 Spirale di Archimede "antioraria" r = t |
 Spirale di Archimede "oraria" r = -t |
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Spirale di Archimede "antioraria" r = t |
Spirale di Archimede "oraria" r = -t |
La spirale di Archimede ha la seguente equazione polare:
r = a*t
Più alto è a e più la spirale è "fitta".
Le equazioni parametriche, invece sono:
x = a*r*cos(t)
y = a*r*sin(t)
Se a=1 allora il passo della
spirale è d=2*pi (pi = pi-greco = 3,1415...)
Ciò significa che la spirale interseca l'asse x nei punti 0, 2pi,
4pi, ..., 2k*pi, con k = 1, 2, 3, ....
Inoltre la spirale intercetta su qualunque retta uscente
dall'origine segmenti di lunghezza 2*pi.
In generale, il passo della spirale è: d = 2*pi*a
Conoscendo il passo, si può determinare a: a = d/(2*pi)
| La lunghezza della spirale è: L = |  |
dove "theta" è il numero di giri in radianti e a è il passo.
Un semplice programma BASIC per
calcolare la lunghezza di una spirale conoscendo il passo e il
numero di giri.
LET d=1 !'passo
LET a=d/(2*PI) !'fattore della spirale
LET ng=5!'numero giri
LET t1=ng*2*PI !'numero giri in radianti
LET L1=(1/2)*a*(t1*SQR(1+t1^2)+LOG(t1+SQR(1+t1^2))) !'lunghezza
totale spirale
PRINT L1
 Una spirale di Archimede che interseca l'asse x nei multipli dell'unità: r = t/(2*pi) Questa spirale è lunga 78,909 unità Il calcolo approssimato dà: 78,540 unità |
 Una spirale di Archimede che interseca l'asse x ad intervalli di 0.1 unità: r = t/(40*pi) Questa spirale è lunga 785,453 unità Il calcolo approssimato dà: 785,40 unità |
Un metodo facile per calcolare la lunghezza (approssimata) di un giro di spirale
Nella figura vediamo il 4° giro della spirale tracciata dal seguente programma:
LET a=1/(2*PI)
FOR t=6*PI TO 8*PI STEP PI/180
LET r=a*t
PLOT LINES: r*COS(t),r*SIN(t);
NEXT t
La lunghezza del 4° giro è:
LUNGH. 4 giri - LUNGH. 3 giri
L4 = (1/2)*a*(8*pi*SQR(1+(8*pi)^2)+LOG(8*pi+SQR(1+(8*pi)^2)))
L3 = (1/2)*a*(6*pi*SQR(1+(6*pi)^2)+LOG(6*pi+SQR(1+(6*pi)^2)))
L = L4-L3
Il 4° giro della spirale di Archimede è lungo
come
la media delle circonferenze di raggio 3d e di raggio 4d
Eseguendo alcuni calcoli possiamo scoprire che il
giro n-esimo di spirale di Archimede di passo d
è lungo (approssimativamente) come la media
delle circonferenze di raggio (n-1)*d e n*d.
Ricordo che il passo: d = 2*a*pi
e di conseguenza: a = d/(2*pi)
Una formula abbastanza semplice per calcolare la
lunghezza approssimata di una spirale è la seguente:
L = pi*N*R
con N = R/t
dove:
t = passo
N = numero di giri
R = raggio massimo della spirale.
Un semplice programma
BASIC per calcolare la lunghezza di una spirale approssimata ad
una somma di circonferenze, conoscendo il passo e il numero di
giri.
LET d=1 !'passo
LET ng=5 !'Numero giri
LET ls=0
FOR i=0 TO 4
LET r=(i*d+d/2)
LET c=2*PI*r
LET ls=ls+c
NEXT i
PRINT LS
luglio 2004
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