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Sono enunciati che parlano di se stessi. La logica matematica ha studiato attentamente questo tipo di enunciati
Che cosa sono le proposizioni autoreferenziali?
Sono proposizioni che parlano di se stesse.
Esempi
"Roma è la capitale d'Italia" non è autoreferenziale.
"Questa frase è scritta in italiano" è autoreferenziale.
Una domanda autoreferenziale chiede qualcosa di se stessa.
Esempio
Quante vocali ha la risposta corretta di questa domanda?
A) Cinque, B) Quattro, C) Tre, D) Due, E) Una
La riposta esatta, in italiano, è C) Due, perché 2 è l'unico numero che, scritto in lettere, ha un numero di vocali uguale al numero stesso, cioè 2.
Nota. La domanda è tratta dall'Olimpiade Brasiliana di Matematica 2012, prima fase, livello 3.
Esistono anche sistemi autoreferenziali costituiti da diverse proposizioni che possono:
All'interno di un sistema autoreferenziale deve esistere almeno una
proposizione di tipo 2.
Esempio
--- inizio sistema
--- fine sistema
Nel precedente elenco, quali sono le proposizioni vere e quelle false?
Per risolvere il problema esistono vari metodi sistematici.
Vediamone due, che ho chiamato: metodo panzer e metodo albero.
Si scrivono tutti i possibili valori di verità delle tre proposizioni.
1 2 3
-----
V V V x m
F V V
V F V o m
F F V x
V V F x
F V F o m
V F F
F F F x m
-----
Si procede quindi ad eliminare le combinazioni auto-contraddittorie.
Ad esempio, la 1 e la 2 non possono essere entrambe vere né entrambe false.
Possiamo quindi eliminare alcune combinazioni (con una x)
Inoltre, se la 2 è vera, deve esserlo anche la 3 percò la 2 e la 3 non possono
avere valore di verità diverso. (con una o)
Infine, la 1 e la 3 non possono avere valore di verità uguale. (con una m).
Come si vede, questo criterio non aggiunge nulla di nuovo a quanto si sapeva
già.
Rimangono due possibili soluzioni.
Soluzione 1) 1 Falsa, 2 Vera, 3 Vera.
Soluzione 2) 1 Vera, 2 Falsa, 3 Falsa.
...
1. Quante parole ci sono in una frase?
"Questa proposizione è formata da otto parole"
E' chiaro che l'enunciato precedente è falso perchè è formata da sette
parole.
Pertanto il suo contrario dovrebbe essere vero.
E' corretto questo ragionamento?
2. Completare le frasi
Completa le seguenti frasi in modo che siano vere.
N.B. Al posto dei "..." va inserito un numero espresso in lettere.
In questa frase ci sono esattamente ... parole.
In questa frase ci sono esattamente ... sillabe.
In questa frase, anche se non lo sembra, ci sono ... vocali.
(JEM con variazioni)
3. Tre enunciati falsi
Quali sono gli errori?
4. Errori
Quali sono gli errori?
5. Cinque enunciati quasi uguali
Quali enunciati del seguente elenco sono veri?
Inizio elenco---------------
Fine elenco----------------
6. Dieci enunciati quasi uguali
Quali enunciati del seguente elenco sono veri?
Inizio elenco---------------
Fine elenco----------------
7. Cento enunciati quasi uguali
Un elenco contiene 100 enunciati numerati da 1 a 100. L'enunciato
n-esimo afferma "Esattamente n enunciati di questo elenco sono falsi."
Quali enunciati dell'elenco sono veri e quali falsi?
Quali invece sono veri e quali falsi se sostituiamo "esattamente" con
"almeno"?
(rec.puzzles Archive)
1. Quante parole ci sono in una frase?
E' falso anche il suo contrario, se lo enunciamo così:
"Questa proposizione non è formata da otto parole"
Infatti essa è formata da otto parole!
Forse la mia soluzione è stata troppo sbrigativa, per cui riporto le osservazioni di Andrea Baisero.
