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Un particolare ringraziamento a Ronfo per aver postato questo problema al Forum (4/04/05 20:01:06) e a Gaspero e Paolo per aver inviato la soluzione.
Ravanando tra i libri che ho in soffitta è saltato fuori un
interessante manualetto di giochi matematici ( per ora non vi svelo qual’è) .
Sfogliando questo libricino ho trovato un interessante problema che, per quanto
mi concerne, crea difficoltà nella formulazione dell’equazione risolutiva.
Ve lo propongo così come l’ho trovato.
Un turista inglese nel selvaggio e nebuloso West fu informato dal suo
albergatore che poteva scegliere fra 4 modi diversi per raggiungere Piketown:
1) poteva coprire tutto il percorso con la diligenza. In questo caso era compresa anche una sosta di 30 minuti ad una stazione di ristoro lungo la strada.
2) Poteva fare tutto il percorso a piedi. Partendo dall’albergo nello stesso momento della diligenza quest’ultima lo avrebbe preceduto di un miglio a Piketown.
3) Poteva andare a piedi fino alla stazione di ristoro, poi prendere la diligenza. Partendo contemporaneamente alla diligenza , quest’ultima avrebbe raggiunto la stazione nel momento in cui lui aveva percorso 4 miglia; tuttavia la sosta di 30 minuti gli consentiva di arrivare proprio nel momento in cui la diligenza stava partendo, per cui avrebbe fatto in tempo a prenderla e giungere così alla meta.
4) Infine poteva prendere la diligenza fino a alla stazione di ristoro e, senza sostare, completare a piedi il percorso. Questo era il modo più veloce di tutti, egli avrebbe raggiunto Piketown 15 minuti prima della diligenza.
Quanto era distante l’albergo da Piketown ?
PS. Sbirciando , lo confesso, la soluzione ho scoperto che al posto delle miglia si possono mettere i chilometri.
Nota storica.
Il problema How far to Piketown è tratto dalla famosa Cyclopedia
dei puzzles di Sam Loyd.
Si trova anche nell'antologia More Mathematical Puzzles, curata da Martin
Gardner, Dover Publications
Ultimo aggiornamento: aprile 2005
Gaspero
La 3 ci dice che se il turista a piedi (P) e la diligenza (D) partono
insieme di fatto ripartono insieme dopo la sosta della D.
La 2 ci dice che partendo insieme dalla sosta D all'arrivo precede P di 1 km.
La 4 ci dice che se P parte 30' prima arriva 15' prima di D, per cui se
partissero insieme D arriverebbe 15' prima di P, e confrontando con la frase
precedente si ha che P in 15' percorre 1km.
La 4 ci dice che la sosta dista dalla partenza 4 km + “30 minuti”, cioè 6
km, e poiché quando P percorre 4 km la diligenza è 30' avanti sarà 15' avanti
quando P percorre 2 km.
Risultato: 6 km fino alla sosta e 2 km + 15' fino a Piketown = 9 km.
Gianfranco Bo
Prima di tutto ringrazio Ronfo per aver postato il problema e faccio i miei
vivissimi complimenti a Gaspero per la soluzione "senza equazioni".
Penso che quella di Gaspero sia la migliore soluzione, quella che Sam Loyd si
sarebbe aspettato.
Perché, se non sbaglio, "How far to Piketon" dovrebbe essere un
problema di Sam, ripubblicato da Martin Gardner.
Ronfo, qual era il manualetto che hai trovato in soffitta?
Per venire incontro alla richiesta di Ronfo, provo a risolverlo con delle
"banali" equazioni.
Ricordo le formule della velocità media:
v=s/t
s=vt
t=s/v
Dalla prima informazione:
1) poteva coprire tutto il percorso con la diligenza. In questo caso , era
compresa anche una sosta di 30 minuti ad una stazione di ristoro lungo la
strada.
si ricava:
(1) s = vd*td
(percorso=v diligenza * t diligenza, senza contare la sosta)
Dalla seconda indicazione:
2) Poteva fare tutto il percorso a piedi. Partendo dall’albergo nello stesso
momento della diligenza quest’ultima lo avrebbe preceduto di un miglio a Piketown.
si ricava:
(2) s=vp(td+0,5)+1
percorso=v pedone * (t diligenza + mezz'ora) + 1 km
Dalla (1) e dalla (2) si ricava che:
(3) vd*td=vp(td+0,5)+1
Dalla terza indicazione:
3) Poteva andare a piedi fino alla stazione di ristoro, poi prendere la
diligenza. Partendo contemporaneamente alla diligenza , quest’ultima avrebbe
raggiunto la stazione nel momento in cui lui aveva percorso 4 miglia ; tuttavia
la sosta di 30 minuti gli consentiva di arrivare proprio nel momento in cui la
diligenza stava partendo, per cui avrebbe fatto in tempo a prenderla e giungere
così alla meta.
si ricava:
(4) vd*t1=vp*0,5+4
(5) vp*t1=4
dove t1=tempo impiegato dalla diligenza a percorrere il primo tratto
Dalla quarta indicazione:
4) Infine poteva prendere la diligenza fino a alla stazione di ristoro e,senza
sostare, completare a piedi il percorso. Questo era il modo più veloce di
tutti, egli avrebbe raggiunto Piketown 15 minuti prima della diligenza.
si ricava:
(6) vd*t2=vp(0,25+t2)
dove t2=tempo impiegato dalla diligenza a percorrere il secondo tratto
Si ha inoltre che:
(7) t1+t2=td
Addiziono la (4) e la (6):
(8) vd*td=vp*(0,75+t2)+4
Confronto la (8) con la (3):
(9) vp(td+0,5)+1=vp*(0,75+t2)+4
Opero sulla (9)
(10) vp(t1-0,25)=3
Sostituisco la (5) (vp*t1=4)
(11) vp*0,25=1
Da cui ricavo:
(12) vp=4 km/h
Dalla (5) ricavo:
(13) t1=1 h
Sostituisco vp e t1 nella (4)
(14) vd=4*0,5+4
Da cui:
(15) vd=6 km/h
Sostituisco vp,vd nella (6)
(16) 6*t2=4(0,25+t2)
Da cui:
(17) t2= 0,5 h
Infine:
(18) td=1,5 h
(19) s=vd*td=6*1,5=9 km
Dunque Piketown dista 9 km.
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