[BASE Cinque - Appunti di
Matematica ricreativa]
Dissezione
magica del rettangolo
Un
trucco di magia basato al 100% sulla matematica.
Introduzione
Osservate il seguente filmato su Youtube e cercate di scoprire come
funziona.
The
missing piece, dal sito Quirkology.
Qui sotto potete vedere un riassunto formato dai principali fotogrammi con
un breve commento.
1. Il mago mostra un rettangolo con una figura. Notate anche il
rettangolino bianco
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2. Mette in evidenza la divisione del rettangolo in 4 pezzi.
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3. Raccoglie i quattro pezzi.
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4. Posa i 4 pezzi sul tavolo.
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5. Li ricompone in modo da formare la figura iniziale. Questa volta
però manca un pezzo rettangolare.
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6. Raccoglie il rettangolo bianco, lo capovolge e lo inserisce nel
foro, completando il puzzle.
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7. Era quello il pezzo mancante!
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Come si spiega?
Per capirlo, bisogna osservare attentamente la figura iniziale e
quella finale.
Quest'ultima è leggermente più grande della prima.
Notate la diversa posizione delle mani all'inizio e alla fine.
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La dissezione del rettangolo
Il trucco si basa sulla seguente dissezione del rettangolo.
Per il centro (punto di intersezione delle diagonali) di un rettangolo ABCD,
si tracciano due rette perpendicolari in modo che intersechino i lati opposti
rispettivamente in E, F e G, H.
Si ottengono così quattro quadrilateri che possono essere ricomposti in
modo da formare un altro rettangolo, più grande del primo ma con un "buco" al
suo interno.
Poiché il secondo puzzle si deve ottenere ribaltando e traslando i quattro
pezzi del primo, nella figura qui sotto ho illustrato le due possibilità.
- Figura A: il primo puzzle .
- Figura B: il secondo puzzle ottenuto con sole traslazioni dei pezzi che
compongono la figura A.
- Figura C: il terzo puzzle ottenuto prima ribaltando e poi traslando i
pezzi che compongono la figura A.
Quali sono le misure del secondo rettangolo, quello più
grande?
Se le dimensioni del rettangolo di partenza sono b e h,
allora quelle del nuovo rettangolo sono:
HG = b / cos(α)
EF = h / cos(α)
Di quanto è più grande l'area del secondo rettangolo rispetto a
quella del primo?
A1 = b · h
A2 = b · h / cos2(α)
A2 - A1 = b · h · (1/cos2(α) - 1) = b · h ·
tan2(α)
Come si realizza col cartoncino
Per capire come costruire il cartoncino, partiamo dal risultato finale.
Dovremmo avere 4 + 1 pezzi che ci permettano di costruire i due seguenti
puzzle.
In particolare i 4 quadrilateri irregolari dovrebbero essere stampati sul
fronte e sul retro di uno stesso cartoncino. Ho colorato i pezzi per farli
riconoscere più facilmente.
In conclusione
Ecco come devono essere stampate le due figure sui due lati del
cartoncino.
Materiali
Il pezzo mancante (pdf)
Il pezzo mancante A (gif)
Il pezzo mancante B (gif)
Data creazione: maggio 2013
Ultimo aggiornamento: maggio 2013
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