Le quattro formiche e altri problemi d'inseguimento

Un particolare ringraziamento a Ronfo e a tutti coloro che hanno contribuito a risolvere questi problemi.
Onore e gloria a chi riesce a dimostrare che questo tipo di problemi risale a Leonardo da Vinci.

Il cane e la papera
Un cane e una papera si trovano in uno stagno circolare di raggio 40 m e nuotano alla stessa velocità.
La papera è al bordo e nuota seguendo la circonferenza.
Il cane parte dal centro e nuota in modo da essere sempre diretto verso la papera.
In questo modo i due animali si trovano sempre lungo uno stesso raggio.
Per quanti metri dovrà nuotare il cane prima di raggiungere la papera?
Carlile, Collection, 1793. Prob. CV, p. 62.

Il leone e l'uomo
Un leone e un uomo sono chiusi in un'arena e possono correre alla stessa velocità massima.
Quale tattica deve seguire il leone se vuole essere sicuro di raggiungere il suo pasto?
J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany, 'Lion and man', pp. 135-136

La cattura del porcellino
Si racconta che nelle sagre paesane si svolgesse la gara di cattura del porcellino.
I ragazzotti aitanti e allegri dovevano raggiungere e afferrare nel tempo più breve possibile un maialino.
Quando Tim corse dietro al suo porcellino si trovava a 90 metri a Sud dell'animale, partirono allo stesso istante e corsero a velocità costante.
Il porcellino scappò verso Est, Tim invece di correre in linea retta verso Nord-Est , corse in modo tale da puntare in ogni istante in direzione del porcellino.
Ammettendo che Tim avesse una velocità doppia di quella del porcellino, quanta strada percorse quest'ultimo prima di venire catturato?
Esiste una regola molto semplice per risolvere questo problema ed è basata sull'aritmetica elementare, ma credo che molti di voi non la conoscano ( del resto sono rimasto sorpreso anch'io nel leggerla).
Naturalmente voi riuscirete a risolverlo ugualmente, dopo di che vi svelerò la regola, se già non lo avrete fatto. (postato da Ronfo il 28/05/04 7:57)

Quattro laboriose formichine
Quattro operose formichine partono dai quattro angoli di un quadrato di 6 metri di lato.
Ogni formichina si dirige verso quella alla sua destra muovendosi verso il centro a velocità costante di 1 cm/s. (lo so che Voi lo avete già capito ma preciso che le curve formate dal percorso delle formichine sono spirali logaritmiche).
Quanti minuti impiegheranno le formichine per incontrarsi al centro?
(Postato da Ronfo il 13/06/04 10:33)

Il problema di Apollonio
Una nave A si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v.
Un'altra nave B si muove con velocità costante V>v
Quale strategia di inseguimento dobbiamo adottare se vogliamo raggiungere la nave A con la nave B nel minor tempo possibile?

Storia recente, dalle SOURCES IN RECREATIONAL MATHEMATICS del prof. David Singmaster.

Risposte & riflessioni

I bollini rossi indicano la traiettoria della papera, quelli blu indicano la traiettoria del cane.
Il cane segue una semicirconferenza il cui diametro è uguale al raggio dello stagno ed è perpendicolare al raggio iniziale.
Gli archi delimitati dai punti rossi e da quelle blu hanno la stessa lunghezza.
Sia V la velocità dei due animali, R il raggio dello stagno e t il tempo.

La cattura del porcellino
La risposta è 120 m, ma vediamo come si può trovarla.