Mi sono messo a ragionare e sono arrivato alla conclusione che la sua soluzione è errata... va bene che forse è un enigma per passare il tempo, e che quindi non bisognerebbe essere troppo pignoli a riguardo, ma nel caso che lei fosse veramente convinto che la sua soluzione sia quella vera le propongo il mio ragionamento, con l'augurio di ricevere una risposta per vedere che ne pensa lei.
Allora, ragionando sono arrivato a due premesse:
1. Una frase puo essere Vera, Falsa o nessuna delle due. Inutile dimostrare le prime due, per la dimostrazione della terza basta la frase "questa frase è falsa".
2. Il contrario di una frase falsa è una frase vera, e viceversa. E su
questo punto discordano la sua soluzione e la mia. Il problema che ritengo alla
base del suo errore è che nel processo di negazione della frase "questa frase
contiene otto parole" lei sta cambiando la frase stessa, cambia l'oggetto che
stiamo negando. Bisogna invece essere sicuri che durante il processo di
negazione non si cambi l'oggetto stesso, altrimenti è ovvio che la negazione
non sarà una negazione ed avrà risultati incogniti. Chiamiamo A la frase
"questa frase contiene otto parole", se vogliamo negare A, la soluzione non è,
come verrebbe istintivo dire, "questa frase non contiene otto parole", poiché
possiamo constatare che la frase non è piu uguale ad A, ma è B, quindi non
abbiamo negato A per niente. La soluzione che ritengo giusta è invece una che
espliciti l'oggetto allo stato iniziale, in modo che rimanga invariato durante
il processo di negazione. Quindi la soluzione è: "la frase "questa frase
contiene otto parole" non contiene otto parole".
2. Completare le frasi
In questa frase ci sono esattamente otto parole.
In questa frase ci sono esattamente ... sillabe. (non risolvibile?)
di Alan Viezzoli
Il problema può essere risolto se contiamo le sillabe come si fa in
poesia.
In questo caso il numero 18 è la soluzione perché...
In que -sta fra -se ci so -no_e -sat -ta -men -te di -ciot -to sil -la -be.
La sillaba -no, infatti si lega con la sillaba e- (sinalefe).
In questa frase, anche se non lo sembra, ci sono ventiquattro vocali.
3. Tre enunciati falsi
E' facile individuare due enunciati falsi: 3x6=17 e 13-6=5. L'unico
altro enunciato che potrebbe essere falso è il primo, che afferma: "In questo
elenco ci sono tre enunciati falsi.", ed esso stesso fa parte dell'elenco.
A questi punti siamo di fronte ad un'antinomia: l'enunciato in questione non
può essere né vero né falso.
Infatti:
4. Errori
Gli errori sono soltanto due e sono i seguenti:
5. Cinque enunciati quasi uguali
Visto che gli enunciati si contraddicono a vicenda, solo uno di essi
può essere vero.
E' vero soltanto il n. 4:
"Esattamente 4 enunciati di questo elenco sono falsi."
Il che equivale a dire "Esattamente 1 enunciato di questo elenco è vero."
6. Dieci enunciati quasi uguali
Rocco Si
Negli elenchi di N proposizioni come: "Almeno n enunciati di questo elenco sono
falsi",
è facile verificare che:
1) se è vero n, sono veri tutti gli <= a n
2) quindi il max valore per n deve soddisfare la seguente:
N - n = n
quindi n = N/2
7. Cento enunciati quasi uguali
Come il problema 6, fatte le opportune sostituzioni.
Visto che gli enunciati si contraddicono a vicenda, solo uno di essi può essere
vero.
E' vero soltanto il n. 99:
"Esattamente 99 enunciati di questo elenco sono falsi."
Il che equivale a dire "Esattamente 1 enunciato di questo elenco è vero."
Lavori in corso...
Data creazione: settembre 2000
Ultimo aggiornamento: luglio 2012
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