El lado cómico de la matemática

INTEGRA 6
Serie: Artículos
Universidad de Viña del Mar
Viña del Mar - Chile

"Deseo agradecer de todo corazón al comité editorial de la revista Integra por haberme concedido el honor de la publicación y al profesor Roberto Doniez Soro por sus consejos, el encargo, el incentivo y sobre todo por su maravillosa traducción de este artículo".

"La Matemática tiene exactamente cinco lados. Uno es luminoso y los otros tres son oscuros. Aquí encontrarás su sexto lado: el cómico". African Bongo, El delirio del profesor Rafael Bombelli.

He tenido el honor de enseñar por más de cuatro años, como docente del área Lógico- Matemática en los Cursos Bianuales de Especialización Polivalente. Tales cursos se ofrecen a graduados o profesores que desean especializarse en el sustento, vale decir en la enseñanza, al margen de los docentes curriculares, en clases particularmente problemáticas en las cuales están presentes alumnos no precisamente aventajados.

Al inicio de los cursos siempre planteaba el tema: "Escribe tu autobiografía matemática". Dado que los cursantes podían ser considerados expertos en el campo de la formación, aclaraba de inmediato que las preguntas del tema eran principalmente las siguientes:

La "autobiografía" nos proveía siempre de un material precioso para muchas lecciones y discusiones, permitiendo a los cursantes comprender en que medida el factor emotivo había sido importante en sus vidas para determinar el éxito o el fracaso en un área disciplinaria como la matemática. Y cuánto de eso era todavía determinante en sus profesiones de enseñantes. Quisiera aquí solamente referirme a un hecho particular, que en aquella época no había valorado en toda su magnitud y sobre el cual enseguida he reflexionado más profundamente. En sus elaboraciones se podía llevar a cabo una pesca milagrosa de emociones ligadas a la matemática, pero una en particular estaba siempre ausente.

Emociones ligadas a la Matemática
Términos que expresan emociones	% de ocurrencia
Sentido de inadecuación personal, inseguridad, impotencia	15
Satisfacción, placer, exaltación	10, 25
Antipatía, separación, depresión, disgusto, angustia, ansiedad	9, 75
Sentido de excesiva normatividad, rigidez, ausencia de color, aridez, ascesis	7, 90
Miedo, terror, pánico, rabia	7, 5
Incomprensión, confusión, oscuridad, irracionalidad, incertidumbre	6, 7
Fatiga, stress, incomodidad, frustración, sufrimiento, renuncia	5, 0
Odio	4, 25
Desafío	3
Aburrimiento	3
Juego, divertimento	3
Amor	2, 5
Potencia , omnipotencia	1, 25
Otras sensaciones vividas positivamente: estupor, seguridad, lealtad, libertad, amabilidad, coherencia, curiosidad, devoción, fascinación, respeto	9, 5
Otras sensaciones vividas negativamente: amor / odio, desconfianza, perversión, inutilidad, extrañamiento, impaciencia, indiferencia	6, 25

En primer lugar, como se puede notar fácilmente, las emociones "negativas" despertadas por la matemática tienen un peso de cerca del 70%. Por otra parte, y este es el punto, entre la emociones "positivas" no aparecen términos asociados con la comicidad, el humorismo, la risotada, o incluso sólo la sonrisa. Parece que la matemática no tuviera un lado cómico.

Tal vez la matemática tiene un lado cómico... quizá dos: el sarcasmo, con el cual se tiende a poner en ridículo los métodos de esta ciencia y la psicología de los matemáticos, y el humorismo, con el cual a veces se despierta una sonrisa de simpatía. Inútil decir que sólo esto último hace bien a la salud y es practicada por los verdaderos matemáticos.

He aquí dos ejemplos para explicar la diferencia: el chiste más feo del mundo y aquel más bello del mundo.

Una de las primeras y más feas bromas ingeniosas (tallas) sobre los astrónomos (que son parientes cercanos de los matemáticos) se encuentra en la fábula nº 65 de Esopo. En esta fábula se ríe de la ciencia.

Un astrónomo (N.d.A. algunos piensan que se trata de Tales de Mileto) tenía el hábito de salir todas las tardes para estudiar las estrellas. Una noche que paseaba por el suburbio concentrado en el cielo, cayó sin darse cuenta en una fosa. Mientras se lamentaba y gritaba, un paseante oyó sus gemidos y se acercó. Viendo lo que ocurría le dijo: "Amigo mío, tratas de saber aquello que está en el cielo y sin embargo no ves aquello que está sobre la tierra". Esopo, Favole, Rizzoli, Milano 1951-1980.

En esta historia se ríe con la ciencia. A menudo la "risa científica" es interior y no se manifiesta al exterior más que con una sonrisita de complicidad. Sin embargo esta broma tiene el poder de hacer dar una bella risotada a quien es sensible al humorismo matemático. Es una de las mejores historietas sobre el estilo de los matemáticos que yo conozca. También porque, para ser apreciada, no requiere de conocimientos particulares.

Un biólogo, un estadístico y un matemático participan en un safari fotográfico en África. Viajan por la sabana a bordo de un jeep escrutando el horizonte con sus binoculares (salvo el matemático, que conduce el jeep). De repente el biólogo, presa de una agitación, exclama: "Miren! Hay una manada de cebras! Y en medio hay una cebra blanca! Fantástico! Existen cebras blancas! Y yo las he descubierto! Seré famoso!". El estadístico replica: "No es un dato significativo. Sabemos solamente que existe UNA cebra blanca". El Matemático, sin ni siquiera mirar a la cebra, dice con voz tranquila: "Ambos están equivocados. En realidad sólo sabemos que existe UNA cebra que es blanca por UN lado". Niels Ull Jacobsen, University of Copenhagen.

La diversión y el humorismo son dos componentes importantes del hacer matemática.

Estoy convencido que cada concepto matemático ha sido usado, alguna vez, en un contexto humorístico. No sólo bromas sobre la personalidad de los matemáticos, sino que también problemas ingeniosos, definiciones chistosas, demostraciones o estrategias cómicas.

La prueba de estas afirmaciones? Se encuentran por todas partes: en las inscripciones sobre los bancos y los muros de los baños de las facultades científicas, donde se puede leer por ejemplo: "Aquí Newton descubrió que las cosas caen desde lo alto hacia lo bajo", en los newsgroups de enigmas y problemas lógicos, donde se puede discutir sobre el método óptimo para freír tres chuletas en una sartén donde sólo caben dos, en las revistas científicas donde se pueden encontrar demostraciones de las leyes de Murphy, etc.

Muchas bromas ingeniosas en matemática nacen al interior de grupos muy especializados y pueden ser apreciadas solamente por expertos.

Sin embargo el sentido del humorismo matemático es accesible a todos, en cualquier etapa de la formación escolar aunque si, como cualquier otra competencia, debe ser desarrollada. Propongo que este debiera ser considerado una competencia, y que debiera ocupar un lugar importante en el currículo de la así llamada "escuela reformada". Probablemente mejorarían las actitudes negativas que muchas personas tienen al enfrentarse con la matemática. Ciertamente haría bien a la salud de los alumnos y de los profesores.

Mientras tanto les propongo un test, útil tanto para ejercitar como para "medir" el sentido del humorismo matemático propio.

He aquí 10 historietas humorísticas con argumento matemático. La comprensión de ellas no presenta particular dificultad porque los conceptos de aritmética, geometría y lógica presentes son elementales: en la práctica aquellos que se aprenden en la escuela obligatoria.

Marca 1 punto por cada broma que: comprendas en menos de 5 segundos y que te haga reír sinceramente. Al final del test encontrarás los elementos para tu evaluación.

Un matemático está convencido que el autobús hay 3 personas, pero allí ve salir 5. Piensa un poco, luego dice: "Para que el autobús esté vació deben entrar dos personas".

A un grupo de ingenieros se les pidió que midieran la altura de un poste de madera. Ellos trataron de treparse por el poste llevando una huincha de medir pero no consiguieron llegar a la punta y decidieron darse por vencidos.

El mismo problema fue propuesto a un matemático. El matemático hizo desenterrar el poste del terreno, lo hizo tender horizontal y lo midió con facilidad. Cuando este se hubo ido, un ingeniero le dijo al otro: "El típico matemático!. Nosotros queremos saber la ALTURA del poste y el ha medido su LARGURA".

Un periodista científico reportó la siguiente noticia: "Gracias a la supercalculadora HAL-2001 ha sido descubierto un nuevo número primo. Es el número primo más grande conocido. ¡Pensar que es cuatro veces más grande que el precedente!

Un famoso físico tiene una herradura de caballo colgada a la puerta de su oficina.

Un estudiante, sorprendido, le pregunta: "Ud. cree verdaderamente en que la herradura de caballo le trae suerte en sus experimentos?" El físico responde: "No, no creo en estas supersticiones. Sin embargo he escuchado decir que funciona aún si uno no cree"

5. ¿Cuántos matemáticos se necesitan para remplazar una ampolleta quemada?

Diez. El primero controla que sean exactamente diez. Luego uno lo hace y los otros ocho se quedan mirando.

Un día un terrateniente, que quería cercar sus terrenos gastando lo menos posible, convocó a un ingeniero, un geólogo y un matemático y les dijo: "¿De qué modo se puede delimitar el área más grande posible con el perímetro más pequeño posible?".

El ingeniero trazó un círculo enorme y proclamó que esa era la figura más eficiente. El geólogo hizo algunas medidas con la brújula, trazó una línea recta y dijo: "Esta recta se encuentra sobre un meridiano. Si la prolongamos suficientemente dará un giro completo a la tierra del largo de una circunferencia máxima. Esta es la línea más corta con la cuál se puede cercar nada menos que la mitad de nuestro planeta".

El matemático sonrió, tomó una ramita, trazó un pequeño círculo alrededor de sus pies y dijo: "Declaro que estoy en el exterior del recinto".

Cinco matemáticos y cinco médicos iban en tren a un Congreso sobre Métodos Estadísticos Aplicados a la Medicina. Los médicos tenían cinco pasajes mientras que los matemáticos tenían sólo uno. Los médicos se reían pensando en la multa que deberían pagar sus tontos compañeros de viaje.

En cierto momento uno de los matemáticos dio la voz de alarma: "¡Viene el cobrador!" Todos los matemáticos corrieron al baño más cercano y se encerraron dentro. El cobrador, viendo que el baño estaba ocupado, golpeó a la puerta y dijo: "¡Pasaje, por favor!". La puerta se entreabrió y salió una mano con el boleto. El cobrador lo perforó y lo devolvió.

Cuando el cobrador se fue los matemáticos salieron del baño y se fueron a sentar tranquilamente, mientras los médicos los observaban asombrados. En el viaje de vuelta los médicos decidieron hacer la misma cosa y compraron un solo pasaje. Los matemáticos, sin embargo, no compraron ni siquiera uno.

En cierto momento, durante el viaje, uno de los matemáticos exclamó: "¡Viene el cobrador!" Los médicos corrieron a un baño y los matemáticos a otro. Uno de los matemáticos sin embargo, antes de reunirse con sus colegas, golpeó la puerta de los médicos y dijo, imitando la voz del cobrador: "¡Pasaje, por favor!".

Dos hombres y una mujer vuelan felices en una avioneta. De repente la avioneta se estropea y se ven obligados a aterrizar en un valle desconocido. Uno de los tres dice: "Tengo una idea. Pidamos ayuda desde este valle y el eco transportará nuestras voces muy lejos, donde alguien podrá oírlo." Así ellos se asoman del habitáculo y gritan : "¡Ayudaaaaa! ¡Dónde estamooooos?" El eco repite la frase varias veces. Después de cerca de una hora los tres oyen un eco lejano que responde: "¡Están perdidos en un valleeeee!" La mujer dice: " Aquel que ha respondido es seguramente un matemático." Tonta, le dice uno de los hombres, "¿Cómo vas ha saberlo?" Y ella responde: "Por tres motivos:

Un biólogo, un físico y un matemático están de vacaciones, en Cerdeña. Durante un paseo ven un rebaño de ovejas negras. El biólogo exclama: "¿Han visto? En Cerdeña todas las ovejas son negras". El físico, pensando impresionar al matemático con su lógica rigurosa, lo corrige: "No, amigo. Sabemos solamente que en Cerdeña ALGUNAS ovejas son negras". El matemático, disgustado, replica: "Ambos se equivocan. En realidad nosotros sabemos solamente que en Cerdeña ALGUNAS ovejas son negras por AL MENOS un lado!

A las mentes más dotadas del mundo se les hizo la siguiente pregunta: ¿cuánto es 2x2?

El ingeniero sacó su regla de cálculo, la hizo correr hacia delante y hacia atrás por un momento, luego anunció: "3.99". El físico consultó algunos manuales técnicos, ingresó la pregunta a su computador, luego afirmó: "Está comprendido entre 3.98 y 4.02". El matemático lo pensó un buen rato, ignorando al resto del mundo, después declaró: "No se cuál es la respuesta, pero puedo demostrar que existe". El filósofo dijo meditabundo: "Pero que cosa se entiende exactamente con "2x2"?" El economista cerró todas las puertas y la ventana, miró alrededor con circunspección y dijo, en voz baja: "Tratemos de ponernos de acuerdo. ¿Cuánto quieren que sea?

a) 10 puntos: ¡Ay de mi!, algo que no marcha. He olvidado decirte que debes quitar un punto de tu puntaje si te ha hecho reír de corazón la historieta n º7, "Como viajar en tren sin pasaje". No, no, no es por motivos legalistas. Más bien es porque esta es una broma corporativa. En el puesto de los matemáticos y de los médicos podrían haber estado cualquiera otras categorías de personas y la broma habría funcionado igual. Por esta razón no es una broma sobre los matemáticos. Entonces, porqué justamente los matemáticos deben salir vencedores? ¡Yo los he hecho salir vencedores porque defiendo a mi grupo, pero en la versión "original" eran los matemáticos y los ingenieros y el buen papel lo hacían los ingenieros!

b) de 8 a 9 puntos: Muy bien. Has comprendido una cosa fundamental: no sólo la matemática tiene un lado humorístico, sino que el humorismo tiene un lado matemático. Justamente por esto eres sensible al humorismo matemático y ríes con el corazón, cuando es el caso.

c) de 4 a 7 puntos: Completamente suficiente. Sin embargo tienes algunas defaillance. Por ejemplo, si alguien te dijera: "Todas las personas del mundo se dividen en tres categorías: aquellas que saben contar y aquellas que no saben contar", tu en vez de preguntarle: " ¿Y a que categoría perteneces tu?, serías capaz de volver a la carga y preguntar "¿Pero no me habías dicho que las categorías eran tres?".

d) de 0 a 3 puntos: Para ti, la matemática es necesario soportarla porque es indispensable para "sacar cuentas". Si las hacen otros mejor. Podrías ser definido un tipo-Darwin, quien dijo: "Un matemático es como una persona vestida de negro que busca en una pieza vacía un gato negro que no está".

La respuesta es sí, y para mostrarlo podemos examinar la vasta producción de los " mathematical jokes", esto es bromas ingeniosas (tallas) basadas en procedimientos matemáticos.

Las demostraciones humorísticas contienen siempre un error más o menos sutil del cual nace primeramente el aspecto ridículo y luego una cierta tensión. Encontrado el error, la tensión se diluye y brota la risa divertida.

Aquí por "calculo algebraico" entiendo no solamente el álgebra clásica, sino cualquier sistema de reglas que permiten operar formalmente con un conjunto de símbolos independientes de sus significados o mejor de cualquiera de sus interpretaciones. Un clásico ejemplo de cálculo algebraico se da en el caso de las reglas de cálculo literal y de las técnicas para resolver las ecuaciones.

Del mismo modo existe también un álgebra de la lógica constituida por las reglas y los símbolos que nos permiten construir las proposiciones lógicas y de operar con ellas.

1) Teorema

(Benjamin J. Tilly).

Todos los números son iguales a cero

Demostración:

Supongamos que a = b. Entonces:

a2 = ab (multiplico por a)

a2- b2= ab - b2 (resto el cuadrado de b)

(a + b)(a - b) = b(a - b) (descompongo en factores)

a + b = b (simplifico por a-b)

a = 0 (resto b de ambos miembros)

2) Teorema

(Kevin D. Quitt).

4 = 5

Demostración:

-20 = -20

16 - 36 = 25 - 45

42 - 9*4 = 52 - 9*5

42 - 9*4 + 81/4 = 52 - 9*5 + 81/4

(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2

4 - 9/2 = 5 - 9/2

4 = 5

3) Teorema

(Benjamin J. Tilly).

1 dollar = 1 centésimo

Demostración:

1$ = 100c

= (10c)2

= (0.1$)2

= 0.01$

= 1c

4) Teorema

(Kenneth S. Clubok)

0=1

Demostración:

Resolvamos por parte la integral ,

haciendo uso de la conocida fórmula para la integración por partes:

Entonces:

y escribiendo: f(x) = 1/x, g'(x) = 1.

y al reunir las integrales en el primer miembro se obtiene:

0 = 1

El uso del álgebra está estrechamente ligado al principio de sustitución. En primer lugar porque para aplicar las fórmulas y los procedimientos algebraicos es necesario sustituir los entes matemáticos con sus símbolos mientras las reglas se aplican a los símbolos y no a los entes que ellos representan.

En segundo lugar, porque diversas técnicas de sustitución son a menudo aplicadas para simplificar ecuaciones, sistemas, integrales, etc...

El lado humorístico del principio de sustitución está ligado a la idea de enmascaramiento, de cambiar la identidad logrando así resolver en pocos pasos problemas que a primera vista parecían muy difíciles.

La rapidez y la "chispa" (ingenio y sorpresa) son elementos importantes tanto en el humorismo como en las buenas demostraciones matemáticas. Pero no debemos olvidar que el principio de sustitución tiene también un lado trágico; si no se aplica con astucia y atención puede conducir a un pantano sin salida y sin retorno. Tanto es así que el cambio de persona y el equívoco, por ejemplo, son utilizados tanto en la comedia como en la tragedia, con resultados muy opuestos.

Aquí queremos solamente recordar la famosa fábula de Perrault en la cual Pulgarcito y sus seis hermanitos lograron salvarse poniendo sus gorritos sobre las cabezas de la siete hijas del ogro que los había capturado y quería comérselos. El feroz ogro, durante la noche, basándose en el tacto, confundió sus hijas con los siete hermanitos y las degolló a todas.

Veamos por ejemplo como se aplica el principio de sustitución en el caso de un ejercicio de cálculo integral.

Antes de proceder debemos calcular dx = 2 sin t cos t dt y t = arcsen x. Entonces se llega a la integral:

Sin embargo bastan pocos y rápidos pasos para llegar a la solución, facilísima

Aquí no puede faltar una sonrisa pensando en el autor mientras construye el ejercicio partiendo justamente de este resultado intermedio y procediendo hacia atrás.

5) Teorema

(Chris Trevino).

2=1

Demostración:

Del penúltimo paso del Teorema 1, sabemos que:

a + b = b

Haciendo las sustituciones a = 1 e b = 1 obtenemos:

1 + 1 = 1

2 = 1

El efecto cómico del principio de sustitución nace algunas veces de un sutil cambio de significado de los términos en juego, como se nota en los dos ejemplos siguientes.

6) Teorema

(Adam Cabrera)

Menos sabes más ganas.

Demostración:

Todos saben que:

a) el tiempo es dinero: tiempo = dinero;

b) saber es poder: conocimiento = potencia

Por otra parte, de la Física:

c) potencia = trabajo / tiempo.

Con algunas sustituciones simples se obtiene:

conocimiento = potencia = trabajo / tiempo = trabajo /dinero

luego conocimiento = trabajo / dinero

entonces dinero = trabajo / conocimiento

Come se ve, si el conocimiento tiende a cero el dinero tiende a infinito.

También en el ejemplo siguiente hay un sutil cambio de significado en una palabra.

7) Teorema

El cocodrilo es más largo que ancho.

Demostración:

Esta demostración se basa en la observación, a debida distancia, de los cocodrilos y en dos importantes lemas.

Lema 1. El cocodrilo es más largo que verde

Dem. Miremos el cocodrilo: es largo por encima y por debajo, pero es verde sólo por encima. Por lo tanto el cocodrilo es más largo que verde.

Lema 2. El cocodrilo es más verde que ancho

Dem. Miremos el cocodrilo: es verde a lo largo de toda su largura y también a lo largo de toda su anchura. Pero es ancho sólo a lo largo de toda su anchura. Por lo tanto el cocodrilo es más verde que ancho.

De los lemas anteriores y por la propiedad transitiva de la relación de orden, se deduce que el cocodrilo es más largo que ancho.

En la demostración anterior ha sido ligeramente modificado el significado de la palabra "más", cuando se confronta una largura con un color.

El método de Inducción es un juego de prestigio con el cual se logra demostrar un teorema general basándose solamente en algunas observaciones particulares.

La demostración por inducción de una proposición P(x) está constituida por dos pasos:

a) se demuestra P(a), esto es que la proposición es verdadera para el más pequeño de los valores para los cuales ella tiene sentido. El valor de a no es necesariamente la unidad.

b) se demuestra que P(n) implica P(n+1), esto es que si la proposición es verdadera para un número natural n, entonces es verdadera también para el sucesor de n, esto es, n+1.

De a) y b) se deduce, o mejor se induce, que la proposición P es verdadera en todos los casos en que n es mayor o igual que a.

Demostrar que es posible dividir n cuadrados en partes tales que permitan formar un nuevo cuadrado.

Sean x , y (con x>y) las medidas de los lados de los dos cuadrados (ver figura). Sobre los lados del cuadrado más grande ABCD tomamos los puntos M, N, O, P tales que AM = BN = CO = DP = (x+y)/2 (media aritmética de los lados). Trazamos los segmentos PN y OM.

Es fácil demostrar que se encuentran en el centro del cuadrado formando cuatro ángulos rectos y que dividen el cuadrado en cuatro partes iguales. Las cuatro partes pueden ser unidas al cuadrado más pequeño para formar un cuadrado más grande, como se ve en la figura.

Esta construcción, más allá de ser un ejercicio de matemática recreativa, puede ser utilizada para demostrar nuestro viejo amigo: el teorema de Pitágoras.

Aceptando que nuestra suposición sea verdadera para un conjunto de n cuadrados, demostremos que ella es verdadera para un conjunto de n+1 cuadrados Q₁, Q₂, Q₃, ...Q_n-1, Q_n, Q_n+1.

Quitamos dos cualesquiera de estos n+1 cuadrados, por ejemplo Q_n y Q_n+1. Según lo demostrado en el paso1, podemos dividir uno de estos cuadrados en cuatro partes iguales y unir las partes al otro cuadrado de modo de obtener un nuevo cuadrado Q_s. Incluimos Q_s en nuestro conjunto de n+1 cuadrados en el lugar de Q_n y Q_n+1.

De este modo hemos transformado el conjunto de n+1 cuadrados en un conjunto de n cuadrados: Q₁, Q₂, Q₃, ...Q_n-1, Q_s, los que por la hipótesis inductiva se pueden en partes de manera de formar un nuevo cuadrado. Nuestro teorema está por lo tanto demostrado.

8) Teorema:

Todos los caballos son del mismo color.

Demostración (por inducción):

Caso n=1: en un conjunto con un sólo caballo, es obvio que todos los caballos son del mismo color.

Demostramos ahora que: si k caballos son del mismo color (hipótesis inductiva) entonces k+1 caballos son del mismo color.

Supongamos por consiguiente que tenemos un conjunto de k+1 caballos. Quitemos uno del conjunto, así tenemos k caballos. Por la hipótesis de inducción estos caballos son del mismo color.

Ahora volvamos a incluir en el conjunto el caballo que habíamos sacado y quitemos otro caballo. También en este caso los k caballos restantes son del mismo color. Repitamos la operación para todos los caballos del conjunto. Tendremos siempre, cualquiera sea el subconjunto de k caballos, que todos ellos son del mismo color. Podemos entonces deducir que los k+1 caballos son del mismo color. Hemos entonces demostrado que: si el teorema es verdadero para k lo es también para k+1. Entonces todos los caballos son del mismo color.

En la demostración por el absurdo se comienza suponiendo verdadera la negación del teorema que se quiere demostrar. Para demostrar A se pregunta: ¿qué sucedería si fuese verdadera no-A?

Se demuestra por consiguiente que de no-A puede derivarse una consecuencia contradictoria con no-A, con otro teorema demostrado previamente o con un axioma de la teoría en la que se está trabajando. Ya que en matemática no se aceptan teoremas que se contradigan unos con otros, entonces se deduce que no-A no es aceptable y esto equivale a haber demostrado no-(no-A), esto es A.

Euclides en sus Elementos utiliza por primera vez la reductio ad absurdum en el libro I, proposición 6. Si en un triángulo dos ángulos son iguales entre si, también los lados opuestos a estos ángulos son iguales entre si.

Sea ABC = ACB, entonces AB = AC

Supongamos por el absurdo que AB AC.

Entonces uno de los lados será mayor que el otro. Podemos suponer que: AB > AC. Fijamos D de modo que BD = AC y trazamos el segmento CD. Se puede demostrar fácilmente que los triángulos DBC y ACB son iguales porque tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales.

El triángulo ABC sería por consiguiente igual a una de sus partes, y esto contradice la Noción común VIII, que afirma: "El todo es mayor que la parte". Por esto no-( AB AC) equivale a AB = AC.

Euclides no sólo escribió de geometría. En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se dedica, diríamos casi se divierte, en echar las bases de la aritmética, entendida esta como teoría de los números enteros, que profundizará en el mucho más dífícil libro X.

Tratando la aritmética el hace extenso uso de la demostración por el absurdo, incluso en casos en los que podría dar una demostarción directa.

Por ejemplo en el libro VIII, proposición 7. Si se da un número cualquiera de números (enteros) en proporción continua, y el primero divide al último, entonces también dividirá al segundo.

9) Teorema

Todos los números enteros positivos son interesantes.

Demostración:

Supongamos que sea verdadero lo contrario, es decir que no todos los números enteros positivos son interesantes. En tal caso existirá el más pequeño número entero positivo que no es interesante. Pero, ...¡Oh!, ¡esto es muy interesante!. Contradicción.

Por lo tanto el teorema es verdadero.

10) Teorema

(Eric T. Ferguson)

1 es el más pequeño número real positivo.

Demostración:

Supongamos que exista el más pequeño número real positivo, llamémoslo x. También el cuadrado de x es positivo, por consiguiente:

(esta desigualdad es verdadera pues x es el más pequeño número real positivo, y cualquier otro número real positivo debe ser mayor o igual que x)

Dividamos ahora ambos miembros por x (que es positivo) y obtenemos:

Entonces el más pequeño número real 1 es 1.

El hecho es que el conjunto de los números reales positivos (0; + ) es abierto y por lo tanto no tiene un mínimo. Nuestro teorema, por el contrario, afirma que él tiene un mínimo y esto conduce a un resultado absurdo.

Todos los casos que hemos examinado tienen algo en común: el efecto humorístico es producido por la presencia de un error más o menos sutil en la demostración. Los matemáticos por consiguiente sonríen frente a la trampa, a la caída en un error.

Podríamos pensar que se repite la misma fea historia de aquel caminante que se burla cuando Tales cae a la fosa. Podríamos también pensar que se ríe del error matemático para exorcizar su más terrible consecuencia: la no-coherencia de la matemática. Si en efecto una proposición falsa, como 2=1, llegase a ser un teorema matemático, entonces se podría demostrar todo, y una teoría matemática en la cual se puede demostrar todo es no-coherente. Esto es, inútil y ridícula.

Pero yo pienso que no es así. La matemática es capaz de auto ironía y tiene la audacia de desafiar el ridículo. Solamente quien tiene gran humildad y prestigio puede afrontar el ridículo y salir sonriente y vencedor.

La matemática, después de la gran crisis de fundamentos de los primeros decenios de 1900, ha reforzado justamente estas dos características:

Aunque puede parecer extraño. La matemática tiene un historia antiquísima que está por encima del nacimiento y decadencia de varias civilizaciones. Por ejemplo sobre el hueso de Isangho, que se remonta más o menos a 20.000 años atrás, están marcadas las más antiguas representaciones simbólicas conocidas de los entes matemáticos.

Este artículo es la ampliación de un trabajo anterior del mismo autor con el título Il lato comico della matemática, publicado en la revista Babele, n. 17, enero-abril 2001.