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La vera storia del 2+2=5

di Houston Euler

"Prima e al disopra di tutto, egli fu un logico. Dedicò almeno 35 anni del suo mezzo secolo di vita a dimostrare che due più due fa sempre quattro, tranne in rari casi in cui può fare tre oppure cinque, a seconda del caso."

Jacques Futrelle, "The Problem of Cell 13"

Ringrazio Maurizio Codogno per avermi permesso di riprodurre questa sua traduzione.

2+2 = 5: una componente di una prospettiva storica

Molti matematici hanno una certa qual familiarità - o almeno hanno visto riferimenti in letteratura - con l'equazione 2+2 = 4. Non tutti però sanno che l'equazione meno nota 2+2=5 ha anche una storia ricca e complessa alle sue spalle. Come per ogni quantità complessa, tale storia ha una componente reale e una immaginaria: questa breve trattazione si occuperà unicamente di quest'ultima.

Molte culture, durante i loro primi sviluppi matematici, hanno scoperto l'equazione 2+2 = 5. Si possono prendere come esempio i membri della tribù Bolb, che discendono dagli Incas sudamericano. I Bolb contano facendo nodi su una cordicella, e si sono ben presto accordi che se si univa una corda con due nodi a un'altra corda con due nodi il risultato finale era una corda con cinque nodi.

Recenti ritrovamenti sembrano indicare come la setta pitagorica aveva trovato una dimostrazione del fatto che 2+2 = 5, ma questa dimostrazione non è mai stata messa per iscritto. Bisogna però precisare che, a differenza di quanti si potrebbe credere, la mancata divulgazione della dimostrazione non è stata causata da un'occultazione volontaria simile a quella che tentarono per nascondere l'irrazionalità della radice quadrata di due. Molto più banalmente, non avevano denaro a sufficienza per il necessario servizio di scrittura da parte degli scribi. I loro fondi erano stati completamente dilapidati in una serie di cause legali contro un gruppo di attivisti per i diritti dei bovini, che li avevano citati in giudizio a causa dei metodi utilizzati dai pitagorici per celebrare la scoperta di un teorema. Fu così che gli Elementi di Euclide contennero solamente l'equazione 2+2 = 4, e nessuno udì parlare di 2+2 = 5 per diversi secoli.

Un timido tentativo di portare alla conoscenza delle masse questo risultato fu effettuato nel quinto secolo d.C, mentre l'Impero Romano d'Occidente stava ormai volgendo al termine. Gli scalpellini avevano infatti notato come scrivere "II ET II SVNT V" riduceva il numero di lastre di pietra che si dovevano gettare via a causa di un'improvvida martellata. Ma non erano i tempi migliori: i secoli bui del Medio Evo si stavano avvicinando, e il problema venne accantonato, tanto che la Regola Benedettina nella sua versione completa ha come titolo "Non summabis, ora et labora" perché i monaci non si distogliessereo dalle loro occupazioni per trattare il problema.

Nel tredicesimo secolo, Leonardo Fibonacci scoprì che lasciando in una gabbia due conigli maschi e due conigli femmine si ottenevano ben più di quattro conigli. Non avendo il coraggio di mettere troppo apertamente in dubbio il valore dato da Euclide, Fibonacci si limitò ad affermare che "2+2 è più vicino a 5 che a 4". Nonostante questo approccio cauto, i suoi contemporanei lo trattarono come un pazzo; il suo approccio di sottostimare il numero di conigli si è però conservato fino ad oggi, tanto che il modello che prende da lui il nome considera che ogni da ogni coppia di conigli ne nascono solamente due a ogni parto. Chiunque abbia visto i conigli figliare capisce il problema.

La mancanza di una dimostrazione definitiva che 2+2 = 5 si faceva ormai sentire, con una serie di disavventure davvero incredibili. Nei margini della sua copia dell'Aritmetica di Diofanto, Pierre de Fermat aveva lasciato una dimostrazione, che a volte è nota come "Penultimo teorema di Fermat". Il margine in questo caso era sufficiente per la dimostrazione. Purtroppo quello fu l'unico caso in cui il noto matematico francese utilizzò il margine interno, che venne rifilato quando il libro, che stava andando a pezzi, fu rilegato. La dimostrazione venne così nuovamente perduta. Il precedente approccio cartesiano, con la famosa dimostrazione "cogito 2 et 2 sunt 5: ergo est" non fu ritenuto sufficientemente rigoroso.

