[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Bugiardi e sinceri

Un classico problema di logica

Bugiardi e sinceri - livello 1

Questo è un vecchio problema logico. Lo ripropongo come introduzione a un altro problema più difficile: Three gods: The hardest logic puzzle ever (L'indovinello più difficile del mondo), pubblicato da George Boolos nel 1996 su The Harvard review of philosophy. Anche quest'ultimo problema è ormai un classico, ma ci sono delle novità segnalate il 7 gennaio 2013 nelle Math News di Umberto Cerruti.

Ma procediamo per gradi.

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Stai cercando la strada per il Paradiso e giungi a un bivio.

Sei certo che una delle due strade porta al Paradiso mentre l'altra porta all'Inferno. Ma non c'è nessun cartello indicatore perciò non sai da che parte andare.

Il bivio è sorvegliato da due guardiani. Uno di essi risponde sempre in modo veritiero alle domande che gli sono rivolte e l'altro mente sempre. Purtroppo tu non hai la minima idea di quale sia il guardiano sincero e quale il bugiardo.

Invece i due guardiani si conoscono bene e sanno chi è il SINCERO e chi è il BUGIARDO.

Ti è concesso di rivolgere una sola domanda a uno solo dei guardiani.

Come puoi individuare la strada per il Paradiso?

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E' chiaro che non puoi chiedere semplicemente: "Qual è la strada per il Paradiso?" oppure, indicando una delle due strade, "E' questa la strada per il Paradiso?". Non sapresti se la risposta è vera o falsa.

Devi invece porre una domanda più raffinata. Quale?

Risposta

Ti rivolgi a uno qualsiasi dei due guardiani e gli chiedi, indicando una qualsiasi delle due strade (prendiamo come esempio quella di sinistra):

"Se io chiedessi al tuo compagno se la strada di sinistra porta al Paradiso, egli che cosa mi risponderebbe?"

La risposta sarà un "SI" oppure un "NO" e sarà certamente FALSA.

Perciò tu prenderai l'altra strada.

Perché entrambi i guardiani sono costretti a dare la risposta FALSA a questa domanda?

Consideriamo tutte le situazioni possibili:

La strada di sinistra potrebbe portare o non portare al Paradiso.
Il guardiano a cui hai rivolto la domanda potrebbe essere SINCERO o BUGIARDO.

Ci sono 4 casi possibili:

La strada porta in paradiso e il guardiano è sincero.
Il compagno del guardiano è bugiardo e risponderebbe "NO".
Il guardiano a cui hai fatto la domanda è sincero, perciò ti riferisce fedelmente la risposta del suo compagno, cioè ti risponde "NO", che è FALSO.
Perciò tu prendi quella strada.
La strada porta in paradiso e il guardiano è bugiardo.
Il compagno del guardiano è sincero e risponderebbe "SI".
Il guardiano a cui hai fatto la domanda è bugiardo, perciò ti riferisce il contrario della risposta del suo compagno, cioè ti risponde "NO", che è FALSO.
Perciò tu prendi quella strada.
La strada non porta in paradiso e il guardiano è sincero.
Il compagno del guardiano è bugiardo e risponderebbe "SI".
Il guardiano a cui hai fatto la domanda è sincero, perciò ti riferisce fedelmente la risposta del suo compagno, cioè ti risponde "SI", che è FALSO.
Perciò tu prendi l'altra strada.
La strada non porta in paradiso e il guardiano è bugiardo.
Il compagno del guardiano è sincero e risponderebbe "NO".
Il guardiano a cui hai fatto la domanda è bugiardo, perciò ti riferisce il contrario della risposta del suo compagno, cioè ti risponde "SI", che è FALSO.
Perciò tu prendi l'altra strada.

Questa domanda è costruita in modo che:

il bugiardo risponde il contrario di ciò che risponderebbe il sincero, cioè il FALSO;
il sincero risponde fedelmente di ciò che risponderebbe il bugiardo, cioè il FALSO.