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Giochi matematici nell'insegnamento
Un articolo
fondamentale di Miguel de Guzmán
sul valore didattico della matematica
ricreativa
Publicado en
Actas de las IV Jornadas sobre
Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas
Santa Cruz de Tenerife, 10-14
Septiembre 1984
Sociedad Canaria de Profesores
de Matemáticas Isaac Newton
(Agradezco a Jorge
Moreno Pérez su ayuda para hacer este artículo asequible a través de la red)
JUEGOS MATEMÁTICOS EN LA ENSEÑANZA
Miguel de Guzmán
Facultad de Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid
A good mathematical joke is
better and better mathematics
than a dozen
mediocre papers
(J.E. Littlewood,
A Mathematician´s Miscellany).
Indice
1. MATEMATICAS Y JUEGOS.
Impacto
de los juegos en la historia de la matemática.
El
fundamento matemático de los juegos.
Matemáticas
con sabor a juego.
Consecuencias
para la didáctica de la matemática.
Notas sobre la
literatura clásica sobre juegos.
2. UTILIZACION DE
LOS JUEGOS EN LA ENSEÑANZA.
A.-
Directrices heurísticas basadas en juegos.
1. ANTES DE HACER,
TRATARÉ DE ENTENDER.
2. TRAMARÉ
UNA ESTRATEGIA, O VARIAS.
3. MIRARÉ SI MI
ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL.
4. SACARÉ JUGO AL JUEGO.
Ejemplos
B. Directrices temáticas para el uso de los Juegos.
1. SORPRESAS MATEMÁTICAS.
2. CUENTOS CON CUENTAS.
3. SISTEMAS DE
NUMERACION.
4. CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD.
5. INDUCCIÓN.
6. CONTAR SIN CONTAR.
7. DEDUCCIÓN LÓGICA
8. ELEMENTAL, QUERIDO WATSON.
9. SIMETRÍA.
10. HAZTE UN
DIBUJO.
11. UTILIZACIÓN DE
COLORES.
12. COMENZAR
POR LO FÁCIL AYUDA A RESOLVER LO DIFÍCIL
13. PIENSA AL
REVÉS. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO.
14.
SOLITARIOS MATEMÁTICOS.
15. PARTIDOS MATEMÁTICOS.
16. ANALOGÍAS ESCONDIDAS.
17. FALACIAS.
18. FELIZ
IDEA.
3. ALGUNAS INDICACIONES
BIBLIOGRÁFICAS.
1.
MATEMATICAS Y JUEGOS.
¿Dónde termina el juego y dónde comienza
la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para
muchos de los que ven la matemática desde fuera, ésta, mortalmente aburrida,
nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los
matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además
de ello pueda ser otras muchas cosas.
El juego bueno, el que no depende de la
fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee
cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de
análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta
el desarrollo matemático. Las diferentes partes de la matemática tienen sus
piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento
mutuo a través de las definiciones de la teoría. Las reglas válidas de manejo de
estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de
razonamiento admitidos como válidos en el campo. Cuando la teoría es elemental,
estos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no
quiere decir que el juego sea trivial. Elemental quiere decir cerca de los
elementos iniciales y no necesariamente simple. Existen problemas elementales
desproporcionadamente complicados con respecto a su enunciado. Un ejemplo lo
constituye el problema de averiguar el mínimo de las figuras en las que una
aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos continuos. Cuando
la teoría no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del juego se
han desarrollado extraordinariamente en número y en complejidad y es necesario
un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son
herramientas muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez más sofisticadas,
a lo largo de los siglos. Tal es, por ejemplo, la teoría de la medida e integral
de Lebesgue en el análisis superior.
La matemática así concebida es un
verdadero juego que presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da
en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las
jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las
partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar
sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de
participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen
constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún
abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y
útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca
a la solución del problema.
Por esto no es de extrañar en absoluto
que muchos de los grandes matemáticos de todos los tiempos hayan sido agudos
observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos, y que muchas
de sus elucubraciones, precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y
matemática, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a nuevos
campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática profundamente
seria.
Impacto de los juegos en la historia de la
matemática.
La historia antigua no ha sido inclinada
a preservar sino los elementos solemnes de la actividad científica, pero uno no
puede menos de sospechar que muchas de las profundas cavilaciones de los
pitagóricos, por ejemplo alrededor de los números, tuvieron lugar jugando con
configuraciones diferentes que formaban con las piedras. El llamado problema bovino de Arquímedes, álgebra hecha con
procedimientos rudimentarios, tiene un cierto sabor lúdico, así como otras
muchas de sus creaciones matemáticas originales. Euclides fue, al parecer, no sólo el primer gran
pedagogo que supo utilizar, en una obra perdida llamada Pseudaria (Libro de Engaños), el gran valor didáctico
en matemática de la sorpresa producida por la falacia y la aporía.
En la
Edad Media Leonardo de Pisa (ca.1170-ca.1250), mejor
conocido hoy y entonces como Fibonaccí, cultivó una matemática numérica con
sabor a juego con la que, gracias a las técnicas aprendidas de los árabes,
asombró poderosamente a sus contemporáneos hasta el punto de ser proclamado
oficialmente por el emperador Federico II como Stupor
Mundí.
En la Edad Moderna Geronimo Cardano (1501-1576), el mejor matemático de su
tiempo, escribió el Líber de ludo aleae, un libro
sobre juegos de azar, con el que se anticipó en más de un siglo a Pascal y
Fermat en el tratamiento matemático de la probabilidad. En su tiempo, como
tomando parte en este espíritu lúdico, los duelos medievales a base de lanza y
escudo dieron paso a los duelos intelectuales consistentes en resolver
ecuaciones algebraicas cada vez más difíciles, con la participación masiva, y
más o menos deportiva, de la población estudiantil, de Cardano mismo y otros
contendientes famosos como Tartaglia y Ferrari.
El famoso problema del Caballero de
Meré, consistente en saber cómo deben ser las apuestas de dos jugadores que,
habiendo de alcanzar n puntos con sus dados, uno ha obtenido p y el otro q
puntos en una primera jugada, fue propuesto por Antoine Gobaud, Caballero de
Meré (1610-1685) a Pascal (1623-1662). De la correspondencia entre éste y Fermat
(1601-1665) a propósito del problema surgió la moderna teoría de la
probabilidad.
Leibniz (1646-1716) fue un gran promotor
de la actividad lúdica intelectual: "Nunca son los hobres más ingeniosos que en
la invención de los juegos... Sería deseable que se hiciese un curso entero de
juegos, tratados matemáticamente", escribía en una carta en 1715. Y en
particular comenta en otra carta en 1716 lo mucho que le agrada el ya entonces
popular solitario de la cruz, y lo interesante que le resulta el jugarlo al
revés.
En 1735, Euler (1707-1783), oyó hablar
del problema de los siete puentes de Königsberg, sobre la posibilidad de
organizar un paseo que cruzase todos y cada uno de los puentes una sola vez
(camino euleriano). Su solución constituyó el comienzo vigoroso de una nueva
rama de la matemática, la teoría de grafos y con ella de la topología general.
También el espíritu matemático de la época de Euler participaba fuertemente del
ánimo competitivo de la época de Cardano. Johann
Bernoulli (1667-1748) lanza el problema de la braquistócrona como un reto a
los mejores matemáticos de su tiempo. En este duelo participaron con ardor nada
menos que Jakod Bernoulli (creador, precisamente con su solución al problema,
del cálculo de variaciones) Leibniz, Newton y Huygens.
Se
cuenta que Hamilton (1805-1865) sólo recibió dinero
directamente por una de sus publicaciones y ésta consistió precisamente en un
juego matemático que comercializó con el nombre de Viaje
por el Mundo. Se trataba de efectuar por todos los vértices de un dodecaedro
regular, las ciudades de ese mundo, un viaje que no repitiese visitas a ciudades
circulando por los bordes del dodecaedro y volviendo al punto de partida (camino
hamiltoniano). Esto ha dado lugar a un problema interesante en teoría de grafos
que admiten un camino hamiltoniano.
Los biógrafos de Gauss (1777-1855) cuentan que el Princeps Mathematicorum era un gran aficionado a jugar
a las cartas y que cada día anotaba cuidadosamente las manos que recibía para
analizarlas después estadísticamente.
Hilbert
(1862-1943) uno de los grandes matemáticos de nuestro tiempo es responsable de
un teorema que tiene que ver con los juegos de disección: dos polígonos de la
misma área admiten disecciones en el mismo número de triángulos iguales.
John von Neumann (1903-1957), otro de los matemáticos
más importantes de nuestro siglo, escribió con Oskar Morgenstern en 1944 un
libro titulado Teoría de Juegos y Conducta
Económica. En él analizan los juegos de estrategia donde aparece en
particular el teorema de minimax, pieza fundamental
para los desarrollos matemáticos sobre el comportamiento económico.
