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Attrezzatura necessaria
Carta e penna, prima di tutto.
Una calcolatrice, meglio se a 12 cifre non guasta mai quando si affrontano certi
problemi numerici.
Un computer con un programma di foglio elettronico è proprio superfluo ma
talvolta mi ha aiutato ad uscire fuori da situazioni insostenibili: volevo
trovare a tutti i costi e subito la soluzione di un problema numerico.
Ecco un esempio:
Addizione o moltiplicazione, stesso risultato.
Un cliente entra in un negozio e compra quattro articoli.
La cassiera, evidentemente alle prime armi, dopo aver armeggiato a lungo con i
tasti, gli dice che il conto ammonta a 7,11 euro.
Il cliente, sospettoso, le chiede: -Come ha ottenuto questo risultato?
La cassiera risponde: -Ho MOLTIPLICATO i prezzi dei quattro articoli.
Il cliente protesta: - Mi scusi ma i prezzi vanno ADDIZIONATI e non
MOLTIPLICATI!
La cassiera risponde: -Siccome avevo qualche dubbio, ho provato anche ad
addizionarli ma mi è venuto lo stesso risultato!
A questo punto il cliente, sbalordito, legge lo scontrino e constata che la
commessa ha ragione.
Quali erano i prezzi dei quattro oggetti?
Siate ecologici, non consumate troppa carta né troppa energia elettrica ma fate lavorare il cervello!
La matematica, tuttavia, non si fa soltanto con il cervello ma anche con gli occhi, con le orecchie, con le mani, con tutto il corpo, insomma. Molti concetti della geometria, ad esempio, possono essere capiti e ricordati meglio se mettiamo in gioco anche la memoria muscolare e la motricità fine. Ed il modo migliore per fare questo è costruire dei modelli di oggetti geometrici e non limitarsi ad immaginarli. Per questo sarà utile procurarsi: cartoncino, forbici, stecchini, righe, squadre, compasso, fotocopiatrice, colla, etc. Tracciare linee, angoli, ritagliare, spostare, far combaciare, incollare, piegare, ...
Organizzarsi!
La cosa più importante quando si affronta un quesito logico matematico non è
tanto trovare la soluzione quanto ideare una strategia intelligente per
risolverlo.
Una strategia che possa essere applicata anche ad altri casi simili. O che possa
dare nuove idee per altre sfide, magari più difficili.
Evitare l'effetto alone
L'uovo
Per capire cos'è l'effetto alone provate a chiedere ad una persona di
ripetere con voi, una parola alla volta: - Tarlo - terlo - torlo - turlo - tirlo
- tarlo - terlo - torlo - turlo - tirlo - tarlo - terlo - torlo - turlo - tirlo
- tarlo - terlo - torlo - turlo - tirlo.
Poi improvvisamente chiedetele:
-Come si chiama il bianco dell'uovo?
L'effetto alone io lo definirei così: quando l'uomo si trova
in una situazione ripetitiva, tende a ripeterla anche quando dovrebbe cambiare.
Nel caso della matematica, le situazioni ripetitive sono pericolose perché
offuscano sia la razionalità che la creatività.
Infatti, dopo aver affrontato molti esercizi che richiedono la stessa strategia,
risulta più difficile affrontare un nuovo esercizio, magari simile, ma che
richiede una diversa strategia.
I testi scolastici (salvo eccezioni) sono dei campioni di ripetitività perché
presentano lunghe liste di esercizi tutti uguali.
Ecco altri esempi (non tratti dai testi scolastici!):
La mamma di Pierino
La mamma di Pierino ha tre figli: essi si chiamano Qui, Quo, e ...?
Variante: La mama de John tiene tres niños. El mayor es un varon llamado
Herbert quien tiene los ojos marrones; todos lo llaman Herb. Quien le sigue en
edad es una chica llamada Penelope; todos la llaman Penny (favor alejar las
malas interpretaciones ... esta es la manera popular de llamar al centavo de do
lar). El menor de todos tiene los ojos verdes y es capaz de mover sus orejas. ¿Cual
es su nombre?.
