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Problemi d'incontro e di sorpasso

1. Incontro di due viaggiatori
Un viaggiatore, chiamiamolo Marco, impiega 6 giorni per percorrere una certa strada.
Un altro viaggiatore, chiamiamolo Cristoforo, impiega 8 giorni per percorrere la stessa strada.
Marco e Cristoforo partono nello stesso istante dai due estremi opposti della strada e viaggiano l'uno verso l'altro.
Quando si incontreranno?

2. Incontro di due automobili
Due automobili partono dai due estremi opposti di una strada lunga 100 km e viaggiano l'una verso l'altra.
La prima auto viaggia ad una velocità costante di 40 km/h.
La seconda auto viaggia ad una velocità costante di 80 km/h.
Dopo quanto tempo ed in quale punto della strada si incontreranno le due automobili?

3. Andando alla stazione
Marco e Cristoforo sono due fratelli che abitano nella stessa casa.
Marco impiega 20 minuti per andare a piedi alla stazione.
Cristoforo, invece, va in bicicletta e impiega 5 minuti (y<x)
Oggi Cristoforo è partito 6 minuti dopo Marco, per andare in stazione.
Dopo quanto tempo dalla propria partenza Cristoforo sorpasserà Marco?

4. Una passeggiata di formiche
Due formiche vanno dal formicaio A al formicaio B camminando a velocità diverse ma costanti, lungo una linea retta.
La più lenta parte in un certo istante dal formicaio A, percorrendo 300 cm al minuto.
La più veloce parte dopo 1/4 minuto, dallo stesso formicaio A, raggiunge la più lenta e ritorna al formicaio A dopo 3/4 di minuto dal momento della sua partenza.
Quanto è veloce la più veloce?

5. Il giunco e il carice crescono
Un seme di giunco appena germinato cresce ogni giorno di un po', nel modo seguente:
il primo giorno cresce di 3 cm, il secondo giorno di 3/2 cm, il terzo di 3/4 cm, e così via.
Un seme di carice, invece, cresce ogni giorno nel modo seguente:
1 cm, 2 cm, 4 cm, e così via.
Si suppone che all'inizio del primo giorno i semi siano appena germinati e la lunghezza iniziale delle piantine sia nulla.
Dopo quanto tempo le due piantine avranno la stessa altezza?
Mikami

6. Galleria di due talpe
Due talpe sono separate da 5 metri di terra.
La prima scava ogni giorno un tratto di galleria nel modo seguente: 1 m, 2 m, 4 m, ...
La seconda scava ogni giorno: 1 m, 1/2 m, 1/4 m, ...
Quando si incontreranno?

7. Incontro di cavalli
Due cavalli partono contemporaneamente alla volta di una città distante 3000 km.
Il primo cavallo percorre ogni giorno rispettivamente 193 km, 206 km, 219 km, 232 km, e così via.
Il secondo cavallo invece percorre ogni giorno rispettivamente 97 km, 96.5 km, 96 km, 95.5 km, e così via.
Il più veloce raggiunge la città e torna indietro.
Quando raggiunge il più lento?

8. Ugualmente ricchi
Un uomo ha 6 perle e 100 monete.
Un altro ha 8 perle e 60 monete.
I due uomini sono ugualmente ricchi.
Sapendo che le perle sono tutte uguali e le monete hanno lo stesso valore, quante monete vale una perla?
Solve ax + b = cx + d.
Aryabhata, 499

9. Guadagnare e spendere
Un uomo ha 30 euro.
Ogni giorno, dapprima guadagna i 5/2 di quello che ha e poi spende i 9/3 di quello che ha.
Dopo quanti giorni rimarrà senza soldi?

10. Andata e ritorno di due corridori
Due corridori partono contemporaneamente per una destinazione distante 70 km.
Le loro velocità sono rispettivamente di 1 km/h e 6 km/h.
Il più veloce dei due, al ritorno, incontra il più lento. Dopo quanto tempo dalla partenza?
Kaye

11. Ancora atleti che vanno e vengono
Due corridori partono contemporaneamente per una destinazione distante 100 km.
Le loro velocità sono rispettivamente di 2 km/h e 8 km/h.
Il più veloce dei due, al ritorno, incontra il più lento. Quando e dove si incontrano?
Sridhara, 900

12. Il cane e la lepre
Un cane insegue una lepre.
Il cane corre a 9 m/sec e la lepre a 7 m/sec.
Se sono distanti 150 m, dopo quanto tempo il cane raggiungerà la lepre?
Alcuin, 900, Propositio de campo et cursu canis ac fuga leporis.

13. Inseguimento di navi
Una nave che percorre 380 miglia al giorno parte 24 giorni dopo un'altra nave e la raggiunge in 85 giorni.
Qual è la velocità della nave più lenta?