Según
cuenta Martin Gardner, Albert Einstein (1879-1955),
tenía toda una estantería de su biblioteca particular dedicada a libros sobre
juegos matemáticos.
El
fundamento matemático de los juegos.
Estas
muestras del interés de los matemáticos de todos los tiempos por los juegos
matemáticos, que se prodrían ciertamente multiplicar, apuntan a un hecho
indudable con dos vertientes. Por una parte son muchos los juegos con un
contenido matemático profundo y sugerente y por otra parte una gran porción de
la matemática de todos los tiempos tiene un sabor lúdico que la asimila
extraordinariamente al juego.
El primer aspecto se puede poner bien de
manifiesto sin más que ojear un poco el repertorio de juegos más conocidos. La aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos,
cambios de monedas, juegos sobre pesadas, adivinación de números,... La teoría elemental de números es la base de muchos
juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en
juegos que implican diferentes sistemas de numeración, en juegos emparentados
con el Nim,... La combinatoria es el núcleo básico
de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar
una tarea, muchos de ellos sin resolver aún, como el de averiguar el número de
formas distintas de plegar una tira de sellos, el problema del viajante,... El álgebra interviene en muchos acertijos sobre edades,
medidas, en el famoso juego de los 15, en el problema de las ocho reinas,... La teoría de grupos, en particular el grupo de Klein,
es una herramienta importante para analizar ciertos juegos con fichas en un
tablero en los que se "come al saltar al modo de las damas. La teoría de grafos es una de las herramientas que
aparece más frecuentemente en el análisis matemático de los juegos. Nació con
los puentes de Königsberg, se encuentra en el juego de Hamilton, da la
estrategia adecuada para los acertijos de cruces de ríos, como el del pastor, la
oveja, la col y el lobo, el de los maridos celosos, y resuelve también muchos
otros más modernos como el de los cuatro cubos de la Locura Instantánea... La teoría de matrices está íntimamente relacionada
también con los grafos y juegos emparentados con ellos. Diversas formas de
topología aparecen tanto en juegos de sabor antiguo, como el de las tres granjas
y tres pozos, como en juegos más modernos como los relacionados con la banda de
Möbius, problemas de coloración, nudos, rompecabezas de alambres y anillas... La teoría del punto fijo es básica en algunos acertijos
profundos y sorprendentes como el del monje que sube a la montaña, el pañuelo
que se arruga y se coloca sobre una réplica suya sin arrugar,... La geometría aparece de innumerables formas en
falacias, diseciones, transformación de configuraciones con cerillas, poliominós
planos y espaciales,... La probabilidad es, por
supuesto, la base de todos los juegos de azar, de los que precisamente nació. La lógica da lugar a un sinfín de acertijos y paradojas
muy interesantes que llaman la atención por su profundidad y por la luz que
arrojan sobre la estructura misma del pensamiento y del lenguaje.
Matemáticas con sabor a juego.
Por otra
parte resulta igualmente fácil señalar problemas y resultados profundos de la
matemática que rezuman sabor a juego. Citaré unos pocos entresacados de la
matemática más o menos contemporánea.
El teorema de
Ramsey, en su forma más elemental, afirma que si tenemos 6 puntos sobre una
circunferencia, los unimos dos a dos, y coloreamos arbitrariamente los segmentos
que resultan de rojo o de verde, entonces necesariamente hay al final un
triángulo con tales segmentos por los lados que tiene sus tres lados del mismo
color.
El lema de
Sperner, importante en la teoría del punto fijo, afirma que si en un
triángulo ABC se efectúa una triangulación (Una partición en un número finito de
triángulos tales que cada dos de ellos tienen en común un lado, un vértice, o
nada) y se nombran los vértices de los triángulos de la triangulación con A, B,
C, de modo que en el lado AB no haya más que las letras A ó B, en el AC nada más
que A ó C y en BC nada más que B ó C, entonces necesariamente hay un triángulo
de la triangulación que se llama ABC.
El teorema de
Helly afirma que si en un plano hay un número cualquiera de conjuntos
convexos y compactos tales que cada tres tienen un punto en común, entonces
todos ellos tienen al menos un punto en común.
El problema
de Lebesgue, aún sin resolver, pregunta por el mínimo del área de aquellas
figuras capaces de cubrir cualquier conjunto del plano de diámetro menor o igual
que 1.
El siguiente problema de la aguja en un convexo tridimensional está
también aún abierto: ¿Cuál es el cuerpo convexo de volumen mínimo capaz de
albergar una aguja de longitud 1 paralela a cada direción dada? Se sospecha, por
analogía con el caso bidimensional, que es el tetraedro regular de altura 1,
pero no hay demostración de ello.
Consecuencias para la didáctica de la
matemática.
La matemática es, en gran parte, juego,
y el juego puede, en muchas ocasiones, analizarse mediante instrumento
matemáticos. Pero, por supuesto, existen diferencias substanciales entre la
práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas del juego no
requieren introducciones largas, complicadas, ni tediosas. En el juego se busca
la diversión y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. Muchos problemas
matemáticos, incluso algunos muy profundos, permiten también una introducción
sencilla y una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos, pero la
matemática no es sólo diversión, sino ciencia e instrumento de exploración de su
realidad propia mental y externa y así ha de plantearse, no las preguntas que
quiere, sino las que su realidad le plantea de modo natural. Por eso muchas de
sus cuestiones espontáneas le estimulan a crear instrumentos sutiles cuya
adquisición no es tarea liviana. Sin embargo, es claro que, especialmente en la
tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática, el sabor a juego
puede impregnar de tal modo el trabajo, que lo haga mucho más motivado,
estimulante, incluso agradable y, para algunos, aún apasionante. De hecho, como
veremos, han sido numerosos los intentos de presentar sistemáticamente los
principios matemáticos que rigen muchos de los juegos de todas las épocas, a fin
de poner más en claro las conexiones entre juegos y matemáticas.
Desafortunadamente para el desarrollo científico en nuestro país, la aportación
española en este campo ha sido casi nula. Nuestros científicos y nuestros
enseñantes se han tomado demasiado en serio su ciencia y su enseñanza y han
considerado ligero y casquivano cualquier intento de mezclar placer con deber.
Sería deseable que nuestros profesores, con una visión más abierta y más
responsable, aprendieran a aprovechar los estímulos y motivaciones que este
espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus estudiantes.
Notas sobre la literatura clásica sobre juegos.
Los
datos que siguen sobre la historia de la literatura sobre recreaciones
matemáticas están tomados fundamentalmente del artículo de Shaaf en la Encyclopaedia
Britannica titulado Number Games and Other
Mathematical Recreations, que contiene una excelente exposición delos juegos
más significativos y de las obras más importantes. Pienso que los más seriamente
aficionados a los juegos matemáticos agradecerán estas breves notas y que
servirán al mismo tiempo para que los más escépticos ppuedan comprobar al menos
con qué tesón ha sido y es cultivado el campo en otros paises.
Aunque
en la Edad Media y comienzos de la Moderna se dieron algunos intentos
esporádicos de formalización y análisis matemático de juegos, con Fibonacci
(1202), Robert Recorde (1542) y Geronimo Cardano (1545), el gran primer
sistematizador de donde bebieron abundantemente posteriores imitadores fue Claude-Gaspar Bachet de Méziriac, quien en 1612 publicó
su obra de vanguardia en este campo Problémes plaisans
et delectables qui se font par les nombres. A él mismo se debe también la
publicación en francés de Diophanti, traducción de
un texto griego sobre teoría de números que ejerció un gran influjo sobre la
historia de la matemática, sobre todo a través de Fermat. El libro de
recreaciones de Bachet estaba basado sobre todo en propiedades aritméticas y
contiene los problemas más clásicos sobre juegos de cartas, relojes,
determinación del número de pesas para pesar 1, 2, 3,..., 40 kilos, problemas de
cruces,...
En 1624 un jesuíta francés, Jean
Leurechon, escribió bajo el seudónimo de van Etten, una obra, Recréations
Mathématiques, fuertemente basada en la de Bachet, pero que tuvo mucho más éxito
que la de éste, alcanzando las 30 ediciones ya en 1700. La obra de van Etten , una obra, Recreátions Mathématiques, fuertemente basada en la de
Bachet, pero que tuvo más exito que la de éste, alcanzando las 30 ediciones ya
en 1700. La obra de van Etten fue modelo para sus continuadores Claude Mydorge (1630), en Francia, y Daniel Schwenter, en Alemania. Este último, profesor de
hebreo, lenguas orientales y matemáticas, añadió gran cantidad de material
copilado por él mismo. Su obra póstuma apareció en 1636 con el título Deliciae PhysicoMathematicae oder Mathematische und
Philosophische Erquickstunden y la reedición de ella en 1651-1653 fue por
algún tiempo la obra más completa en su género.