Il colore dei denti
-Bene, ora ti farò una serie di domande molto difficili: attento a non
sbagliare.
-Hai mai visto un bambino appena nato?
-Bene ora immagina un bambino nero appena nato. Ci sei? Fai molta
attenzione.
-Di che colore è il suo viso? [nero]
-Di che colore sono le braccia? [nere]
-Di che colore sono le gambe? [nere]
-Di che colore è il pancino? [nero]
-Di che colore è il nasino? [nero]
-E ora, attento a non sbagliare: di che colore sono i suoi denti?
La somma di tre numeri dispari può essere pari?
Hai 11 monete e vuoi metterle in 3 vasi in modo che ogni vaso contenga un
numero dispari di monete. Qual è una possibile soluzione?
Come faresti con 13 monete? e con 9?
Mio zio Rafael un giorno ci è riuscito anche con 10 monete. Come ha fatto?
Il lupo, l'oca e il grano
Un contadino deve attraversare un fiume...
La barca è bucata, può fare un solo viaggio, al massimo due.
Trovare le due soluzioni...
Il senso comune ci può ingannare
Il senso comune assomiglia un po' all'effetto alone.
Noi viviamo tutti i giorni le stesse situazioni, utilizziamo le parole sempre
con i significati più usuali, non riflettiamo a fondo sul significato delle
frasi che ascoltiamo e che noi stessi pronunciamo.
Non c'è problema! La comunicazione fra persone evidentemente funziona bene
così com'è (o no?).
Invece, quando si ha a che fare con la logica e la matematica il senso comune a
volte non funziona. Per avere successo bisogna sapere molto bene che cosa
significano e come funzionano i simboli e le parole utilizzate.
Ecco alcuni esempi lampo.
Ogni giorno ne togli la metà
Una damigiana contiene 32 litri di vino. Ogni giorno togli la metà di
quello che contiene.
Dopo quanti giorni sarà vuota?
La ninfea nel laghetto
La ninfea è una bellissima pianta d'acqua dolce.
Il caffè ti piace dolce?
Che cosa usi per addolcire il caffè? Il tradizionale zucchero bianco di
barbabietola o quello di canna? Oppure le pasticche di dolcificante?
Una volta una signora che aveva paura di perdere la linea gettò una pastiglia
di dolcificante in una tazzina piena di caffè caldo e aromatico. Ma la
pastiglia non si bagnò e neppure si sciolse.
Perché?
Non autolimitarsi, ovvero il pensiero laterale
Come si possono evitare i tranelli dell'effetto alone e del senso comune?
Semplice a dirsi, difficile a farsi: togliendo i limiti che noi stessi poniamo
alla nostra creatività. Attivando il cosiddetto pensiero laterale. Quando siamo
in un vicolo cieco e non riusciamo a risolvere un problema con una determinata
strategia dobbiamo essere capaci di cambiare più o meno radicalmente il punto
di vista. Spesso il nuovo punto di vista porta a risultati sorprendenti: ciò
che prima sembrava difficilissimo diventa semplicissimo.
Un classico esempio è il quesito dei nove punti e delle quattro linee
che abbiamo già incontrato nei top-ten.
Ecco alcuni altri esempi:
Quattro triangoli con sei stecchini
Ecco come si possono costruire 4 triangoli con 12 stecchini.
Si può fare di meglio. La figura qui sotto mostra come costruire 4 triangoli con 9 stecchini.
E' possibile costruire 4 triangoli grandi come quelli della figura, utilizzando solo 6 stecchini?
Due e tre
Tutti sanno risolvere immediatamente quesiti come questi:
Inserire un simbolo matematico fra 2 e 3 in modo da ottenere come risultato 5.
Inserire un simbolo matematico fra 2 e 3 in modo da ottenere come risultato 6.
Ma molti trovano difficoltà a risolvere il seguente:
Inserire un simbolo matematico fra 2 e 3 in modo da ottenere come risultato un
numero compreso fra 2 e 3.
Il volo dell'uccello
Due treni distano l'uno dall'altro 80 km e viaggiano sullo stesso binario,
l'uno verso l'altro, alla velocità di 40 km/h.
