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Attraversare un fiume

Ringrazio Pinocchio per aver inviato questo problema al Forum

Le sponde di un grande fiume distano fra loro 2 km.
Un omino è fermo su una sponda ed a 5 km dal punto opposto c'è la sua casa sul fiume.
L'omino è in grado di nuotare a 2 km/h e di camminare a 4 km/h.
Che percorso deve fare per arrivare a casa il più presto possibile?

luglio 2004

Risposte & riflessioni

Risposta inviata da Pasquale.
Traccio il triangolo rettangolo ABC, retto in B, in cui AB=2 è la distanza fra le sponde del fiume; BC=5 è la distanza fra la casa ed il punto B, opposto all'omino che si trova in A.
Traccio fra B e C un punto P e indico BP con x, per cui:

CP = 5-x
AP = sqr(4 + x^2)

Qui, presupponendo che non ci sia corrente, perché non prevista dal testo, consideriamo che l'omino faccia il tratto AP a nuoto, alla velocità di 2 km/h, e il tratto CP a piedi, alla velocità di 4 km/h. Perciò il tempo di percorrenza da minimizzare è dato da:
t = sqr(4+x^2)/2+(5-x)/4
t' = x/[2*sqr(4+x^2)]-1/4 ; che si annulla per x = 2*sqr(3)/3

t''(x) >0, e quindi per x = 2*sqr(3)/3 t = [2*sqr(3) + 5)]/4 = 2,116 h (circa) = 2h + 6m + 57s + 6s/10 è minimo.

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