Mientras tanto había aparecido en
Italia en 1641-1642 la obra en dos volúmenes bajo el complicado título Apiaria Universae philosophiae Mathematicae, in quibus
paradoxa et nova pleraque machinamenta exhiebntur, escrita por el jesuíta
Mario Bettini. Fue seguida en 1660 por un tercer volumen Recreationum
Mathematicarum Apiaria Novissima...
En Inglaterra William Leybourn publica en 1694 un libro a medio
camino entre el texto y la recreación, con la intención de "apartar a la
juventud de los vicios propios a los que es inclinada". Su título fue Pleasure with Profit: Consisting of Recreations of Divers
Kinds...
La obra que realmente marca la pauta
para los muchos autores que aparecerán en los siglos 18 y 19 fue la de Jacques
Ozanam, quien en 1694 publicó Récréatiions Mathématiques et Physiques, obra
inspirada en las de Bachet, Leurechon, Mydorge y Schwenter, que fue revisada más
tarde por el historiador de la matemática Montucla.
Al
final del siglo 19 aparecen los cuatro volúmenes de Edouard Lucas; especialista en teoría de números,
titulados Récréations mathematiques (1882-1894), que
pasa a ser la obra clásica durante algún tiempo. Contemporaneo de Lucas es Lewis Carroll, el autor de Alicia, gran aficionado a
los puzzles lógicos y juegos matemáticos quien publicó, entre otras cosas, Pillow Problems y A Tangled Tale (1885-1895).
En la
primera mitad del siglo 20 los nombres más importantes en América son los de los
dos Sam Loyd, padre e hijo, grandes especialestas en
puzzles mecánicos, autores del famosísimo juego de los 15, que en su tiempo
causó un furor parecido al del cubo de Rubik en nuestros días. En Alemania se
destacan Hermann Schubert con sus Zwölf Gedulspiele (1907-1909) en tres volúmenes, así
como Wilhelm Ahrens con sus dos volúmenes Mathematische Unterhaltungen und Spiele (1904-1920). En
Inglaterra se destacan Henry Dudeney (1917-1967) y
sobre todo la gran obra de W.W.Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays (1892, primera
edición), otro de los clásicos, con gran erudición histórica, en cuyas páginas
puede apreciarse documentadamente, a través de las numerosas notas, el impacto
de los juegos sobre los matemáticos y las matemáticas de todos los tiempos. El
geómetra H.S.M. Coxeter revisó en 1938 la undécima
edición. En Bélgica hay que destacar a Maurice
Kraitchik, editor de la revista Sphinx y compilador de varios libros entre
1900 y 1942. En Holanda se destaca también Fred.
Schuh, con su obra Wonderlijke Problemen,
publicada en 1943.
A partir de los años 50 Martin Gardner comenzó a publicar con gran éxito su
artículo mensual en las páginas de Scientific
American y su nombre, gracias a la difusión de esa revista y a las
compilaciones sucesivas, ocho hasta el presente, de sus mejores artículos, ha
llenado con enorme éxito el campo hasta finales de los años 70. De las obras más
recientes hay que destacaar especialmente la de Berlekamp, Conway y Guy, titulada Winning Ways,
en dos volúmenes, publicada en 1982, que por su amplitud, sistematización y
profundidad, alcanzará sin duda un gran éxito entre los aficionados más
concienzudos.
2. UTILIZACION DE LOS JUEGOS EN LA
ENSEÑANZA.
¿Se pueden utilizar los juegos
matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué
objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
Los
juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han
hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya
mucho receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con
el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo
lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".
A mi
parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego
tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente.
¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una
sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo
cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con
el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras
mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.
Pero es
que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a
la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la
historia misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que
señalaré a continuación, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un
elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de
nuestra enseñanza más eficazmente.
En mi opinión, el objetivo primordial de
la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un
amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano
en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar
su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de
modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el
estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el
ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de
las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el
cultivo de cada materia.
Por la semejanza de estructura entre el
juego y la matemática, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas
actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos
adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia
más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y
motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.
Es un
hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida
para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura
en poco difere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos
que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les
propone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver
con el teorema de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en
la niñez, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas sguían
respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja
inextricable cada vez más absurda y complicada.
Bien se puede pensar que muchas de
estas personas, adecuadamente motivadas desde un principio, tal vez a través de
esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la
seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en
general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como
corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.
Es claro
que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones
matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras
charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión
intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final
una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la
impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un
esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. Pero, como veremos, hay
juegos que, de forma natural, resultan asquibles a una manipulación muy
semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas
matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.
Es mi
intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización de los
juegos en la enseñanza. El primero consiste en un ensayo de desarrollo
heurístico a través de los juegos. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que, a
mi parecer, constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de
acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico, la resolución de
problemas, puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. El
segundo esquema presenta, a través de un listado de temas, actitudes y
actividades matemáticas, cómo los juegos pueden utilizarse para motivar,
enriquecer e iluminar la ocupación con ellas.
Lo que sobre todo deberíamos
proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de
hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas,
matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su
mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con
poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la
resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las
matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha
atraído y atrae a losmatemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con
problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes,
hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la
vida propia de las matemáticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse
igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos
matemáticos.
Lo que sigue viene a ser, en sus líneas
generales, un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya
¿Cómo Resolverlo?, ilustradas aquí con algunos juegos que a mí, espigando en la
literatura, me han parecido adecuados. El objetivo de este esquema consiste
simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan
en la resolución de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema
matemático, y cómo, efectivamente, muchos de los hábitos adecuados para la tarea
matemática podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos
escogidos de juegos. La elaboración de un curso completo de heurística en esta
dirección sería un trabajo bien interesante que requeriría una inmersión a fondo
en la abundante literatura existente a fin de analizar los juegos más apropiados
para cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad.
Trataré en lo posible aquí de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar
introducciones quenos llevarían mucho tiempo.
A.- Directrices heurísticas basadas en juegos.
COMO RESOLVERLO
1. ANTES DE HACER TRATARÉ DE ENTENDER. No pienses que
es una observación del todo tonta. La experiencia dice que son muchos los que se
lanzan a hacer cosas a lo loco, por si alguna da en el blanco por casualidad.
¿Sabes bien de qué va?
¿Cómo
funciona las diferentes partes del juego? Estúdialas una a una: forma del
tablero, reglas, funcionamiento de las fichas...
Hazte
una o varias figuras si te parece que te va bien.
Juega
un poco con las fichas o las partes del juego según las reglas para
familiarizarte con su forma de actuar.
2. TRAMARÉ UNA ESTRATEGIA.
Busca conexiones con otros elementos que conozcas. Tal vez necesitarás
construirte un juego auxiliar más simple que puedas resolver.
Al final de esta etapa deberías construirte un plan de
ataque concreto.
Aquí tienes algunas observaciones y
preguntas que te pueden ayudar en esta tarea.
Ya me lo sé. ¿Lo has visto antes? ¿Lo has visto en
forma parecida al menos?
No me
lo sé, pero conozco uno que... ¿Conoces algún juego semejante, relacionado
con éste de alguna manera? ¿Sabes algo del otro que pueda ayudarte en éste?
¿Cómo marchaba aquél? Tienes un
juego semejante en el que sabes cómo actuar. ¿Puedes usar la misma forma de
proceder? ¿Puedes usar la misma idea que conduce allí a la solución? ¿Deberías
introducir en éste alguna modificación que lo haga más semejante a aquél?
Empezar por lo fácil hace fácil lo
difícil. ¿Puedes resolver al menos parte del juego? ¿Lo puedes hacer en
circunstancias especiales, suponiendo por ejemplo que hubieras conseguido
superar una etapa inicial? Supón que se te pide un poco menos, ¿puedes entonces?
Supongamos el problema
resuelto... ¿Puedes tratar de recorrerlo hacia atrás? ¿Puedes pensar desde
aquí en alguna pista?
Si hago
esto, entonces queda así... A ver si puedo transformar el juego en otro más
sencillo. Introduce tú mismo modificaciones en las reglas, en las
condiciones... tratando de sacar alguna luz de estas modificaciones.
Me hago un esquema, me lo pinto en
colores, me escribo una ecuación... Procura, por todos los medios a tu
alcance tener un buen esquema de los puntos principales en la mente.
Veamos de nuevo... ¿Para qué son
así las reglas? ¿Cuál es la mala (o buena) idea detrás de ellas? Fíjate de
nuevo en la estructura del juego. Trata de encontrar pistas en la diferente
función de las partes.
3. MIRARÉ SI MI ESTRATEGIA ME
LLEVA AL FINAL. Trata de poner en práctica tus planes.
Ya tengo una idea. Vamos a ver si
marcha. Lleva adelante tu estrategia con decisión. No te arrugues
fácilmente. Si tienes varias ideas, pruébalas una a una, por orden. No las
mezcles en un principio sin ton ni son.
