Il lato comico della Matematica

Articolo pubblicato sulla rivista "INTEGRA" del Departamento de Matematica dell'Università di Vina del Mar (Chile) nella traduzione del professor Roberto Doniez Soro.

"La matematica ha esattamente cinque lati. Uno è luminoso e gli altri tre sono oscuri. Qui troverete il suo sesto lato: quello comico."

Ho avuto l'onore di insegnare per oltre 4 anni, come docente di Area logico-matematica, nei Corsi Biennali di Specializzazione Polivalente. Tali corsi sono rivolti a laureati o docenti che desiderano specializzarsi nel sostegno, vale a dire nell'insegnamento, a fianco dei docenti curricolari, in classi particolarmente problematiche nelle quali sono presenti alunni svantaggiati.

All'inizio dei corsi assegnavo sempre il tema: "Scrivi la tua autobiografia matematica."

Dato che i corsisti erano già da considerarsi degli esperti nel campo della formazione, chiarivo subito che gli interrogativi del tema erano principalmente i seguenti:

Le "autobiografie" fornivano sempre materiale prezioso per molte lezioni e discussioni, permettendo ai corsisti di capire quanto il fattore emotivo era stato importante nella loro vita per determinare il successo o l'insuccesso in un'area disciplinare come la matematica. E quanto esso era ancora determinante nella loro professione di insegnanti.

Qui vorrei soltanto riferire un fatto singolare che a quell'epoca avevo sottovalutato e sul quale solo in seguito ho riflettuto maggiormente.

Nei loro elaborati si poteva fare una pesca miracolosa di emozioni legate alla matematica, ma una in particolare era sempre assente.

Tabella 1 - Emozioni legate alla matematica
Termini che esprimono emozioni	% occorrenze
senso di inadeguatezza personale, insicurezza, impotenza	15%
soddisfazione, piacere, esaltazione	10,25%
antipatia, distacco, disprezzo, disgusto, repulsione, rifiuto	9,75%
tensione, angoscia, ansia	7,90%
senso di eccessiva normatività, rigidezza, assenza di colore, aridità, asetticità	7,5%
paura, terrore, panico, rabbia	6,7%
incomprensione, confusione, oscurità, irrazionalità, incertezza	5,4%
fatica, stress, sconforto, frustrazione, sofferenza, rinuncia	5%
odio	4,25%
sfida	3%
noia	3%
gioco, divertimento	3%
amore	2,5%
potenza, onnipotenza	1,25%
altre sensazioni vissute positivamente: stupore, sicurezza, lealtà, libertà, affidabilità, coerenza, curiosità, devozione, fascino, rispetto	9,5%
altre sensazioni vissute negativamente: amore/odio, diffidenza, perversione, inutilità, estraniazione, impazienza, indifferenza	6,25%

Innanzitutto, come si può facimente notare, le emozioni "negative" destate dalla matematica hanno un peso del 70% circa.

Inoltre, e questo è il punto, tra le emozioni "positive" non compaiono termini collegati con la comicità, l'umorismo, l'ilarità, la risata o anche solo il sorriso.

Eppure la matematica ha un lato comico... anzi due: il sarcasmo, con il quale si tende a porre in ridicolo i metodi di questa scienza e la psicologia dei matematici, e l'umorismo, con il quale invece si desta un sorriso di simpatia. Inutile dire che solo quest'ultimo fa bene alla salute e viene praticato dai veri matematici.

Ecco due esempi per spiegare la differenza: la barzelletta più brutta del mondo e quella più bella del mondo.

La barzelletta più brutta del mondo: quella di Talete che cade in una fossa

Una delle prime e più brutte battute di spirito sugli astronomi (che sono parenti stretti dei matematici) si trova nella 65° favola di Esopo.

Un astronomo (N.d.A. alcuni pensano che fosse Talete) aveva l'abitudine di uscire tutte le sere per studiare le stelle. Una notte che s'aggirava nel suburbio con la mente tutta rivolta al cielo, cascò senz'avvedersene in un pozzo. Mentre egli si lamentava e gridava, un passante udì i suoi gemiti e si avvicinò. Saputo il caso gli disse: "Caro mio, tu cerchi di sapere quello che c'è nel cielo e intanto non vedi quello che c'è sulla terra."