L'eccitazione tra i matematici per le incredibili nuove scoperte che l'analisi permetteva tolse interesse all'equazione, tanto che durante il XVIII secolo l'unico noto riferimento ad essa è stato quello del filosofo e vescovo Berkeley che, dopo averla scoperta in un antico manoscritto, commentò seccamente "Beh, adesso ho capito dove tutti questi infinitesimi vanno a finire: nel lato destro di questa equazione". Questa frase impressionò gli intellettuali californiani a tal punto che decisero di dare il suo nome a un'università.

La prima metà dell'800 segnò un rinnovato interesse per la somma 2+2. Riemann sviluppò un sistema aritmetico in cui 2+2 = 5, che stava in parallelo all'euclideo 2+2 = 4. Allo stesso tempo, Gauss aveva creato un'aritmetica in cui 2+2 = 3. Tutto questo ha portato a decenni di confusione sul valore effettivo di 2+2: proprio a causa delle mutevoli opinioni al riguardo, la dimostrazione del 1880 di Kempe del teorema dei 4 colori fu aggiornata undici anni dopo come "Teorema dei cinque colori". Riemann stesso, con la sua Ipotesi oggi non ancora dimostrata, fece una congettura sugli zeri della funzione ?(s) data dalla sommatoria su s di (2+2)s-5s. Anche Dedekind entrò nel dibattito, con una sua memoria intitolata "Was ist und was soll 2+2?".

La diatriba andò a toccare persino i fondamenti della matematica. Frege pensò di avere stabilito la questione una volta per tutte: mentre stava preparando una versione condensata del suo "Begriffsschrift", intitolata "Die Kleine Begriffsschrift" (Piccola Ideografia), vi inserì quella che riteneva essere la dimostrazione definitiva che 2+2 = 5. Prima che la versione definitiva venisse pubblicata, però, Frege ricevette una lettera da Bertrand Russell, che gli faceva notare che nei suoi "Fondamentalismi della matematica" Frege aveva già dimostrato che 2+2 = 4. Questa contraddizione scoraggiò così profondamente Frege da fargli abbandonare completamente la matematica, e accettare una posizione da vicerettore universitario.

Anche prima che gli sforzi per trovare un risultato che discriminasse tra i casi 2+2=4 e 2+2=5 venissero vanificati dai Teoremi di Indecidibilità di Gödel, i matematici avevano già scelto di rispondere a tale dubbio fondazionale nel modo preferito dalla stragrande maggioranza di loro: ignorando del tutto la questione. Tutti tornarono a 2+2 = 4, equazione che restò senza rivali per tutto il ventesimo secolo. Ci sono state in effetti delle voci che Bourbaki volesse dedicare un volume delle sue opere a 2+2 = 5 (con le prime quaranta pagine che contenevano l'espressione simbolica del numero 5), ma non ci sono conferme del fatto.

Il XXI secolo potrebbe però portare ancora un altro revival di questa storica equazione. Per il momento, forniamo una prova a supporto della nostra equazione. Si ha infatti che 2.4 + 2.4 = 4.8; operando a virgola fissa e arrotondando i valori all'intero più vicino, si ricava che 2+2=5.

Ultima modifica: 13 gennaio 2005. Basato su questo testo di "Houston Euler" in Mathematics Magazine, dicembre 1990.

Il testo originale

by Houston Euler

"First and above all he was a logician. At
least thirty-five years of the half-century
or so of his existence had been devoted
exclusively to proving that two and two always
equal four, except in unusual cases, where
they equal three or five, as the case may be."

-- Jacques Futrelle, "The Problem of Cell 13"

Most mathematicians are familiar with -- or have at least seen references in the literature to -- the equation 2 + 2 = 4. However, the less well known equation 2 + 2 = 5 also has a rich, complex history behind it. Like any other complex quantitiy, this history has a real part and an imaginary part; we shall deal exclusively with the latter here.

