[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
A prima vista possono sembrare errate
ma ciascuna di esse contiene un fondo di verità
"Un matematico è un congegno che serve a
trasformare il caffé in teoremi"
Paul Erdos
1. Che cos'è pi greco?
Matematico: - Pi greco è il rapporto fra la circonferenza di un cerchio
ed il suo diametro.
Fisico: - Pi greco è 3.1415927 più o meno 0.000000005.
Ingegnere : - Pi greco è circa 3.
(David Harr, Occidental College)
2. Tutti i cavalli sono dello stesso colore
Lemma: Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Dimostrazione (per induzione):
Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli di quell'insieme sono dello stesso colore.
Caso n=k: supponiamo di avere un insieme di k+1 cavalli. Togliamone uno dall'insieme così abbiamo k cavalli. Supponiamo inoltre che questi cavalli siano dello stesso colore. Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Supponiamo che anche in questo nuovo insieme i cavalli siano dello stesso colore. Allora possiamo dedurre che anche i k+1 cavalli sono dello stesso colore.
Abbiamo quindi che: se il lemma è vero per k lo è anche per k+1.
Quindi tutti i cavalli sono dello stesso colore.
C.V.D.
3. Tutti i cavalli hanno un numero infinito di zampe
(devo lasciarla in inglese perché si basa su un gioco di parole)
Theorem: All horses have an infinite number of legs.
Proof (by intimidation):
Everyone would agree that all horses have an even number of legs.
It is also well-known that horses have forelegs in front and two legs in back.
("forelegs" significa zampe anteriori ma suona come "four legs"
che significa 4 zampe)
4 + 2 = 6 legs, which is certainly an odd number of legs for a horse to have!
Now the only number that is both even and odd is infinity; therefore all horses
have an infinite number of legs.
However, suppose that there is a horse somewhere that does not have an infinite
number of legs. Well, that would be a horse of a different color; and by the
Lemma, it doesn't exist.
C.V.D.
(Jerry Weldon, Livermore Labs)
4. Tutti i numeri dispari sono primi
Ad alcuni studenti fu chiesto di dimostrare che:
tutti i numeri interi dispari sono primi.
Studente di matematica: - Ehmmmm... ci sono: 1 è primo, 3 è primo, 5 è primo,
perciò, per induzione abbiamo che tutti i numeri interi dispari sono primi.
Studente di fisica: - Non sono sicuro della validità della tua prova,
perciò penso che sia meglio fare un esperimento.
Bene, 1 è primo, 3 è primo, 5 è primo, 7 è primo, 9 è ... uh, 9 è un
errore sperimentale, 11 è primo, 13 è primo, ... OK, sembra che tu abbia
ragione.
Studente di ingegneria: - In realtà non sono sicuro delle vostre risposte. Vediamo... 1 è primo, 3 è primo, 5 è primo, 7 è primo, 9 è ... 9 è..., se approssimiamo 9 è primo, 11 è primo, 13 è primo, ... così va bene.
Studente di informatica: - Voi avete avuto l'idea giusta ma ci mettete troppo
a concludere. Io ho buttato giù un programma che funziona sul serio e
dimostrerà il teorema.
Lo studente si siede davanti al suo personal computer e lancia il programma.
Sullo schermo compare il seguente output: 1 è primo, 1 è primo, 1 è primo, 1
è primo, 1 è primo, 1 è primo, 1 è primo, ...
Desidero umilmente ricordare che 1 non è un numero primo.
5. Un gatto ha nove code
Teorema: un gatto ha nove code.
Dimostrazione (logica)
Avete mai visto un gatto con otto code? No? Perciò siamo tutti d'accordo che:
nessun gatto ha otto code.
Ma un gatto ha una coda in più di nessun gatto.
Perciò un gatto ha 8 + 1 = 9 code.
C.V.D.
(Arndt Jonasson)
6. Tutti i numeri interi sono uguali
Dimostrazione (per induzione)
E' sufficiente dimostrare che, per ogni coppia di interi positivi, a, b, si ha
che a = b.
Più precisamente, è sufficiente dimostrare che per ogni n>0, se a e b,
interi positivi, soddisfano l'uguaglianza (max(a,b) = n), allora a = b.
Procediamo per induzione.
Se n = 1, allora a, b, essendo interi positivi, devono essere entrambi 1.
Perciò a = b.
Assumiamo ora che il teorema sia valido per un k.