Spesso il "riso scientifico" è interiore e non si manifesta all'esterno se non con un sorrisino di complicità. Però questa barzelletta ha il potere di far fare una bella risata a chi è sensibile all'umorismo matematico. E' una delle migliori storielle sullo stile dei matematici che io conosca. Anche perché, per essere gustata, non richiede particolari conoscenze.

Un biologo, uno statistico e un matematico partecipano ad un foto-safari in Africa. Viaggiano nella savana a bordo di una jeep scrutando l'orizzonte con i loro binocoli (tranne il matematico, che guida la jeep).

Improvvisamente il biologo, in preda all'agitazione, esclama: "Guardate! C'è un branco di zebre! E in mezzo c'è una zebra bianca! Fantastico! Esistono zebre bianche! E io le ho scoperte! Sarò famoso!"

Lo statistico replica: "Non è un dato significativo. Noi sappiamo soltanto che esiste UNA zebra bianca."

Il matematico, senza neppure guardare la zebra, dice con voce calma: "Vi sbagliate tutti e due. In realtà noi sappiamo soltanto che esiste UNA zebra che è bianca da UN lato."

Il divertimento e l'umorismo sono due componenti importanti del fare matematica.

Sono convinto che ogni concetto matematico sia stato utilizzato, qualche volta, in un contesto umoristico. Non solo barzellette sulla personalità dei matematici ma anche problemi arguti, definizioni spiritose, dimostrazioni o strategie comiche.

Le prove di questa affermazione? Si trovano dappertutto: dalle iscrizioni sui banchi e sui muri delle toilettes delle facoltà scientifiche, dove si può leggere ad esempio: "Qui Newton scoprì che le cose cadono dall'alto verso il basso", ai newsgroup di enigmi e problemi logici dove si può discutere sul metodo ottimale per friggere tre cotolette in una padella che ne contiene solo due, alle riviste scientifiche dove si possono trovare le dimostrazioni delle leggi di Murphy.

Molte battute di spirito matematiche nascono all'interno di gruppi profondamente specializzati e possono essere apprezzate soltanto dagli "addetti ai lavori".

Tuttavia il senso dell'umorismo matematico è accessibile a tutti, in qualunque stadio della formazione scolastica anche se, come ogni altra competenza, deve essere appreso.

Ritengo che esso dovrebbe essere considerato una competenza importante e che dovrebbe avere un posto nei curricoli della cosiddetta "scuola riformata". Probabilmente migliorerebbe gli atteggiamenti negativi che molte persone hanno nei confronti della matematica. Certamente farebbe bene alla salute degli alunni e dei professori.

Nel frattempo vi propongo un test, utile sia per esercitare che per "misurare" il proprio senso dell'umorismo matematico.

Ecco 10 storielle umoristiche di argomento matematico. La loro comprensione non presenta particolari difficoltà poiché i concetti di aritmetica, geometria e logica coinvolti sono elementari: in pratica quelli che si imparano nella scuola dell'obbligo.

Un matematico è convinto che in un autobus ci siano 3 persone, ma ne vede uscire 5. Ci pensa un po' su, poi dice: "Affinché l'autobus sia vuoto devono entrare 2 persone."

Ad un gruppo di ingegneri fu chiesto di misurare l'altezza di un palo di legno. Essi tentarono di arrampicarsi sul palo portando con sé un decametro a nastro ma non riuscirono ad arrivare in cima e si diedero per vinti.

Lo stesso problema fu posto ad un matematico. Il matematico fece estrarre il palo dal terreno, lo fece posare in orizzontale e lo misurò con facilità.

Quando egli se ne fu andato, un ingegnere disse agli altri: "Il solito matematico! Noi vogliamo sapere l'ALTEZZA del palo e lui ha misurato la LUNGHEZZA!"

Un giornalista scientifico riportò la seguente notizia: "Grazie al supercalcolatore HAL-2001 è stato scoperto un nuovo numero primo. E' il più grande numero primo conosciuto. Pensate che è quattro volte più grande del precedente!"

Uno studente, sorpreso, gli chiede: "Lei crede veramente che il ferro di cavallo le porti fortuna nei suoi esperimenti?"

Il fisico risponde: "No, io non credo in queste superstizioni. Però ho sentito dire che funzionano anche se uno non ci crede."

Dieci. Prima controllano di essere esattamente in dieci. Poi uno lo fa e gli altri otto stanno a guardare.