Many cultures, in their early mathematical development, discovered the equation 2 + 2 = 5. For example, consider the Bolb tribe, descended from the Incas of South America. The Bolbs counted by tying knots in ropes. They quickly realized that when a 2-knot rope is put together with another 2-knot rope, a 5-knot rope results.

Recent findings indicate that the Pythagorean Brotherhood discovered a proof that 2 + 2 = 5, but the proof never got written up. Contrary to what one might expect, the proof's nonappearance was not caused by a cover-up such as the Pythagoreans attempted with the irrationality of the square root of two. Rather, they simply could not pay for the necessary scribe service. They had lost their grant money due to the protests of an oxen-rights activist who objected to the Brotherhood's method of celebrating the discovery of theorems. Thus it was that only the equation 2 + 2 = 4 was used in Euclid's "Elements," and nothing more was heard of 2 + 2 = 5 for several centuries.

Around A.D. 1200 Leonardo of Pisa (Fibonacci) discovered that a few weeks after putting 2 male rabbits plus 2 female rabbits in the same cage, he ended up with considerably more than 4 rabbits. Fearing that too strong a challenge to the value 4 given in Euclid would meet with opposition, Leonardo conservatively stated, "2 + 2 is more like 5 than 4." Even this cautious rendition of his data was roundly condemned and earned Leonardo the nickname "Blockhead." By the way, his practice of underestimating the number of rabbits persisted; his celebrated model of rabbit populations had each birth consisting of only two babies, a gross underestimate if ever there was one.

Some 400 years later, the thread was picked up once more, this time by the French mathematicians. Descartes announced, "I think 2 + 2 = 5; therefore it does." However, others objected that his argument was somewhat less than totally rigorous. Apparently, Fermat had a more rigorous proof which was to appear as part of a book, but it and other material were cut by the editor so that the book could be printed with wider margins.

Between the fact that no definitive proof of 2 + 2 = 5 was available and the excitement of the development of calculus, by 1700 mathematicians had again lost interest in the equation. In fact, the only known 18th-century reference to 2 + 2 = 5 is due to the philosopher Bishop Berkeley who, upon discovering it in an old manuscript, wryly commented, "Well, now I know where all the departed quantities went to -- the right-hand side of this equation." That witticism so impressed California intellectuals that they named a university town after him.

But in the early to middle 1800's, 2 + 2 began to take on great significance. Riemann developed an arithmetic in which 2 + 2 = 5, paralleling the Euclidean 2 + 2 = 4 arithmetic. Moreover, during this period Gauss produced an arithmetic in which 2 + 2 = 3. Naturally, there ensued decades of great confusion as to the actual value of 2 + 2. Because of changing opinions on this topic, Kempe's proof in 1880 of the 4-color theorem was deemed 11 years later to yield, instead, the 5-color theorem. Dedekind entered the debate with an article entitled "Was ist und was soll 2 + 2?"

Frege thought he had settled the question while preparing a condensed version of his "Begriffsschrift." This condensation, entitled "Die Kleine Begriffsschrift (The Short Schrift)," contained what he considered to be a definitive proof of 2 + 2 = 5. But then Frege received a letter from Bertrand Russell, reminding him that in "Grundbeefen der Mathematik" Frege had proved that 2 + 2 = 4. This contradiction so discouraged Frege that he abandoned mathematics altogether and went into university administration.

Faced with this profound and bewildering foundational question of the value of 2 + 2, mathematicians followed the reasonable course of action: they just ignored the whole thing. And so everyone reverted to 2 + 2 = 4 with nothing being done with its rival equation during the 20th century. There had been rumors that Bourbaki was planning to devote a volume to 2 + 2 = 5 (the first forty pages taken up by the symbolic expression for the number five), but those rumor remained unconfirmed. Recently, though, there have been reported computer-assisted proofs that 2 + 2 = 5, typically involving computers belonging to utility companies. Perhaps the 21st century will see yet another revival of this historic equation.

From: "Matt Westwood" <Mattwestwood#NoSpam.btinternet.com> Footnote from Matt Westwood in the 21st century: It's got to be pointed out that 2.4 + 2.4 = 4.8 so rounding to the nearest integer, 2+2=5.

Ultimo aggiornamento: agosto 2005

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