Prendiamo a, b con max(a,b) = k+1. Allora max(a-1,b-1) = k. Ma, per ipotesi
induttiva (a-1) = (b-1).
Di conseguenza a = b.
Keith Goldfarb
7. Quanto fa 2x2?
Alle menti più dotate del mondo venne posta la seguente domanda:
Quanto fa 2 x 2 ?
L'ingegnere tirò fuori il suo regolo calcolatore, lo fece scorrere avanti e indietro per un po', poi annunciò: 3.99.
Il fisico consultò alcuni manuali tecnici, impostò la domanda sul suo computer, poi annunciò: - E' compreso fra 3.98 e 4.02.
Il matematico ci pensò su per un po', ignaro del resto del mondo, poi annunciò: - Non so qual è la risposta, ma posso dire che esiste.
Il filosofo rispose subito: - Ma, cosa intendete con 2 x 2 ?
Il logico rispose: - Per favore, definite 2 x 2 con maggiore precisione.
Il contabile chiuse tutte le porte e le finestre, si guardò intorno con molta attenzione poi chiese, a bassa voce: - Quanto volete che faccia?
Lo hacker irruppe clandestinamente in un super computer della NASA e diede la risposta.
(Dave Horsfall, Alcatel-STC Australia, North Sydney)
8. Quante sono le valige?
Il grande matematico polacco Waclaw Sierpinski, giunto a tarda età, era
diventato alquanto smemorato e mentalmente assente.
Un giorno doveva partire per una vacanza. Sua moglie non si fidava molto delle
sue capacità, perciò quando si trovarono in strada con tutte le loro cose, gli
disse:
- Ora tu stai qui buono buono a sorvegliare le nostre dieci valige mentre io
vado a chiamare un taxi.
Lo lasciò solo con gli occhi vitrei e lo sguardo assente.
Tornò alcuni minuti più tardi. Il prof. Sierpinski, probabilmente con un lieve
scintillio negli occhi le disse:
- Credo di averti sentito dire che c'erano dieci valige ma io ne ho contato solo
nove.
- No, sono DIECI!
- No, prova a contarle: 0, 1, 2, 3, ...
(tradotto con varianti da Kai-Mikael, Royal Inst. of Technology, Stockholm,
SWEDEN)
9. Un caso limite
(Questa la lascio in inglese perché contiene un gioco di parole)
The limit as n goes to infinity of sin(x)/n is 6.
Proof: cancel the n in the numerator and denominator.
(si ottiene six)
(Micah Fogel, UC-Berkeley)
In italiano potrebbe essere tradotta così:
Il limite per n che tende ad infinito di sen(i)/n = 6.
Dimostrazione: eliminare n al numeratore ed al denominatore.
10. I coccodrilli sono più lunghi che larghi
Ma chi l'ha detto che la matematica non serve a niente nella vita? O peggio,
che non ha applicazioni pratiche?
Prendiamo, ad esempio, un quesito fondamentale: i coccodrilli sono più lunghi
che larghi, o più larghi che lunghi, o addirittura tanto larghi quanto lunghi?
Molti ingegneri morirono nel tentativo di rispondere a questa domanda con il
metodo della misura diretta di soggetti vivi.
Un giorno, finalmente, un matematico mise fine a questa strage, dimostrando il
teorema: il coccodrillo è più lungo che largo.
Da quel momento in poi, gli ingegneri furono eternamente grati ai matematici e
permisero loro di fare bella figura, in qualche barzelletta.
La dimostrazione è basata sull'osservazione, a debita distanza, dei coccodrilli
e su due importanti lemmi.
Lemma 1. Il coccodrillo è più lungo che verde.
Guardiamo il coccodrillo: è lungo da cima a fondo ma è verde solo in cima.
Perciò il coccodrillo è più lungo che verde.
Lemma 2. Il coccodrillo è più verde che largo.
Guardiamo il coccodrillo: è verde lungo tutta la sua lunghezza e anche
lungo tutta la sua larghezza. Ma è largo solo lungo la sua larghezza. Perciò
il coccodrillo è più verde che largo.
Dai lemmi 1 e 2, per la proprietà transitiva della relazione d'ordine, discende
che il coccodrillo è più lungo che largo.
11. Un euro = un centesimo di euro
Il 2002 sarà l'anno dell'euro. Noi abbiamo fiducia in tale moneta e
speriamo che il seguente teorema contenga un errore. Però qualche dubbio ci
rimane...