Un uccellino parte dal primo treno e vola verso il secondo treno ad una
velocità di 80 km/h.
Giunto a toccare il secondo treno, fa immediatamente dietro front e vola verso
il primo treno, sempre alla stessa velocità.
Procede allo stesso modo, volando da un treno all'altro, fino a quando i treni
si scontrano.
Quanti voli fa l'uccellino prima di rimanere schiacciato fra i due treni? E
quanta distanza ha percorso?
Nota: a seguito di una diffida della Protezione Animali e delle Ferrovie
Italiane, intendo precisare che sia l'uccellino, sia i treni, sono del tutto
immaginari.
Trasformare un problema difficile in uno più facile
Talvolta capita che un quesito ci sembri
inabbordabile. Troppo difficile. Impossibile.
In questi casi può essere utile formulare un nuovo quesito, simile al primo ma
più facile. Risolvendo il quesito più facile ci può venire l'idea giusta per
risolvere quello più difficile.
Il problema dei quattro interruttori, ad esempio, può mettere veramente in
crisi.
Quattro interruttori ed una lampadina
Ti trovi di fronte ad una porta chiusa (non a chiave) che conduce in una
casa buia nella quale si trova una lampadina a filamento. Però, dal punto in
cui ti trovi, non puoi vedere se la lampadina è accesa o spenta.
Sul muro, di fianco alla porta, si trovano 4 interruttori. Uno solo di essi
accende la lampadina, gli altri tre sono inutili.
Il tuo compito è scoprire quale interruttore accende la lampadina.
Come fai?
Non è un problema semplice, vero?
Far lavorare l'inconscio cognitivo
...
Non leggere la soluzione prima di averne trovato una che ci
soddisfa
Affrontare un quesito matematico è soprattutto una sfida con se stessi.
Questa sfida può essere vinta, sospesa o persa.
E' meglio non prendere l'abitudine di leggere le risposte. Ogni risposta letta, infatti, fa diminuire impercettibilmente il nostro senso di autostima matematica. Se arrendersi troppo presto diventa un'abitudine, prima o poi ci sentiremo depressi e frustrati, e questo non è bello.
Ultimo aggiornamento: giugno 2005
Addizione o moltiplicazione, stesso risultato.
Ricordo che i prezzi in Euro hanno al massimo due cifre
decimali. Questo problema ha infiniti risultati ma ne ho trovato soltanto uno
adeguato alla situazione 1,20 - 1,50 - 1,25 - 3,16. Trovare una soluzione
sarebbe stato più facile se il prezzo fosse stato, ad esempio 8 euro (1, 1, 2,
4) oppure 9 euro (2, 2, 0.5, 4.5) oppure 7,5 euro (1, 1, 2.5, 3) o, infine 7,2
euro (1, 1.2, 2, 3)
L'uovo
Ha risposto TUORLO, vero? Invece è l'ALBUME.
La mamma di Pierino
Pierino, ovviamente, e non Qua.
Il colore dei denti
Ha risposto "bianchi", vero? Ma un bambino appena nato non ha
denti!
La somma di tre numeri dispari puo' essere pari?
VASO1: contiene VASO2 e 4 monete
VASO2: contiene 3 monete
VASO3: contiene 3 monete
Tecnicamente, VASO1 contiene le sue 4 monete più le 3 di VASO2, quindi tutti
e tre contengono un numero dispari di monete.
(Risposta inviata da Giorgio Sironi)
Il lupo, l'oca e il grano
Ogni giorno ne togli la metà
La maggior parte delle persone risponde: -Che domanda stupida! Sara vuota
dopo due giorni, no!?
Questa risposta è falsa perché il primo giorno togli 16 litri e ne rimangono
16. Il secondo giorno togli la metà di quello che contiene cioè 8 litri
e ne rimangono 8. Il terzo giorno ne togli 4, il quarto 2, e così via.
Un matematico incallito risponderebbe che la damigiana non sarà mai
vuota.