No nos liemos... Probaré otra cosa. No te emperres
demasiado en una sola estrategia. Si te lleva a una situación muy complicada,
vuelve al paso segundo y busca otra estrategia. Probablemente hay otro modo más
sencillo.
Lo conseguí... ¿Por
casualidad? Si te va bien con tu estrategia, estúdiala detenidamente para
convencerte de que no es por casualidad.
4. SACARÉ JUGO AL JUEGO. No
consideres que ya has terminado del todo cuando lo has resuelto. Míralo a fondo.
Aprovecha tu solución para asimilar bien la experiencia.
No sólo sé que va, sino que veo por
qué va. Trata de localizar la razón profunda del éxito de tu estrategia.
Con los ojos cerrados. Mira a
ver si con la luz que ya tienes encuentras otra estrategia, otra solución más
simple.
Ahora veo la astucia de
las reglas. Trata de entender, a la luz de tu solución, qué lugar ocupan las
condiciones y reglas del juego.
Además con esto gano a aquel otro juego. Mira si otros
juegos semejantes funcionan también con el mismo principio que has encontrado.
Me hago otro juego... y lo
patento. Constrúyete un juego semejante al que has resuelto modificando sus
piezas o sus reglas y mira si tu principio vale aquí también.
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A continuación trataré de ilustrar
algunas de las observaciones anteriores con juegos concretos.
¿Cómo marchaba aquél?
Un pastor, con una col, una oveja y un lobo (se supone que
hasta cierto punto amaestrado) se encuentra a la orilla de un río que quiere
atravesar. Hay en su orilla una barca en la que cabe él y una sola de sus
pertenencias al tiempo. ¿Cómo se las ingeniará para pasarlas todas? Si deja
solas a un lado oveja y col, ésta será liquidada rápidamente por la oveja. Si
deja oveja y lobo solos a un lado, el lobo se zampará a la oveja. En cambio al
lobo no le atrae nada la col y bien se puede quedar solo con ella.
El problema es clásico y fácil de resolver sin grandes
esfuerzos sistemáticos. Pero existe una solución sencilla acudiendo, como sucede
en muchas ocasiones en que se trata de realizar secuencialmente un conjunto de
tareas, a la teoría de grafos.
Apuntamos las posibles
situaciones de las pertenencias del pastor en la orilla inicial I sin que le
desaparezca nada. Así
A continuación señalamos con una
flecha los posibles pasos de una situación a otra según la regla del juego, es
decir que en la barce sólo pueden cruzar el pastor y una sola de sus
pertenencias. Así se obtiene el grafo que sigue.
Nuestro problema ahora consiste en
hallar un camino de flechas desde POCL hasta Nada. En el cuadro es evidente que
hay solamente dos posibilidades
(1) POCL - LC - L - PLO - O - Nada
(2) POCL - LC - C - PCO - O - Nada
La interpretación de las
operaciones que el pastor ha de hacer es clara.
Cualquiera que haya visto esta solución y se enfrente
ahora con el también clásico problema de los dos maridos celosos, tendrá muy
claro cómo debe de proceder. El problema consiste en resolver la dificultad con
que se encuentran dos maridos A,B que llegan con sus respectivas esposas a, b a
la orilla de u río que quieren cruzar. Hay una barca en la que solo caben dos
personas al tiempo. El problema sería más fácil si no fuera porque los dos
maridos son tan celosos queno pueden sufrir que la esposa esté ni un momento en
compañía de otro hombre sin estar él delante. ¿Cómo podrán arreglárselas?
Escribimos como antes las distintas situaciones posibles y
unimos con una flecha aquellas que son alcanzables desde otras según ls reglas.
Así
De esta forma no sólo podemos
encontrar una solución, sino que podemos obtenerlas todas y escoger la mejor, si
es que hay alguna mejor.
Empezar por lo fácil hace fácil lo
difícil.
En un tablero de ajedrez se tapan dos
cuadros de los extremos de una diagonal. Quedan 62 cuadros. Se tienen 31 fichas
de dominó o de papel, cada una capaz de cubrir dos cuadros contiguos. Se pide
colocar, si se puede, las fichas de dominó de modo que cubran exactamente los 62
cuadros del tablero.
Si empezamos por colocar fichas al
buen tuntún, sin pensar un poco antes, pronto nos encontraremos en un buen lío,
porque aquí se puede efectivamente empezar a hacer cosas sin sistema y llegar
bastante lejos cubriendo el tablero. Pero nuestros intentos sucesivos van
fracasando y aconsejándonos que recapacitemos...
El
tablero es grande, hay muchas posibilidades. ¿Y si nos construímos uno más
modesto e intentamos allí un problema semejante? Tal vez el tablero 2x2, 3x3,
4x4,... En el tablero 2x2 pronto nos damos cuenta de que lo que se pide es
imposible sin partir en dos una ficha. Los dos cuadros que quedan están en una
diagonal y no hay forma de cubrirlos con una ficha de dominó. En el tablero 3x3
el juego no tiene sentido, pues si se cubren 2 cuadros, quedan 7 que no pueden
ser cubiertos ni con tres fichas ni con cuatro exactamente. En el tablero 4x4 no
existe este problema, pero la experiencia del tablero 2x2 nos puede hacer pensar
en la imposibilidad aquí también... ¡Sí! En el de 4x4 se quitan dos cuadros de
una diagonal, dos cuadros por tanto del mismo color, como sucedía en el de 2x2.
Quedan 8 cuadros de un color y 6 del otro. Pero una ficha de dominó bien
colocada cubre necesariamente un cuadro blanco y otro negro... Así es imposible
cubrir el tablero. Y esto mismo sucede en el caso 8x8, 10x10,.. Además esto va a
suceder siempre que quitemos dos cuadros del mismo color.
Este
principio de empezar por lo fácil es de amplia
aplicación. Las dificultades provienen a menudo de la complejidad de la
estructura que nos encubre los rasgos básicos. Estos quedan muy a menudo más
claros en un problema semejante más sencillo. Descubierto aquí el principio,
éste puede ser aplicado al caso más complicado. La dificultad puede consistir en
encontrar un problema más sencillo que el propuesto que, con todo, conserve sus
rasgos fundamentales.
Otras veces la solución del
problema sencillo es útil, no sólo porque revele un principio que puede ser
utilizado para el problema original, sino porque constituye una parte, un
escalón en el que nos podemos apoyar para resolver el problema inicial.
En el conocido problema de los 15 se tiene un cuadrado 4x4
en el que se pueden deslizar 15 cuadraditos 1x1 numerados del 1 al 15 utilizando
el hueco restante. Se presenta el cuadrado con los números desordenados.
Se pide colocarlos en orden con el hueco en la esquina del
SE, es decir
Al acudir a un problema
más sencillo, por ejemplo un cuadrado 2x2 con tres cuadraditos 1x1, se puede uno
percatar fácilmente de que el problema propuesto es a veces insoluble y trivial
cuando es soluble. Si acudimos al problema semejante de un rectángulo 3x2 con
cinco piezas
podemos
encontrar fácilmente una estrategia para resolver aquí cualquier problema
soluble. Resuelto este problema ya tenemos una estrategia para el original de
los 15, observando que en tablero de los 15 podemos dejar fijas todas las fichas
excepto las de un rectángulo 3x2 o 2x3 en el que colocamos el hueco y con esta
flexibilidad resolvemos fácilmente cualquier problema soluble. ¿Sabrías
determinar cuáles son los problemas solubles y los insolubles?
Supongamos el problema resuelto.
Se dan las siguiente figuras A y B
¿Puedes trazarlas sin levantar el lápiz del papel, sin
repetir dos líneas y saliendo y terminando en un mismo vértice?
Las dos figuras se pueden trazar sin levantar el lápiz del
papel, pero A parece resistirse más a un camino que termina en el punto de
partida. ¿Por qué? Supongamos que en A hubiese tal camino, es decir, supongamos
el problema resuelto. Entonces, cada vez que llegamos a un vértice de paso en
nuestro camino (no inicial ni final), salimos de él por una línea distinta no
recorrida antes. Así cada vértice de paso tiene que tener un número par de arcos
que concurren en él. También en el vértice de salida tienen que concurrir un
número par de arcos, el arco de salida, el arco de llegada y el número par de
arcos correspondientes a los pasos por él. Como A tiene los dos vértices de
abajo con tres líneas concurrentes en cada una de ellos, el trazado pedido es
imposible.
Me hago un esquema, me lo pinto en
colores, me escribo una ecuación....
Una forma
adecuada de representación de un juego puede dar un método para resolverlo y
para resolver al tiempo muchos otros semejantes.
De
entre los problemas clásicos de Bachet, tal vez los más conocidos son los
relativos a medidas. Consideremos el siguiente: Se tienen junto a una fuente una
medida de 7 litros y otra de 11. Pero nosotros necesitamos medir exactamente dos
litros. ¿Cómo?
Existe una representación gráfica muy
útil en los problemas de este tipo.
Las coordenadas horizontales indican la situación del
recipiente de 11 litros. Las verticales la situación del de 7 litros. Las
flechas horizontales hacia el E indican que se va llenando el recipiente de 11
litros, las oblicuas hacia el NO indican que del de 11 litros se va trasvasando
al de 7 litros. Las flechas verticales hacia el S indican que el de 7 se vacía
de lo que contiene.
La sucesión de operaciones queda
bien clara por el diagrama siguiendo las flechas desde la esquina SE hasta el
momento en que llegamos al otro punto gordo de la figura (el de 11 conteniendo 2
litros):
Se llena el de 11 (punto gordo de salida) y se
pasa todo lo que se puede al de 7 (línea NO). Se vacía el de 7 (linea hacia S).
Se echan los 4 que hay en el de 11 en el de 7 (línea NO). Se llena el de 11
(línea hacia E). Se trasvasa del de 11 al de 7, que contenía 4 (línea NO),
quedando 8 en el de 11...
Ya hemos visto también cómo
los problemas clásicos sobre cruces pueden tratarse con una gráfica adecuada.
También los problemas sobre pesas admiten un tratamiento semejante.
Veamos de nuevo... ¿Para qué son las reglas así? ¿Cuál es
la mala o buena idea detrás de ellas?
Escribe, sin
que yo lo vea, un número de tres cibras abc. Repítelas y forma el número de 6
cifras abcabc. Divídelo por 7. Divide el resultado por abc. Divide el resultado
por 11. Lo que te resulta es 13.
Si alguien te hace el
jueguecito y no lo conoces, te deja un poco perplejo. Para salir de tu sorpresa,
sigue la receta de arriba. El número abcabc se puede dividir por 7, por 11, por
13, es decir por 7x11x13=1001. Además abcabc es divisible por abc...¿Quién es
abcabc? ¿Qué tiene que ver con el número 1001?... Fácil: abcabc=abcx1001+abc=
abcx1001. Ahora sí que está clara la cosa. ¿Podrías inventar un juego parecido
con el mismo principio?
Muchos de los puzzles de
alambres y cuerdas llevan en su misma estructura la pista adecuada para dar con
la solución. Por ejemplo el siguiente de las guindas:
Las dos cuerdas están unidas por una cuerda. El
rectángulo es de papel con los tres cortes indicados A, B, C. Las guindas son
muy grandes para pasar por C sin romper el papel. ¿Cómo separar las guindas del
papel?
No sólo sé que va, sino que veo por qué va.
El juego de Nim consiste en lo siguiente. Se ponen tres
montones de piedrecillas, uno con 3, otro con 4, otro con 5. Juegan dos
jugadores A y B. El primero en jugar, A, puede quitar tantas piedras como quiera
(siempre una o más) de uno sólo de los tres montones. Luego juega B del mismo
modo. Gana quien se lleve la última piedra.
Tal vez te
haya contado alguien la estrategia infalible que tiene A. Se ponen en sistema
binario los números de piedras de cada montón. Al empezar estos son
3------------- 1 1
4------------- 1 0 0
5------------- 1 0 1
La estrategia consiste en
quitar las piedras que haga falta del montón adecuado para que losunos de cada
columna de losnúmeros en sistema binario sumen un número par. Así, aquí se
pueden quitar dos piedras del montón de 3 y queda
1------------- 1
4------------- 1 0 0
5------------- 1 0 1
El primer jugador gana
necesariamente siguiendo esta misma estrategia cada vez que le toque jugar.
¿Te has parado a pensar alguna vez por qué marcha? ¿Por qué
A puede llevar a cabo su estrategia haga B lo que haga? ¿Y si los montones
tienen números de piedras diferentes a 3, 4, 5?
Si lo
averiguas no te será difícil tal vez dar con la estrategia del juego de Moore,
que es como el de Nim, pero pudiendo quitar las piedras que se quiera (siempre
una o más) de uno o dos montones en cada turno.
Con los ojos cerrados.
Consideremos ahora el juego siguiente con un montón de 40 piedras. Los jugadores
A puede quitar 1,2,3,4, ó 5 piedras a su antojo. Luego B puede quitar así mismo
1,2,3,4, ó 5 piedras. Ahora le toca a A. Gana quien se lleve la última.
La estrategia de A consiste en dejar, siempre que no se
pueda llevar todas la piedras que quedn, un número de piedras que sea multiplo
de 6. Es claro que así B no puede ganar, y como gana alguien seguro, tiene que
ser A quien gane. Una vez que A conoce la estrategia, no le hace falta hacer
cuentas más que la primera vez que juega, en que quita 4 piedras, dejando 36. A
partir de entonces su táctica es sencilla: si B quita m, A quita 6-m.
Y
además, con esto gano a aquel otro juego...
En un
tablero de ajedrez se señalan dos cuadros A y B. ¿Es posible pasearse con una
torre por todo el tablero comenzando en A y terminando en B? Recordemos que la
torre se mueve horizontal y verticalmente, nunca en oblicuo.
Por supuesto que uno piensa enseguida en lugar a lo mismo
en un tablero más pequeño, como en el juego del ajedrez recortado que hemos
visto antes y así resulta fácilmente que a veces, por ejemplo en un tablero 2x2
con A y B en dos esquina diagonalmente opuestas el paseo propuesto es imposible.
Asímismo, quien conozca el uso que en el otro juego hemos hecho de los colores,
puede pensar rápidamente en aplicar el mismo principio aquí. Si A y B son del
mismo color, blanco por ejemplo, el paseo es imposible en el tablero 8x8. En
efecto la torre va recorriendo sucesivamente blanco, negro, blanco, negro,...
Así si el paseo terminase en blanco, el número de cuadros sería impar. En cambio
será imposible el paseo en un tablero con un número impar de cuadros si A y B
son de distinto color y también si son del mismo color si es que este color es
el m´s escaso en el tablero. ¿Podrías dar con un teorema general y una
estrategia para hacer el paseo siempre que se pueda?.
B. Directrices temáticas para el uso de los
Juegos.
Me ha parecido de interés elaborar un
segundo esquema de utilización de juegos que, pienso, puede parecer a muchos más
directamente aprovechable. En él trataré de señalar mediante ejemplos concretos
cómo diversos temas y actitudes quenos ocupan en nuestra enseñanza a todos los
niveles pueden ser motivados, ilustrados y enriquecidos mediante el uso de
juegos. La disposición de este esquema será presentada alrededor de unas cuantas
actitudes y núcleos temáticos propios de la actividad matemática. El campo es
enormemente rico. Pienso que sería muy útil una experimentación sistemática y de
equipo con estos y otros elementos para averiguar el valor efectivo de estas
ideas a fin de comunicar los temas y actitudes deseadas.
Bajo
cada epígrafe concreto menciono algunos juegos que, en mi opinión, pueden ayudar
adecuadamente a mejor ponerlo de relieve. Ante la imosibilidad de exponer aquí
el juego por extenso he optado por indicar algún lugar, lo más asequible
posible, en la literatura actual donde se puede acudir para obtener información
detallada. La mayor parte de las referencias que doy se encuentran en los libros
de Martin Gardner. Este ha publicado hasta el presente ocho antologías de las
mejores de sus contribuciones en Scientific
American. Estas antologías serán citadas de la forma Gardner 1, Gardner 6,
etc. Y en la bibliografía presentada en la tercera parte de mi trabajo se puede
ver el título y referencia exacta. De las antologías de Gardner han sido
traducidas al castellano, en Alianza Editorial, 3, 4, 7, 8, y también han sido
publicados en castellano por Labor los dos libros suyos "Inspiración. ¡Ajá!
Paradojas". Las otras referencias que daré, serán indicadas por completo en el
lugar en que aparecen, o se pueden localizar fácilmente en la bibliografía que
presento en la tercera parte.
1. SORPRESAS MATEMÁTICAS.
"Por la
admiración comenzó el hombre a filosofar", dijo Aristóteles, y la admiración y
la sorpresa y la curiosidad siguen contándose entre los elementos motivadores
más fuertes de nuestra actividad intelectual. Cualquiera denosotros que explore
un poco en el origen de nuestro interés por las matemáticas encontrará sin duda
instantes de sorpresa y admiración ante ciertos hechos matemáticos que nos han
llamado poderosamente la atención. Los hay a todos los niveles, elementales,
menos elementales, simples, más sofisticados,... En la enseñanza la motivación
es el motor esencial. ¿Por qué no apoyarnos en los elementos más adecuados para
ponerlo en marcha con energía? Incluso cuando se trata de hechos que no pueden
ser explicados plenamente, estos pueden presentar aspectos de misterio que
motiva fuertemente el interés por saber más para desvelarlo plenamente.
Dentro
de lo que constituye el contenido matemático propiamente dicho, existen multitud
de hechos con carácter de sorpresa. He aquí algunos:
1.1. Las tres mediatrices
de los lados de un triángulo concurren; las tres alturas también; las tres
bisectrices también.
1.2. Teorema de Desargues; teorema
del hexagrama místico de Pascal (Guzman, Mirar y Ver, Cap.7).
1.3. Teorema de Steiner: Se dan dos círculos E, I, uno, I,
interior al otro, E. Se traza un círculo C1,
tangente a los dos, luego otro C2, tangente a
C1, E, I, luego otro C3, tangente a C2, E,
I, y así hasta Cn, tangente a Cn-1, E, I. Supongamos que al hacerlo resulta además
que Cn es tangente a C1*, obtenemos asímismo una cadena C1*,C2*,..., Cn* tangente a C1*.
(La demostración resulta fácil mediante una inversión que transforme E, I, en
círculos concéntricos).
1.4. Teorema de Poncelet: Se
dan dos círculos E, I, con I interior a E. Se traza una secante S0,S1 en E que sea
tagente a I, luego otra distinta S1S2 asímismo tangente a I,... hasta obtener Sn-1Sn. Supongamos que
Sn coincide son S0. Entonces si repetimos la
operación con otro S0* inicial, obtenemos una
cadena de secantes S0*S1*,S1*S2*,..., Sn-1*Sn*, y resulta también que Sn* coincide con S0*.
(Apesar de la semejanza con el teorema de Steiner, el modo de demostración es
distinto. Este es un hecho importante en la historia de la geometría algebraica)
(Schoenberg I.J., Mathematical Time Exposures, The Mathematical Association of
America, Washington D.C., 1982; Cap.14).
1.5. Si tres
círculos del plano son tangentes dos a dos, existe un cuarto círculo tangente a
los tres (Fácil por inversión).
1.6. El collar de las
seis perlas. Se tienen tres esferas tangentes dos a dos exteriormente. Se
comienza a ponerles un collar de perlas eféricas de distinto tamaño en general
del siguiente modo. Primero se traza una esfera cualquiera E1 tangente exteriormente a las tres (hay
muchas). Luego trazamos otra E2 tangente
exteriormente a las tres y a E1(sólo hay una).
Continuamos con otra E3 tangente a las tres y a
E2. Etc... Entonces, sea cual sea E1, siempre este collar se cierra con E6 tangente a E1
(Demostración fácil por inversión).
1.7. Hay infinitos
números primos.
1.8. Proceso diagonal de Cantor. El
conjunto de palabras infinitas de dos letras no es numerable. El conjunto de los
números reales no es numerable.
1.9. Es posible hacer
una partición de un cuadrado en cuadrados desiguales más pequeños (Gardner 2,
Cap. 17). En cambio es imposible hacer una partición de un cubo en un número
finito de cubos desiguales más pequeños (Gardner 6, Cap. 21).
2. CUENTOS CON
CUENTAS.
Existen constelaciones de hechos
matemáticos que se prestan para hacer de ellos una novela bien interesante. Me
pregunto si el tiempo malgastado en muchos de nuestros rollos magistrales en los
que tanto abundamos los profesores de matemáticas de todos los niveles no podría
invertirse con gran provecho en contar pausadamente alguna de estas historias
apasionantes del pensamiento humano. He aquí algunos temas:
2.1. El ábaco (Gardner 4,
Cap.18).
2.2. Sección áurea, sucesión de Fibonacci,
etc...(Gardner 4, Cap. 13);(Gardner 2, Cap.8).
2.3.
Triangulo de Pascal (Gardner 7, Cap.15).
2.4. El número
Pi (Gardner 3, Cap. 8).
2.5. El teorema de los cuatro
colores (Guzmán, Cuentos con Cuentas; Gardner 3, Cap.10).
2.6. Propiedades de la elipse (Guzmán, Cuentos con
cuentas).
2.7. Hélice (Gardner 6, Cap.1).
2.8. Grafos (Gardner 6, Cap. 10; Ore, O. Graphs and their
Uses, NML the Mathematical Association of America, Washington D.C., 1963).
2.9. Cicloide (Gardner 6, Cap. 13).
2.10. Propiedades del retículo de enteros (Guzmán, Mirar y
Ver, Cap.1).
2.11. Convexos, teorema de Helly,
Minkowski,...(Guzmán, Mirar y Ver, Cap 3,4,5).
2.12.
Teorema del punto fijo y aplicaciones (Guzmán, Mirar y Ver, Cap. 8, 9).
2.13. Banda de Möbius (Gardner 8, Cap. 8; Gardner 1, Cap
7).
3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
Existen muchos juegos cuya base o cuya estrategia se encuentra en una adecuada
utilización de diferentes sistemas de numeración.
3.1. Nim (Guzman, Cuentos
con Cuentas).
3.2. Averiguar un número mediante
tarjetas basadas en el sistema binario (Gardner3, Cap. 1; Guzmán, Nuestra
Escuela, Octubre 1984).
3.3. Las torres de Hanoi y el
juego icosiano (Gardner 1, Cap. 6).
3.4. Uso del
sistema ternario en juegos (Gardner 6, Cap. 11).
4. CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD.
Los libros clásicos de Rouse Ball,
Dudeney, Schuh, Kraitchik,... contiene muchos juegos basados en diferentes
propiedades aritméticas.
4.1. Escribe un número cualquiera. Multiplicalo por 9.
Tacha una cifra cualquiera distinta de 0. Dime lo que suman las restantes y yo
te diré qué cifra es la tachada. (Fácil: Criterio de divisibilidad por 9).
4.2. El computador me ha escrito 15! por extenso, pero hay
una cifra que no puedo leer. ¿Puedes decirme cómo averiguar rápidamente cuál
es?. (Fácil: Divisibilidad por 9 y por 11).
4.3.
Averigua una estrategia par el siguiente juego. Dos jugadores A y B con un
montón de piedrecillas. Juega A quitando 1 y 6. Juega B quitando de las que
quedan entre 1 y 6,... Gana quien se lleva la última. (Otro juego: gana quien no
se lleva la última)(La estrategia para el primer juego es dejar un número de
piedras múltiplo de 7).
4.4. Escribe un número de tres
cifras abc. Repítelas para formar uno de 6 abcabc. Divide por 7, divide lo que
queda por abc, divide por 11. Te resulta 13.
5. INDUCCION.
5.1. Torres de Hanoi. ¿Cuál es el número mínimo de
movimientos? (Gardner 1, Cap.6).
5.2. Teorema de Euler
C+V=A+2 (Guzmán, Cuentos con Cuentas).
5.3. Los puentes
de Köngsberg (Guzmán, Mirar y Ver; Guzman, Cuentos con Cuentas).
5.4. Lema de Sperner (Guzmán, Mirar y Ver, Cap.7).
5.5. Falsa inducción: Rana Saltarina (Guzmán, Cuentos con
Cuentas).
6.
CONTAR SIN CONTAR.
Una gran porción de la matemática se
reduce a encontrar trucos para obtener información cuantitativa de una situación
dada de la forma más sencilla posible. Hay unos cuantos de ellos que, a pesar de
su aparente trivialidad conducen a resultados verdaderamente profundos.
6.1. Principio de
Dirichlet: Un palomar tiene 16 agujeros. Una bandada de 17 palomas se cuela en
él. ¿Puedes sacar alguna conclusión interesante?
6.2.
En cualquier momento dado hay en Madrid más de 20 personas con exactamente el
mismo número de pelos en su cabellera (Hazte un palomar con 150.000 agujeros,
número de pelos que como mucho soporta un mortal en su cabeza, y vete metiendo a
cada madrileño en el agujero correspondiente a su número de pelos).
6.3. Teorema de Ramsey (versión sencilla): Se señalan 6
puntos sobre una circunferencia. Se trazan todos los segmentos que unen cada par
de ellos. Se colorean de rojo o verde. Entonces, lo hagas como lo hagas, te
encontrarás con que algún triángulo de los formados por estos segmentos tiene
los tres lados del mismo color (Guzman, Contar, Nuestra Escuela, octrubre 1984).
6.4. Juegos de cartas con un principio aritmético
(Guzmán, Contar, Nuestra Escuela, Octubre 1984; Gardner 1, Cap. 10).
6.5. Un truco topológico. Pinta un circuito cerrado con
cruces todo lo complicado que quieras, como este, sin que yo lo vea. Que no haya
cruces triples, cuádruples,...
Pon a cada punto de cruce una letra a tu antojo. Ahora
recorre el circuito y vas diciéndome las letras. Cuando tú quieras cambias una
vez las letras sucesivas para engañarme. Por ejemplo, en el de arriba me dices
MARBSUAMUBPSRP
y te adivino cuál es el cambiazo que me has dado (Me basta
escribir las otras a medida que me las das una ariba y otra abajo de una raya,
así
MRSAUPR
ABUMBSP
al observar que
cada una está una vez arriba y otra abajo excepto las cambiadas R y B. Has
cambiado B por R) (Gardner 3, Cap. 9).
6.6. La historia
del pequeño Gauss. El maestro manda a su clase hallar la suma de los 100
primeros números. Quería tranquilidad para un rato largo. Gauss escribe
inmediatamente algo así
S = 1
+ 2 + 3 +
.............................+ 98 + 99 + 100
S = 100
+ 99 + 98 + .............................+ 3
+ 2 + 1
2S=
101 + 101 + 101+ ..............................+
101+101+101 = S 50x101 = 5050
7. DEDUCCION LOGICA.
El
esqueleto de las matemáticas está compuesto por unos cuantos axiomas que se
manipulan mediante el mecanismo raciocinante del hombre. Está bien que se sepa y
que se ejerciten nuestros alumnos en la deducción, pero tratando al mismo tiempo
de estimular los otros muchos aspectos de la matemática, intuición espacial,
intuición numérica, imaginación, fantasía, actividad aventurera,...
7.1. ¿Podrías construirte
un cuadrado mágico 2x2? ¿Uno 3x3? Busca estrategias para construir cuadrados
mágicos (Garner 1, Cap. 2; Rouse Ball, Cap. 7).
7.2.
Diseña una estrategia para jugar bien al Tres en Raya.
7.3. Un monje budista sale de su templo a las 5´30 de la
mañana por una vereda hacia la cumbre de una montaña, donde llega por la tarde.
Allí se queda durante toda la noche y a las 5´30 del día siguiente inicia el
descenso por la misma vereda. Trata de demostrar que en el descenso ha estado en
algún mismo punto del camino exactamente a la misma hora que el día anterior
(Gardner 3, Cap. 20, Prob.4).
7.4. Toma dos alambres de
la misma longitud, rectos. Uno lo pliegas como y cuantas veces quieras. Lo
colocas luego doblado sobre el otro de modo queno sobresalga. Entonces, lo hagas
como lo hagas hay un punto del alambre doblado que está donde estaba antes de
empezar a plegar (Usa el teorema de Bolzano que dice esencialmente que si
quieres cruzar un río y no tienes ni puente ni barca, tendrás que mojarte).
8.
ELEMENTAL, QUERIDO WATSON.
He aquí algunos problemitas elementales
que pueden servir para ejercitar el arte de resolver problemas de acuerdo con
las normas heurísticas dadas anteriormente.
8.1. Sin trigonometría, sólo con geometría elemental,
demostrar que en la figura
se tiene C=A+B
Solución:
Observa con atención la figura siguiente
8.2 Las dos rectas señaladas en la figura de abajo cortan
al cuadrado en tres partes de igual área. ¿Cómo cortan a los lados? Sin hacer
cuentas.
Basta observar la figura auxiliar siguiente con los
segmentos adicionales que se han trazado dividiendo las áreas señaladas en dos
partes iguales. Con ello es claro que las rectas originales van a parar a 1/3
del vértice opuesto.
8.3. En el interior de un círculo
se da un millón de puntos. Demostrar que existe una recta que deja 500.000
puntos a cada lado. (Gardner 7, Cap, Prob.8).
8.4.
Teoremas geométricos obtenidos cortando y doblando papel (Gardner 3, Cap.5;
Donovan J., Matemáticas más fáciles con manualidades de papel, Distein, Madrid,
1975).
8.5. Tres Círculos del mismo radio R pasan por
un punto. Demostrar que los otros tres puntos de intersección de los círculos
determinan otro círculo del mismo radio R. (Polya, Mathematical Discovery,
Wiley, New York, 1962).
9. SIMETRIA.
La
utilización de la simetría es técnica muy frecuente en matemáticas... y en
juegos. He aquí algunos ejemplos.
9.1. En el juego de Hex se puede demostrar que el segundo
jugador no puede tener una estrategia para ganar (Gardner 1, Cap. 8).
9.2. Consideramos el siguiente juego para dos jugadores A y
B, en el tablero de ajedrez con 32 rectángulos de papel, cada uno capaz de
cubrir dos cuadros del tablero. Juega A colocando un rectángulo donde quiera,
cubriendo dos cuadrados. Luego juega B cubriendo otros dos cuadros no cubiertos.
Luego A... Pierde el primero que no pueda colocar un rectángulo que cubra dos
cuadros. ¿Sabrías dar con una estrategia pra alguno de los dos jugadores que le
permita ganar siempre? (Fácil: Simetría) ¿Cómo cambian las cosas si juegan en un
tablero 8x7,..?
9.3. Para construir cuadrados mágicos
impares hay una técnica muy sencilla y fácilmente memorizable. Se amplía el
cuadro, p.e. 5x5, como se indica en la figura, con las pirámides que he señalado
A continuación se colocan los números oblicuamente,
como lo he hecho arriba. Luego la pirámide superior se desliza hasta abajo del
cuadro donde encaja perfectamente. Análogamente se procede con las otras
pirámides. Así se obtiene un cuadro mágico 5x5
¿Sabrias demostrar por qué sale siempre bien? (Estudia
la simetría de la disposición inicial y a dónde va a parar cada número después).
9.4. Se considera la siguiente figura
Los tres círculos
tienen el mismo radio y cada uno pasa por el centro de los otros dos. ¿Podrías
determinar si la zona rayada mide más o menos que 1/4 del área del círculo? Sin
cálculos. (Gardner 4, Cap. 15, Prob. 4).
9.5. En un
billar ¿cómo llegar con una bola a otra sin efectos después de dos reflexiones
sobre dos bandas? (Se halla el simétrico del punto de destino con respecto a la
última banda, luego el simétrico de este punto con respecto a la primera banda
que hay que tocar y este punto se une con el de partida, determinando así el
comienzo de la trayectoria).
9.6. El problema de la
araña y la mosca. Una araña en el interior de un vaso cilíndrico quiere llegar
lo más rápidamente posible a una apetitosa mosca que está en el interior del
vaso. ¿Le puedes indicar el recorrido que debe seguir? (Desenrrolla el cilindro
y lo tendrás casi resuelto). ¿ Y si sustituimos el vaso cilíndrico por una caja
de zapatos? ¿Cómo resuelves ahora el mismo problema?.
9.7. ¿Cómo construir el triángulo de perímetro mínimo
inscrito en un triangulo dado con un vértice en cada lado de él? (Guzman, Mirar
y Ver, Cap. 7).
10.
HAZTE UN DIBUJO.
Un dibujo, un esquema, algún tipo de
representación adecuada, pueden ayudar extraordinariamente a aclarar las cosas,
permitiendo ver mejor los rasgos esenciales, tener los datos pertinentes a mano,
etc... Por eso es natural que los grafos sean un instrumento utilísimo en tantos
juegos y problemas, tanto de la matemática como de la vida real. Ya hemos visto
el uso de algunos en la sección heurística. He aquí alguno más.
10.1. Las veintiocho fichas
de dominó se pueden colocar en hilera de acuerdo con las reglas del juego...
¡Faltaría más! ¿Puedes hacerlo si quitas las 7 fichas que tienen seis puntos?
(Gardner 4, Cap. 12).
10.2. Solucción del puzzle de los
4 cubos de colores "Locura Instantánea" (Berlekamp y otros, Winning Ways vol.
2., p. 784).
10.3. Diversos juegos con grafos. (Gardner
6, Cap. 10; Ore, 0., Graphs ..their Uses, The Mathematical Association of
America, Washington D.C. 1963).
11. UTILIZACIÓN DE COLORES.
11.1. Ajedrez recortado
(ya citado antes) (Guzmán, Cuentos con Cuentas).
11.2.
Paseos con las torres comenzando en un cierto cuadro y terminando en otro
prefijado. (Ver esquema heurístico).
11.3.
Imposibilidad de un paseo hamiltoniano por los vértices del rombo dodecaedro.
(Se colorean los vértices de la malla plana equivalente a la malla de vértices
del rombododecaedro).
11.4. Paseo del caballo por el
tablero de ajedrez, un problema famoso que ocupó, entre otros a Euler. (Gardner
8, Cap. 13).
11.5. Un cubo de madera 3x3 está dividido
en 27 cubitos 1x1 de la forma natural. Una termita desea penetrar hasta el
cubito central después de horadar todos los demás cubitos desde el exterior,
comenzando por el centro de alguna cara exterior de un cubito ymoviéndose
paralelamente a los ejes del cubo grande, pasando siempre de un cubito a otro a
través del centro de una cara común. ¿Lo podrá hacer? ¿Cómo? (Gardner 3, Cap.
12, Prob 9).
11.6. En el tablero siguiente
juegan D y P. El jugador D juega con un duro que sale
de D y el jugador P con una peseta que sale de P. Los jugadores s emueven
alternativamente por las rutas señaladas, empezando C. El jugador D trata de
cazar a P y gana si lo consigue en 6 o menos turnos. Si no lo ha conseguido
despues de 6 turnos, pierde. (Gardner 6, Cap. 19, Prob. 3).
12. COMENZAR POR LO FACIL AYUDA A RESOLVER LO DIFICIL.
Este
es un principio importante en heurística que ya hemos tratado antes y que
fácilmente se olvida. Además de los ejemplos que vimos en el primer esquema,
mencionaré aquí rápidamente algunos más.
12.1. Puentes de Königsberg (Guzmán, Cuentos con Cuentas).
12.2. Rana Saltarina (Guzmán, Cuentos con Cuentas).
12.3. El ejemplo de 10.1. sobre el dominó es también
utilizable en este contexto. Comienza con un dominó con fichas que solo tengan,
por ejemplo 0, 1, 2, 3 puntos en sus caras.
13. PIENSA AL REVES. SUPONGAMOS
EL PROBLEMA RESUELTO.
Otro principio heurístico del que ya
hemos visto antes algún ejemplo.
13.1. El reparto de cartas interrumpido (Gardner 8, Cap.
14. Prob. 1).
13.2. ¿Qué situación es más verosímil
después de repartir las cartas en el bridge: que entre tú y tu compañero tengais
todos los tréboles o que entre tú y él no tengais ninguno? (Gardner 8, Cap. 9,
Prob. 25).
14. SOLITARIOS MATEMATICOS.
Existen muchos solitarios con un claro contenido matemático. Periódicamente,
como cometas, salen de nuevo a la popularidad viejos solitarios inventados hace
siglos. De vez en cuando, como en nuestros días el cubo de Rubik, alguno acapara
totalmente la atención, los matemáticos escriben unos cuantos artículos sobre él
y sus variaciones y luego vuelve a dormirse en una discreta penumbra. Los
solitarios tienen aplicaciones pedagógicas, por supuesto, pero también las
tienen psicoterapéuticas y no está mal que los profesores de matemáticas nos
aprovechemos de unas y otras tanto para nosotros mismos como para nuestros
alumnos. He aquí unos cuantos solitarios curiosos. Prácticamente todos los
solitarios tradicionales tratables matemáticamente y otros muchos de reciente
invención son discudos en: Berlekamp y otros, Winning Ways.
14.1. Tangram.
Probablemente el más antiguo de este tipo de solitarios (Gardner 2, Cap. 18;
Tangram, Labor, Barcelona, 1981).
14.2. El solitario de
la Bastilla. Enormemente popular desde el siglo 17 (Guzmán, Cuentos con
Cuentas).
14.3. El Juego de los 15, de Sam Loyd, que
hizo furor a principios de nuestro siglo y que ya hemos estudiado en parte antes
(Gardner 6, Cap. 7 junto con otros puzzles famosos).
14.4. Locura Instantánea (Gardner 3, Cap. 16; Gardner 8,
Cap. 15; Berlecamp y otros, Winnig Ways, vol. 2, p. 784).
14.5. Soma, el solitario famoso de Piet Hein (Gardner 2,
Cap.6).
14.6. Poliomino (Gardner 1, Cap. 13; Garner 3,
Cap. 13; Berlekamp y otros, Winning Ways, Cap.24).
14.7. El cubo de Rubik tiene mucha matemática en sus
aristas, pero no se presta mucho a un tratamiento elemental. Una solución
asequible en tres páginas bien claras puede verse en : Berlekamp y otros,
Winning Ways, vol. 2, p. 764-766).
14.8. El juego de la
vida, adecuado para explotar el comportamiento de autómatas autorreproductores
(Berlekamp y otros, Winning Ways, Cap. 25).
15. PARTIDOS MATEMÁTICOS.
A lo
largo de lo ya expuesto hemos tenido ocasión de ver algunos juegos interesantes
para dos jugadores, como el Nim, el Hex,... Los juegos tradicionales con sabor
matemático abundan y se van creando muchos nuevos de gran interés, basados en
principios nuevos. Pienso que el tratamiento más completo de juegos matemáticos
se puede encontrar en la reciente obra de Berlekamp, Conway y Guy, Winning Ways,
que ya he citado varias veces. He entresacado aquí algunos de ellos indicando
también alguna otra referencia más asequible.
15.1. Tres en Raya (Gardner 1, Cap. 4).
15.2. Nim y variaciones (Guzmán, Cuentos y Cuentas; Gardner
1, Cap. 15).
15.3. Ceros y Cruces, el clásico juego
sobre una cuadrícula completando cuadros (Berlekamp y otros, Winning Ways, Cap.
16).
15.4. Go, un antiguo juego oriental de reglas muy
sencillas y de gran riqueza estratégica. Durante algún tiempo fue asignatura
obligatoria en las academias de preparación militar en Japón. (Berlekamp y
otros, Cap. 19). Es interesante sber que, como en el ajedrez, no se conoce
estrategia completa.
15.5. Otelo, también llamado
Reversi, otro juego de reglas muy sencillas sin estrategia matemática conocida.
(Gardner 3, Cap. 6).
15.6. Juegos topológicos: Gale,
Bridgit...(Gardner 3, Cap. 19; Gardner1, Cap. 7).
15.7.
Hex (Gardner 1, Cap.8).
15.8. El juego militar, un
clásico juego de acorralamiento parecido al de los gatos y el ratón sobre un
tablero como el de abajo (Gardner 6, Cap. 5, donde se pueden encontrar otros
juegos de tablero con estrategia.
16. ANALOGÍAS ESCONDIDAS.
Como
sucede enmatemáticas, existen a veces analogías insospechadas en los juegos que
uno se puede proponer, a veces incluso isomorfismos de estructura que permiten
analizar varios de un golpe. Ya hemos visto cómo algunos juegos y puzzles se
convierten, mediante un esquema, en un problema equivalente de teoría de grafos.
He aquí algún ejemplo más de juegos isomorfos.
16.1. El juego de Moser y el Tres en Raya (Gardner 7,
Cap. 16).
16.2. Juego de cartas equivalente al cuadrado
mágico 3x3 (Gardner 7, Cap. 16).
16.3. El juego
icosiano y las torres de Hanoi (Gardner 1, Cap. 6).
16.4. Problemas de medidas y de reflexión en un billar
(Gardner 6, Cap 4).
17. FALACIAS.
Las falacias tienen un gran valor
pedagógico. Euclides escribió un libro de falacias y aporías, los Pseudaria, que
probablemente utilizó con gran provecho en su enseñanza. Los clásicos en
recreaciones matemáticas suelen tener una sección dedicada a falacias.
Especialmente recomendables son las secciones de los capítulos 2 y 3 de Rouse
Ball, dedicadas a falacias aritméticas y geométricas.
17.1. Diversas falacias
aritméticas, topológicas,... (Gardner 1. Cap. 14)
17.2.
La siguiente falacia es muy antigua (Torricelli?) y viene a demostrar que el
principio de Cavalieri (mal interpretado) es falso. Consideramos los dos
triángulos de la figura, ABC y ABD, con BC=BD. Para cada de AB es claro que
MN=MP. Así por el principio de Cavalieri, el área de ABC es igual al de ABD.
18. FELIZ IDEA.
En la
resolución de juegos y acertijos, como en la resolución de problemas, a veces es
preciso que surja en nuestra mente lo que llamamos una feliz idea. Un concepto
nada fácil de definir. Para el experto es un método de trabajo lo que para el
novicio resulta una feliz idea, una especie de revelación divina que surge como
un relámpago en la oscuridad y nos deja ver claro el camino a seguir. El examen
de muchas felices ideas puede abrir en nuestro espíritu cauces que hagan surgir
chispas semejantes en circunstancias parecidas. Por eso no es nada despreciable
esta labor preparatoria. Con este espíritu está escrito el estimulante y
agradable libro de Martin Gardner "Inspiración, ¡Ajá! ", que constituye toda una
antología de felices ideas en diferentes campos.
3. ALGUNAS INDICACIONES
BIBLIOGRÁFICAS.
(Las
referencias incluídas a continuación se leerán más claramente haciendo clic con
el botón derecho del ratón en la región de abajo para obtener la imagen que las
contiene aumentadas en otra página)
A continuación me
ha parecido bien indicar algunos libros que existen en castellano más o menos
útiles para la finalidad qeu he pretendido con este trabajo. Una bibliografía
general más extensa, orientada no exclusivamente hacia losjuegos matemáticos,
sino hacia obras adecuadas para proporcionar motivación y enriquecimiento
histórico, estético y lúdico de la enseñanza fue confeccionada por mi y
distribuida por el ICE de la Universidad Autónoma de Madrid en 1983 a raíz de un
cursillo sobre juegos matemáticos.