Nella seguente espressione:
E significa euro
c significa centesimi di euro
^2 significa elevato al quadrato
1 E = 100 c = (10 c)^2 = (0,1 E)^2 = 0,01 E = 1 c
Ma dov'è l'errore?
Riflessione personale: questo teorema è molto istruttivo. Può essere utile per coloro che non capiscono bene la differenza tra metri e metri quadrati. Passando disinvoltamente per il metro quadrato, infatti, si può dimostrare che 1 m = 1 cm.
1 m = 100 cm = (10 cm)^2 = (0,1 m)^2 = 0,01 m = 1 cm
12. Le figure in geometria
A tutti, quando eravamo studenti, è capitato di dimostrare un teorema di
geometria dicendo: "Si vede dalla figura!"
Orrore! Questa affermazione faceva sempre infuriare i professori, ma soprattutto
le professoresse.
In seguito abbiamo capito una grande verità: la geometria è l'arte di trarre
conclusioni corrette basate su figure scorrette.
Ecco un esempio:
Consideriamo un cerchio qualsiasi, e sia A il suo centro...
13. Un'altra dimostrazione che 2 = 1
Inviato da Pasquale
kx = x + x + ... + x (k volte)
xx = x + x + ... + x (x volte)
x^2 = x + x + ... + x (x volte)
D'(x^2) = 2x
D'(x + x + ... + x) = 1 + 1 + ... + 1 (x volte)= x
Quindi:
2x = x
2 = 1
Come mai?
Nota inviata da Infinito.
"x^2 = x + x + ... + x (x volte)" vale solo per x interi, mentre
quando derivi lavori in un intorno di x (e se quest'ultimo è intero, esiste un
suo intorno in cui non ce ne sono altri).
Conclusione d(x²)/dx=2x è la formula richiesta, l'altra è sbagliata.
14. Teorema: 3=4
Dimostrazione.
Supponiamo:
a + b = c
L'identità può essere scritta anche così:
4a - 3a + 4b - 3b = 4c - 3c
Riorganizziamo:
4a + 4b - 4c = 3a + 3b - 3c
Raccogliamo a fattor comune le costanti:
4(a+b-c) = 3(a+b-c)
Eliminiamo i termini uguali a destra e a sinistra:
4 = 3
(Michael Ketzlick)
15. 1$ = 10 cent
Dimostrazione.
Sappiamo che:
$ 1 = 100 cents
dividiamo entrambi i membri per 100
$ 1/100 = 100/100 cents
=> $ 1/100 = 1 cent
estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri
=> squr($1/100) = squr (1 cent)
=> $ 1/10 = 1 cent
moltiplichiamo entrambi i membri per 10
=> $1 = 10 cent
(Brijesh)
16. 1 = -1
Dimostrazione
1 -1
-- = --
-1 1
1 -1
sqrt[ -- ] = sqrt[ -- ]
-1 1
sqrt[1] sqrt[-1]
------- = -------
sqrt[-1] sqrt[1]
Moltiplichiamo in croce
sqrt[1]*sqrt[1] = sqrt[-1]*sqrt[-1]
1=i^2
1=-1
(Kenneth S. Clubok)
17. log(-1) = 0
Dimostrazione:
a) log[(-1)^2] = 2 * log(-1)
Ma è anche vero che:
b) log[(-1)^2] = log(1) = 0
Combinando a) e b) otteniamo:
2* log(-1) = 0
Dividiamo entrambi i membri per 2:
log(-1) = 0
(autore ignoto)
18. 1=3
Dimostrazione.
Prima di tutto stabiliamo che:
Una porta mezza chiusa = Una porta mezza aperta
1/2 porta chiusa = 1/2 porta aperta
Semplifichiamo per 1/2 e otteniamo:
porta chiusa = porta aperta (1)
Siamo anche tutti d'accordo che:
1/4 porta chiusa = 3/4 porta aperta
Moltiplichiamo entrambi i membri per 4:
1 porta chiusa = 3 porta aperta (2)
Ma dalla prima uguaglianza abbiamo:
porta chiusa = porta aperta (1)
Sostituiamo nella seconda:
1 porta aperta = 3 porta aperta (2)
Semplifichiamo per "porta aperta" e otteniamo:
1 = 3
(Mrinal Shenoy)
(Traduzione e adattamento di Gianfranco Bo - 2000-2005, salvo diversa indicazione)
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo