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Una considerazione personale, ma non solo
I problemi di questa pagina non mi attirano
molto.
Si tratta di esercizi che riguardano le proprietà delle rappresentazioni
dei numeri piuttosto l'essenza dei
numeri stessi. E il matematico che desidera conoscere i
numeri tende a liberare la propria mente dai molteplici
modi in cui i numeri stessi possono essere scritti,
ovvero rappresentati.
G. H. Hardy, nel libro A Mathematician's Apology, 1940,
afferma, a proposito di questo tipo di esercizi: "These
are odd facts, very suitable for puzzle columns and
likely to amuse amateurs, but there is nothing in them
which appeals to a mathematician."
1. Duemilacinquecentonovantadue
Tutti sanno che 2653
è ben diverso da 2693
Infatti 2653
= 64 * 125 = 8000 che è diverso da 2693.
Ma non sempre è così.
Un giorno un tipografo invece di scrivere abca
scrisse abca, dove al posto di a, b, c,
a stavano delle cifre.
Il correttore delle bozze segnalò l'errore al tipografo,
ma quest'ultimo, dopo aver osservato il numero, rispose:
"Che problema c'è? Il risultato è lo stesso!"
Che numero era?
Ovvero, quali cifre stavano al posto di a, b, c?
Dudeney, 1917
2. Il tipografo recidivo
Lo stesso tipografo del problema precedente
commetteva spesso errori di stampa, ma non di matematica.
Ecco altri due esempi:
ab
ab/cd = ab ab/cd
ab bcd =
abbcd
Di quali numeri si tratta?
Donald L. Vanderpool, 1962
3. Il numero magico 1089
Osserviamo le seguenti moltiplicazioni.
1089 x 9 = 9801
1089 x 1= 1089
1089 x 8 = 8712
1089 x 2 = 2178
1089 x 7 = 7623
1089 x 3 = 3267
1089 x 5 = 5445
Quale proprietà del 1089 possiamo dedurne e come possiamo spiegarla?
4. I numeri e i loro retrogradi
Nei seguenti esercizi i numeri sono indicati come
sequenze di cifre espresse con lettere dell'alfabeto.
Dato un numero abc, definisco retrogado
di abc il numero cba, ottenuto scrivendo le cifre in
senso inverso.
Trovare i numeri che soddisfano le seguenti uguaglianze.
Ball, 1914
5. Un esercizio di criptoaritmetica
4 * TRAMS = SMART
Liz Allen, 1991
Questo esercizio potrebbe essere formulato anche così:
Trovare un numero di quattro cifre ABCD tale che moltiplicato per quattro dia le stesse cifre in ordine inverso. Precisamente deve risultare:
ABCD·4 = DCBA
con A, B, C e D tutte cifre diverse tra loro.
6. Un problema di Augustus De Morgan
Trovare un numero ab costituito da due cifre a,b
tale che:
ab + 18 = ba
sapendo che a + b = 6
Augustus De Morgan, Arithmetic and Algebra, 1831
Risposte & riflessioni
1. Duemilacinquecentonovantadue
2592
2. Il tipografo recidivo
25 * 25/31 = 25 25/31 (qui si usa la
notazione americana 25 25/31 = 25 + 25/31)
34 * 425 = 34425
3. Il numero magico 1089
Notiamo che 1089 = 1100 - 11 perciò k * 1089 =
kk00 - kk = k,k-1,9-k,10-k.
Da ciò deduciamo che k*1089 è il retrogrado di (10-k)*1089.
4. I numeri e i loro retrogradi
G. H. Hardy, nel libro A Mathematician's Apology, 1940,
afferma che 8712 e 9801 sono gli unici due numeri di 4
cifre che sono multipli dei loro rispettivi retrogradi.
E aggiunge: "These are odd facts, very suitable
for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but
there is nothing in them which appeals to a mathematician."
5. Un esercizio di criptoaritmetica
Soluzione inviata da Dino
L'unico numero risulta essere ABCD = 2178, infatti 2178·4 = 8712 che è il numero DCBA con le cifre in ordine inverso.
Ora la spiegazione: il numero ABCD è certamente
minore di 2500 visto che questo moltiplicato per quattro
dà un numero di cinque cifre (infatti 2500·4 = 10000).
Da ciò discende che A è un numero inferiore od uguale a
due.
Escludiamo il caso banale di A = 0 che porterebbe
all'espressione BCD·4 = DCB0 il che si otterrebbe solo
con D = 5 vale a dire BC5·4 = 5CBA, ma moltiplicando un
numero di tre cifre per quattro non si otterrà mai un
numero di quattro cifre che inizia con cinque (985·4 =
3940).
Essendo il problema impossibile con A = 0, resta in piedi
una delle due ipotesi: A = 1 oppure A = 2.
Di queste due ipotesi possiamo scartare subito anche A =
1 poichè il numero DCBA terminerebbe con 1 e non
potrebbe essere divisibile per quattro!
Dunque A = 2 ed inoltre:
2BCD·4 = DCB2
Di conseguenza, moltiplicando due per quattro, si ricava che D potrà essere solo pari ad otto o al massimo nove a seconda se c'è ache il riporto di uno quando si effettua l'operazione B·4. Ma dovendo inoltre risultare A = 2 = D·4 allora D non potrà mai essere pari a nove per cui è sicuramente D = 8 (infatti 9·4 = 36, mentre 8·4 = 32). Siamo così giunti alla condizione:
2BC8·4 = 8CB2
ed abbiamo visto anche che il prodotto B·4 non deve
dare alcun riporto.
Questo significa allora che B dev'essere minore di tre (altrimenti
ci sarebbe un riporto) e comunque anche non nullo (altrimenti
si avrebbe che B = C mentre sappiamo che tutte le cifre
sono diverse).
Avendo assegnato ad A già il valore 2 non resta che B
= 1.
E' possiblile però dimostrare che non esisterebbero
soluzioni neppure volendo ripetere le cifre e quindi con
anche B = 2: infatti, dall'espressione precedente
risultando 8·4 = 32 abbiamo un riporto di tre, e quindi
dispari, sulla cifra delle decine che è proprio B che va
ad aggiungersi al prodotto C·4 che invece è senz'altro
pari, ma dispari più pari è comunque un numero dispari
e di conseguenza non può essere B pari a due.
Riepilogando siamo giunti alla:
21C8·4 = 8C12
Per ricavare infine C basta risolvere la semplice relazione:
(2108 + 10·C)·4 = 8012 + 100·C
che porta all'unica soluzione C = 7 vale a dire:
2178·4 = 8712
che è chiaramente soddisfatta.
6. Un problema di Augustus De Morgan
di Alan Viezzoli
Per risolvere il problema basta risolvere
il sistema
10a+b+18=10b+a
a+b=6
che dà come soluzione a=2 e b=4.
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