2+r2^2+r3^2+r4^2+...) (pi * la somma dei quadrati dei raggi)
Come si nota dal tuo programma, i raggi dei cerchi "piccoli" formano
una successione geometrica di ragione 3-2*sqr(2), a partire dal primo raggio
=(3-2*SQR(2))/2
Inoltre, le aree dei cerchi piccoli vanno moltiplicate per 4.
Ora, la domanda è: qual è la somma dei QUADRATI dei primi n termini di una
successione geometrica di ragione q e di primo termine a?
Sommaquadrati = sq = a1^2*(q^(2*n)-1)/(q^2-1)
(si ricava dalla formula che dà la somma degli n termini di una successione
geometrica):
S = a1(q^n - 1)/(q-1)
In sintesi, la mia formula è la seguente:
Primo termine della successione geometrica:
a1=(3-2*SQR(2))/2
Ragione della successione:
q=3-2*SQR(2)
Formula per il calcolo della somma dei QUADRATI dei primi 999999 termini
sq= a1^2*(q^(2*999999)-1)/(q^2-1)
Formula per il calcolo della somma delle aree di tutti i cerchietti più il
cerchio centrale
4*PI*sq+PI*0.25
L'implementazione in BASIC della formula è la seguente, (ovviamente senza cicli
FOR-NEXT) e dà risultati identici alla tua.
LET a1=(3-2*SQR(2))/2
LET q=3-2*SQR(2)
LET sq= a1^2*(q^(2*999999)-1)/(q^2-1)
LET a1=4*PI*sq+PI*0.25
PRINT a1
!'Formula di Alcuino
LET a = PI*(3-SQR(2))/(4*sqr(2))
PRINT a-a1
END
La mia formula è abbastanza semplice, ma quella di Alcuino è più semplice,
comunque i risultati non sono proprio identici.
Perché, Alcuino?
Comunque una formula ancora più semplice si ottiene passando al limite per
infiniti cerchi, ed è la seguente:
Area = pi*(3*sqr(2)-2)/8
[> Re: circonferenze --
Alcuino, 31/03/05 14:19:40[1]
La formula di Gianfranco
A = pi*(3*sqr(2)-2)/8
si ottiene da quella da me indicata semplicemente moltiplicando numeratore e
denominatore per sqr(2).
La ragione della progressione geometrica dei raggi successivi è (per chi ama
questo tipo di bellezze formali):
r = [sqr(2)-1]/[sqr(2)+1]
oppure, con una razionalizzazione del denominatore,
r = 3-2*sqr(2)
I calcoli li avevo fatti con la formula della somma di una serie geometrica di
ragione r, ritenendo che la differenza tra quanto richiesto e quanto calcolato
fosse del tutto irrilevante per il grado di approssimazione necessario alla
soluzione di questo problema.
Cerchi in un triangolo equilatero
Cerchi in un cerchio
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