Un giorno un proprietario terriero, che voleva recintare dei terreni spendendo il meno possibile, convocò un ingegnere, un geologo e un matematico e gli chiese: "In che modo si può delimitare l'area più grande possibile con il perimetro più piccolo possibile?"

L'ingegnere tracciò un cerchio enorme e proclamò che quella era la figura più efficiente.

Il geologo fece alcune misure con una bussola, tracciò una linea retta e disse: "Questa retta si trova su un meridiano. Se la prolunghiamo abbastanza farà il giro completo della Terra lungo una circonferenza. Questa è la linea più corta con la quale si può recintare addirittura metà del nostro pianeta."

Il matematico sorrise, prese un rametto, tracciò un piccolo cerchio attorno ai suoi piedi e disse: "Io dichiaro di essere all'esterno del recinto."

Cinque matematici e cinque medici andavano in treno ad un Congresso sui Metodi Statistici Applicati alla Medicina. I medici avevano cinque biglietti mentre i matematici ne avevano soltanto uno. I medici se la ridevano pensando alla multa che avrebbero dovuto pagare i loro stupidi compagni di viaggio.

Ad un certo punto uno dei matematici diede l'allarme: "Sta arrivando il controllore!" Tutti i matematici corsero alla più vicina toilette e si chiusero dentro.

Il controllore, vedendo che la toilette era occupata, bussò alla porta e disse: "Biglietto, prego!" La porta si socchiuse e spuntò una mano con il biglietto. Il controllore lo forò e lo restituì.

Quando il controllore se ne fu andato i matematici uscirono dalla toilette e andarono a sedersi tranquillamente, mentre i medici li osservavano sbalorditi.

Nel viaggio di ritorno i medici decisero di fare la stessa cosa e comprarono un solo biglietto. I matematici, invece, non ne comprarono neanche uno.

Ad un certo punto, durante il viaggio, uno dei matematici esclamò: "Sta arrivando il controllore!"

Uno dei matematici però, prima di raggiungere i suoi colleghi, bussò alla toilette dei medici e disse, imitando la voce del controllore: "Biglietto, prego!"

Due uomini ed una donna volano felici su una mongolfiera. Purtroppo la mongolfiera si sgonfia ed essi sono costretti ad atterrare in una valle sconosciuta.

Uno dei tre dice: "Ho un'idea. Chiediamo aiuto da questa valle e l'eco trasporterà le nostre voci molto lontano, dove qualcuno potrebbe udirle." Così egli si sporge dall'abitacolo e urla: "Aiutooooo! Dove siamooooo?" L'eco ripete la frase diverse volte.

Dopo circa un'ora i tre odono un'eco lontana che risponde: "Vi siete persi in una valleeeee!"

Un biologo, un fisico e un matematico sono in vacanza, in Sardegna. Durante una passeggiata vedono un gregge di pecore nere.

Il fisico, pensando di impressionare il matematico con la sua logica stringente, lo corregge: "No, caro. Noi sappiamo soltanto che in Sardegna ALCUNE pecore sono nere!"

Il matematico, disgustato, replica: "Sbagliate tutti e due. In realtà noi sappiamo soltanto che in Sardegna ALCUNE pecore sono nere da ALMENO un lato!"

Alle menti più dotate del mondo venne posta la seguente domanda: quanto fa 2 x 2 ?

L'ingegnere tirò fuori il suo regolo calcolatore, lo fece scorrere avanti e indietro per un po', poi annunciò: "3.99".

Il fisico consultò alcuni manuali tecnici, impostò la domanda sul suo computer, poi affermò: "E' compreso fra 3.98 e 4.02."

Il matematico ci pensò su per un po', ignaro del resto del mondo, poi dichiarò: "Non so qual è la risposta, ma posso dimostrare che esiste."

Il commercialista chiuse tutte le porte e le finestre, si guardò intorno con circospezione e chiese, a bassa voce: "Cerchiamo di metterci d'accordo. Quanto volete che faccia?"