Risposta di Archimede al forum
velocita relatve di avvicinamento ad un istante t:
(Vp = Velocita' porcellino, Vtim Velocita' di TIM)

Vdirezione_corsa_tim(t)=-Vp*cos(alpha(t))+Vtim
Vest(t)=-Vp+Vtim*cos(alpha(t))

La distanza est alla fine dovra' valere 0m e all'inizio vale anche 0m.
La distanza che punta sempre a corsa TIM all'inizio vale d=90m e alla fine dovra' valere 0m.
Quindi abbiamo:
(integrazione della velocita' nel tempo=spazio)

0=int(Vest(t)dt)(da t=0 a t=t_incontro)
0=d-int(Vdirezione_corsa_tim(t)dt)(da t=0 a t=t_incontro)

0=int(-Vp+Vtim*cos(alpha(t))(da t=0 a t=t_incontro)
0=d-int(-Vp*cos(alpha(t))+Vtim)(da t=0 a t=t_incontro)

0=-Vp*t_incontro+int(Vtim*cos(alpha(t))(da t=0 a t=t_incontro)
0=d-Vtim*t_incontro-int(Vp*cos(alpha(t)))(da t=0 a t=t_incontro)

con Vtim=2*Vp abbiamo:

0=-Vp*t_incontro+2*int(Vp*cos(alpha(t))(da t=0 a t=t_incontro)
0=d-2*Vp*t_incontro-int(Vp*cos(alpha(t)))(da t=0 a t=t_incontro)

risolvendo la prima rispetto :
int(Vp*cos(alpha(t))(da t=0 a t=t_incontro)
si ottiene:
int(Vp*cos(alpha(t))(da t=0 a t=t_incontro)=Vp*t_incontro/2

mettendolo nella seconda:
0=d-2*Vp*t_incontro-Vp*t_incontro/2
d=3/2*Vp*t_incontro

quindi
t_incontro=d*2/3/Vp

e quindi distanza tim:

d_tim = Vtim*t_incontro = 2*Vp*d*2/3/Vp = 4/3*d=90*4/3
= 120m
=======

salvo errori o ommissioni!!

Risposta di Ronfo al forum.
Non posso esimermi dal fare i complimenti ad Archimede per la sua esauriente soluzione.
Devo però ammettere che il mio grado di istruzione matematica non è al suo livello per cui non so se ho capito interamente il procedimento .
Ciò che mi conforta invece è il risultato che è uguale a quello che si ottiene con il metodo che vado ad illustrare.
Si determina prima la distanza che percorrerebbe Tim per catturare il maialino se corressero entrambi nella stessa direzione e verso (180 m).
Si trova poi la distanza che percorrerebbe Tim per la cattura se corressero nella stessa direzione ma verso opposto (60 metri) .
Si sommano poi le distanze e si divide per due (180+60)/2=120 metri

Proviamo a risolvere il problema in modo intuitivo ed elementare.
In ogni istante le quattro formiche stanno sui vertici di un quadrato che si rimpicciolisce e ruota man mano che le formiche si avvicinano fra di loro.
Il percorso di ogni inseguitrice A è sempre perpendicolare al percorso dell'inseguita B.
Questo significa che nel vettore moto di B non vi è alcuna componente che la fa avvicinare o allontanare da A.
Di conseguenza A cattura B nello stesso tempo in cui l'avrebbe catturata se B fosse stata ferma.
Perciò A percorre una distanza uguale al lato del quadrato per raggiungere B.
Il tempo impiegato è: t=s/v
Nel nostro caso:
s=600 cm
v=1 cm/s
t=600 s = 10 minuti.

Se vogliamo risolvere il problema con l'analisi matematica, allora le cose si fanno più difficili...

La nave A (inseguita) va verso Est ad una velocità v.
La nave B (inseguitrice) viaggia alla velocità V>v. Nell'esempio V=2v
L'angolo CAB è retto
La nave B dovrebbe puntare ad un punto C tale che BC/AC=V/v
Per trovare C si traccia il cerchio di Apollonio.

Che cos'è il cerchio di Apollonio?
Dati due punti A, B sul piano, il cerchio di Apollonio è il luogo dei punti P il cui rapporto fra le distanze PA/PB è dato e costante.

Nel caso delle navi il cerchio di Apollonio sarebbe l'insieme dei punti del piano che esse possono raggiungere contemporaneamente.

Per disegnare il cerchio di Apollonio, nel nostro caso, si comincia col trovare il diametro MN, dopodiché il gioco è fatto.
M è il punto in cui le navi si incontrerebbero se viaggiassero l'una verso l'altra.
N è il punto in cui si incontrerebbero se viaggiassero nello stesso verso.