Un fisico incallito risponderebbe che una damigiana non potrà mai essere
vuotata capovolgendola perché un po' di liquido rimane sempre attaccato alle
pareti a causa delle forze di adesione.
Un ingegnere incallito risponderebbe che la damigiana, trascurando
l'evaporazione, sarà vuota (a meno di 1 cl) dopo 12 giorni.
Un venditore di vino risponderebbe che un problema così non gli è mai
capitato e non gli capiterà mai.
La ninfea nel laghetto
Il caffè ti piace dolce?
Il caffè era in grani, appena tostato.
>>> Riccardo Lattante propone
un'altra soluzione: Non potrebbe anche essere che la pastiglia di dolcificante
che la signora butta nel caffè (che in questo caso consideriamo liquido) fosse
ancora nella sua confezione di plastica, impermeabile?!
Mi sembra una situazione più verosimile, perchè una signora sbadata la si
trova facilmente, ma una signora che butta una pastiglia di dolcificante in una
TAZZINA di caffè, in grani e appena tostato è meno plausibile...
Quattro triangoli con sei stecchini
Finché cerchiamo una soluzione nel piano siamo in un vicolo cieco. Usciamo
dal piano e costruiamo un tetraedro: 6 spigoli, 4 triangoli.
Ho tenuto assieme gli stecchini con 4 palline di pasta.
Due e tre
Inutile insistere con le quattro operazioni. E' sufficiente inserire una
virgola, che è un simbolo matematico: 2,3.
>>> Fabio Martis mi scrive:
Ho notato nella sezione dei giochi logici (consigli..ecc) che nel
gioco intitolato "2 e 3" alla domanda: inserire un simbolo matematico
tra 2 e 3 che dia come risultato un numero compreso tra 2 e 3 voi date come
risposta " 2,3" chiarissimo .
Ho dunque impugnato la calcolatrice e ho provato alcune combinazioni...
Vorrei quindi chiedervi se l'operatore ln (logaritmo) (2 ln 3) è considerato
come soluzione visto che come risultato mi dà 2,197224...
Direi di sì. Aggiudicato!
Il volo dell'uccello
E' chiaro che l'uccello farà infiniti voli, sempre più corti, prima che i
treni si scontrino. Per risolvere il quesito si potrebbe trovare la somma di
questa serie infinita di numeri. Questa via è piuttosto improba.
Cambiamo il punto di vista: sapendo che l'uccellino viaggia a 80 km/h e avendo
calcolato con facilità che i treni si scontreranno dopo 1 ora, è facilissimo
dedurre che l'uccellino, prima di rimanere schiacciato, percorrerà 80 km. Sotto
questo nuovo punto di vista il problema diventa di una facilità disarmante.
>>> Pasquale Tenerelli propone
una variante con una punta di "sadismo" in più:
Per complicare un po' le cose si possono far viaggiare i due treni a velocità
diverse, domandando:
a) dopo quanto tempo l'uccello rimane schiacciato;
b) per quanti km ha volato;
c) a quale distanza dalla stazione da cui è partito avviene l'impatto
Variante sadica: esprimere la velocità dei treni in km/h e quella dell'uccello
in miglia/h.
Quattro interruttori ed una lampadina
Per semplificare il problema possiamo supporre che gli interruttori siano meno
di quattro.
A questo punto la soluzione è chiara e può essere estesa anche al caso dei quattro interruttori.
Ecco la soluzione per tre interruttori.
Dopo aver compiuto queste operazioni entro immediatamente in casa, osservo e tocco la lampadina.
Ed ecco infine la soluzione per quattro interruttori.
Il primo interruttore non lo tocco.
Attivo il secondo ed il terzo per 10 minuti e poi disattivo il secondo.
Attivo il quarto
Dopo aver compiuto queste operazioni entro immediatamente in casa, osservo e
tocco la lampadina.
Se è accesa e fredda, l'interruttore cercato è il quarto.
Se è accesa e calda, l'interruttore cercato è il terzo.
Se è spenta e calda, l'interruttore è il secondo.
Se è spenta e fredda, l'interruttore è il primo.
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