Ahi, ahi, c'è qualcosa che non va. Ho dimenticato di dirti che devi togliere un punto dal tuo punteggio se ti ha fatto ridere di cuore la storiella n. 7, Come viaggiare in treno senza biglietto. No, no, non è per motivi legalistici. Piuttosto è perché questa è una barzelletta corporativa. Al posto dei matematici e dei medici ci potevano stare due qualsiasi altre categorie di persone e la barzelletta avrebbe funzionato lo stesso. Quindi non è una barzelletta sui matematici. E poi, perché proprio i matematici devono uscirne vincitori? Io li ho fatti uscire vincitori perché difendo la mia categoria, ma nella versione "originale" c'erano i matematici e gli ingegneri e la "bella figura" la facevano gli ingegneri!

Molto bene. Hai capito una cosa fondamentale: non solo la matematica ha un lato umoristico ma anche l'umorismo ha un lato matematico. Proprio per questo sei sensibile all'umorismo matematico e ridi di cuore, quando è il caso.

Pienamente sufficiente. A volte però hai qualche defaillance. Ad esempio, se uno ti dicesse: "Tutte le persone al mondo si dividono in tre categorie: quelli che sanno contare e quelli che non sanno contare.", tu, invece di chiedergli: "E tu, a quale categoria appartieni?", saresti capace di ribattere: "Ma non hai detto che le categorie sono tre?"

Per te, la matematica bisogna sopportarla perché è indispensabile per fare i conti. Se li fanno gli altri è meglio. Potresti essere definito un tipo-Darwin, il quale disse: "Un matematico è come una persona vestita di nero che cerca in una stanza buia un gatto nero che non c'è."

La risposta è sì, e per mostrarlo si possiamo esaminare la vasta produzione di "mathematical jokes" ovvero di battute di spirito basate proprio su procedimenti matematici.

I campi che vengono maggiormente utilizzati per costruire dimostrazioni umoristiche sono:

Le dimostrazioni umoristiche contengono sempre un errore più o meno sottile dal quale nasce dapprima l'aspetto ridicolo e poi una certa tensione.

Qui per "calcolo algebrico" intendo non soltanto l'algebra classica ma un qualunque sistema di regole che permette di operare formalmente con un insieme di simboli indipendentemente dal loro significato o meglio da una qualunque loro interpretazione.

Un classico esempio di calcolo algebrico è dato dalle regole del calcolo letterale e dalle tecniche per risolvere le equazioni.

Allo stesso modo esiste anche un'algebra della logica costituita dalle regole e dai simboli che permettono di costruire le proposizioni logiche e di operare con esse.

Prima di tutto perché per applicare le formule e le procedure algebriche è necessario sostituire gli enti matematici con i loro simboli in quanto le regole si applicano ai simboli e non agli enti che essi rappresentano.

In secondo luogo perché diverse tecniche di sostituzione vengono spesso applicate per semplificare equazioni, sistemi, integrali e così via.

Il lato umoristico del principio di sostituzione è collegato con l'idea di mascherarsi, di cambiare identità riuscendo così a risolvere in pochi passaggi problemi che a prima vista sembrano molto difficili.

La rapidità e la battuta fulminante sono elementi importanti sia nell'umorismo che nelle buone dimostrazioni matematiche.

Però non dobbiamo dimenticare che il principio di sostituzione ha anche un lato tragico: se non viene applicato con astuzia e attenzione può portare in una palude senza uscita e senza ritorno. Tant'è vero che lo scambio di persona e l'equivoco, ad esempio, vengono utilizzati sia nella commedia che nella tragedia, con risultati del tutto opposti.

Qui vorrei soltanto ricordare la famosa favola di........... in cui Pollicino e i suoi sei fratelli riuscirono a salvarsi mettendo i loro cappelli sulle teste delle sette figlie dell'orco che li aveva catturati e che voleva mangiarseli. Il feroce orco, durante la notte, basandosi solo sul senso del tatto, scambiò le sue figlie per i sette fratelli e le sgozzò tutte quante.

Vediamo ad esempio come viene applicato il principio di sostituzione in un esercizio di calcolo integrale.

Possiamo risolvere questo integrale con la seguente bizzarra sostituzione:

x = sin2 t

Prima di procedere dobbiamo calcolare:

dx = 2 sin t cos t dt

t = arcsen x

Il secondo integrale sembra più difficile del primo.

Invece bastano pochi rapidi passaggi per arrivare alla soluzione, facilissima.

E qui non può mancare un sorriso pensando all'autore mentre costruisce l'esercizio partendo proprio da questo risultato intermedio e procedendo a ritroso.

La soluzione finale è:

L'effetto comico del principio di sostituzione talvolta nasce da un sottile cambiamento di significato dei termini in gioco, come si nota nei due esempi seguenti.

Anche nell'esempio seguente c'è un sottile cambiamento di significato in una parola.

La dimostrazione è basata sull'osservazione, a debita distanza, dei coccodrilli e su due importanti lemmi.

Lemma 1. Il coccodrillo è più lungo che verde.
Guardiamo il coccodrillo: è lungo da cima a fondo ma è verde solo in cima. Perciò il coccodrillo è più lungo che verde.

Lemma 2. Il coccodrillo è più verde che largo.
Guardiamo il coccodrillo: è verde lungo tutta la sua lunghezza e anche lungo tutta la sua larghezza. Ma è largo solo lungo la sua larghezza. Perciò il coccodrillo è più verde che largo.

Dai lemmi 1 e 2, per la proprietà transitiva della relazione d'ordine, discende che il coccodrillo è più lungo che largo.

Nella precedente dimostrazione è stato leggermente modificato il significato della parola "più" quando si confronta una lunghezza con un colore.

Il metodo dell'induzione è un gioco di prestigio in cui si riesce a dimostrare un teorema generale basandosi soltanto su alcune osservazioni particolari.

La dimostrazione per induzione di una proposizione P(x) è costituita da due passi:

a) si dimostra P(a), cioè che la proposizione è valida per il più piccolo dei valori per i quali essa ha un senso. Il valore di a non è necessariamente l'unità.

b) si dimostra che P(n) implica P(n+1), cioè che se la proposizione è valida per un numero naturale n, allora è valida anche per il successivo di n, cioè n+1.

Da questi due passaggi si deduce, o meglio si induce, che la proposizione P vale in tutti i casi.

Vediamo un semplice esempio.

Teorema

Dimostrare che è possibile dividere n quadrati in parti tali che permettano di formare un nuovo quadrato.

Passo 1.

Cominciamo col dimostrare che la proposizione è valida per n=2.

Siano x , y (con x>y) le misure dei lati dei due quadrati (vedi figura).

Sui lati del quadrato più grande ABCD prendiamo i punti M, N, O, P tali che:

AM = BN = CO = DP = (x+y)/2 (la media dei due lati)

Tracciamo i segmenti PN, OM.

E' facile dimostrare che si incontrano nel centro del quadrato formando quattro angoli retti e che dividono il quadrato in quattro parti uguali.

Le quattro parti possono poi essere unite al quadrato piccolo per formare un quadrato più grande, come si vede nella figura.

Questa costruzione, oltre ad essere un esercizio di matematica ricreativa, può essere utilizzata per dimostrare un nostro vecchio amico: il teorema di Pitagora.

Passo 2.

Passiamo alla seconda parte della dimostrazione.

Accettando che la nostra proposizione sia valida per un insieme di n quadrati, dimostriamo che essa è valida per un insieme di n+1 quadrati, Q1, Q2, Q3, ...., Qn-1, Qn, Qn+1.

Togliamo due qualunque di questi n+1 quadrati, ad esempio Qn e Qn+1.

Secondo quanto abbiamo dimostrato al Passo 1 possiamo dividere uno di questi quadrati in quattro parti e unire le parti all'altro quadrato in modo da ottenere un nuovo quadrato Qs.

Inseriamo Qs nel nostro insieme di n+1 quadrati al posto di Qn e Qn+1.

Così abbiamo trasformato l'insieme di n+1 quadrati in un insieme di n quadrati Q1, Q2, Q3, ...., Qn-1, Qs che, per l'ipotesi induttiva si possono dividere in parti tali da formare un nuovo quadrato.

Il nostro teorema è quindi dimostrato.

Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli sono dello stesso colore.

Dimostriamo ora che: se k cavalli sono dello stesso colore (ipotesi induttiva) allora anche k+1 cavalli sono dello stesso colore.

Togliamone uno dall'insieme, così abbiamo k cavalli. Per l'ipotesi induttiva questi cavalli sono dello stesso colore.

Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Anche in questo caso i k cavalli rimanenti sono dello stesso colore.

Ripetiamo l'operazione per tutti i cavalli dell'insieme. Avremo sempre che qualunque sottoinsieme di k cavalli sono dello stesso colore. Possiamo quindi dedurre che i k+1 cavalli sono dello stesso colore.

Nella dimostrazione per assurdo si comincia col supporre momentaneamente vera la negazione del teorema che si vuole dimostrare. Per dimostrare A ci si chiede: che cosa succederebbe se fosse vero non-A?

Si dimostra quindi che da non-A può derivare una conseguenza in contraddizione con non-A stesso oppure con un altro teorema dimostrato in precedenza oppure con un assioma della teoria in cui si sta lavorando.

Siccome in matematica non sono accettabili teoremi che si contraddicono l'uno con l'altro, allora si deduce che non-A non è accettabile e ciò equivale ad aver dimostrato non-non-A, cioè A.

Euclide nei suoi Elementi utilizza per la prima volta la reductio ad absurdum nel libro I, prop. 6.

Se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro, anche i lati opposti agli angoli uguali saranno uguali fra loro.

Sia ABC = ACB

Allora AB = AC

Supponiamo per assurdo che AB AC.

Allora uno dei lati sarà maggiore dell'altro. Possiamo supporre che:

AB > AC

Fissiamo D in modo che:

BD = AC

e tracciamo il segmento CD.

Si può dimostrare facilmente che i triangoli DBC e ACB sono uguali poiché hanno due lati e l'angolo compreso ordinatamente uguali.

Il triangolo ABC sarebbe quindi uguale ad una sua parte.

Ciò contraddice la Nozione comune VIII la quale afferma: "Il tutto è maggiore della parte."

Perciò non-( AB AC) che equivale a AB=AC.

Euclide non ha scritto soltanto di geometria. Nei libri VII, VIII e IX degli Elementi si dedica, direi quasi che si diverte, a gettare le basi dell'aritmetica intesa come teoria dei numeri interi, che approfondirà nel ben più difficile libro X.

Trattando l'aritmetica egli fa largo uso della dimostrazione per assurdo, anche in certi casi in cui potrebbe dare la dimostrazione diretta.

Ad esempio nel libro VIII, prop. 7.

Se si danno quanti si voglia numeri (interi) in proporzione continua, ed il primo divide l'ultimo, esso dividerà anche il secondo.

In simboli:

a:b = b:c = c:d = d:e = ...... = m:n

Se a divide b allora a divide m.

"x divide y" significa che y/x è un numero intero.

Supponiamo che sia vero il contrario, cioè che non tutti i numeri interi positivi siano interessanti.

In tal caso esisterà il più piccolo numero non interessante. Ma,... ehi! questo è molto interessante! Contraddizione.

Questa disuguaglianza è valida perchè x è il più piccolo numero reale positivo, perciò qualunque altro numero positivo deve essere maggiore o uguale di x.

Il fatto è che l'insieme dei numeri reali positivi (0; +) è aperto e perciò non ha un minimo.

Il nostro teorema, al contrario, afferma che esso ha un minimo e ciò porta ad un risultato assurdo.

Tutti i casi che abbiamo esaminato hanno qualcosa in comune: l'effetto umoristico è dato dalla presenza di un errore più o meno sottile nella dimostrazione.

Potremmo pensare che si sta ripetendo la stessa brutta storia di quel passante che rise di scherno quando Talete cadde nel fosso.

Potremmo anche pensare che si ride dell'errore matematico per esorcizzare la sua più terribile conseguenza: la non-coerenza della matematica. Se infatti una proposizione falsa, come ad esempio 2=1, diventasse un teorema matematico allora si potrebbe dimostrare tutto, e una teoria matematica in cui si può dimostrare tutto è non-coerente. Cioè inutile e ridicola.

Ma io penso che non sia così. La matematica è capace di auto-ironia ed ha l'audacia di sfidare il ridicolo. Soltanto chi ha grande umiltà e grande prestigio può affrontare il ridicolo ed uscirne sorridente e vincitore.

La matematica, dopo la grande crisi dei fondamenti dei primi decenni del 1900, ha rafforzato proprio queste due caratteristiche:

Anche se può sembrare strano, la matematica ha una storia antichissima che sta al di sopra del nascere e del decadere delle varie civiltà. Ad esempio sull'osso di Isangho, che risale a circa 20.000 anni fa, sono incise le più antiche rappresentazioni simboliche di enti matematici conosciute.

Il lato comico della matematica