14. Il cane e la volpe
Un cane insegue una volpe che sta fuggendo con una gallina in bocca.
La volpe dista dal cane 40 balzi-volpe.
Si sa che 3 balzi-cane = 5 balzi-volpe.
Quanti balzi dovrà fare il cane per raggiungere la volpe?
Dell'Abbaco, 1370

15. Segugio all'inseguimento
Un segugio insegue una lepre.
I due animali distano 100 m e la lepre percorre 7 m nello stesso tempo in cui il cane ne percorre 10.
Quando e dove il cane raggiungerà la lepre?
Dell'Abbaco, 1370

16. La lepre in fuga
Una lepre inseguita da un cane ha 70 m di vantaggio.
Un balzo del cane è 7/5 di un balzo della lepre e dura lo stesso tempo.
Quanti balzi dovrà fare il cane per raggiungere la lepre?
Muscarello, 1478

17. Una pista circolare è lunga 268 m.
Due ciclisti iniziano a correre nello stesso senso, partendo dagli estremi di un diametro.
Le velocità dei ciclisti sono rispettivamente 22/2 m/s e 34/3 m/s.
Quando e dove si incontreranno la prima volta?
Pike, Arithmetic, 1788

18. La lepre si salverà?
Una lepre dista 80 balzi-lepre da un segugio che la sta inseguendo.
La lepre fa 3 balzi nello stesso tempo in cui il segugio ne fa 2.
Ma il balzo-segugio è lungo il doppio del balzo-lepre.
Il segugio riuscirà a raggiungere la lepre?
Augustus De Morgan, Arithmetic and Algebra, 1831

19. Coppi e Bartali
Due ciclisti, Coppi e Bartali, partono assieme e percorrono 90 km.
Coppi va 1 km/h più veloce di Bartali e arriva a destinazione 1 h prima di Bartali.
Quali erano le loro velocità.

20. I passi di Ezio e Diego
Ezio fa 60 passi prima di essere raggiunto da Diego.
Si sa che:
- Ezio fa 4 passi nello stesso tempo in cui Diego ne fa 3
- 5 passi di Diego sono lunghi come 3 passi di Ezio
Sai dire quanti passi ha fatto Diego per raggiungere Ezio, e quanto distavano all'inizio della corsa?
Edward Brooks, The New Normal Mental Arithmetic

21. Ciclisti sulla circonferenza
Due ciclisti corrono a velocità costante su una pista circolare lunga 170 m.
Quando vanno in direzioni opposte si incontrano ogni 10 secondi.
Quando vanno nella stessa direzione il più veloce supera il più lento ogni 170 secondi.
A quali velocità vanno i due ciclisti?
Perelman, 1937

22. Andata e ritorno del corriere
Una colonna militare è lunga 25 km e avanza a velocità costante.
Un corriere parte dal fondo della colonna, va fino alla cima e ritorna al fondo. A questo punto si trova esattamente nel punto da cui era partito.
Quanti chilometri ha percorso?
Clark, Mental Nuts, 1897

23. Il corriere 2
Una colonna militare è lunga 3 km.
Un corriere parte dal fondo della colonna, raggiunge la cima e ritorna al fondo.
In tutto questo tempo la colonna è avanzata di 4 km.
Quanti km ha percorso il corriere?
Julius Sumner Miller, Millergrams, 1966

24. Il cagnolino e lo squadrone
Una formazione quadrata di soldati, di 50 m di lato, marcia a passo costante.
Un cagnolino parte da un vertice A del quadrato e segue la formazione trotterellando a velocità costante lungo il perimetro del quadrato.
Quando il cane giunge nuovamente sul vertice A, la formazione è avanzata di 50 m.
Quanto è lungo il percorso del cane?
Martin Gardner, 1966

25. New York - San Francisco in autobus
Ogni giorno, a mezzogiorno, un autobus parte da New York per San Francisco.
Ogni giorno, a mezzogiorno, un autobus parte da San Francisco per New York.
Gli autobus viaggiano sulla stessa strada, in versi opposti e il viaggio dura 7 giorni.
Un autobus quanti altri autobus incrocia durante un viaggio?
Mittenzwey, 1879?

26. In metropolitana
In una metropolitana parte un treno ogni 2 minuti in ciascuna delle due direzioni.
Se fai un viaggio di 30 minuti, quanti treni incrocerai?
Pearson, 1907

27. Incrocio di vetture
Ogni minuto, dal centro di una città parte una vettura che va alla stazione in 7 minuti e poi ritorna.
Una vettura che va dal centro alla stazione quante vetture incontrerà?
Peano, 1924

28. Il viaggio dei monaci
Un monaco parte da una città A per recarsi alla città B.
Nello stesso istante, un altro monaco parte da B alla volta di A.
I due monaci camminano con passo costante.
Dopo essersi incontrati impiegano rispettivamente 4 ore e 9 ore per terminare il loro viaggio.
Quanto è durato il viaggio di ciascuno di essi?

29. Il viaggio dei corrieri
Due corrieri partono contemporaneamente da due città distanti 60 km, ciascuno di essi alla volta dell'altra città.
Dopo essersi incontrati, impiegano rispettivamente 4 e 6 ore per raggiungere le rispettive destinazioni.
Quali sono le loro velocità?
Ozanam-Montucla, 1778

30. La strada delle formiche
Due formiche partono dai due estremi A e B di una linea retta e camminano in versi opposti.
Quando si incontrano, la prima deve camminare ancora per 1i e 1/5 minuti per raggiungere l'altro estremo mentre la seconda deve camminare ancora per 17 e 1/2 minuti.
La prima formica, inoltre, ha percorso 7 metri più della seconda.
Quanto è lunga la linea AB?

31. A prendere la fidanzata in auto
Aldo va a prendere tutti i giorni con l'automobile la sua fidanzata Alda alla stazione ferroviaria.
Ieri Alda è arrivata con x minuti di anticipo ed ha cominciato ad andare a piedi verso casa.
Aldo, quindi, l'ha incontrata per strada, l'ha caricata in auto e l'ha accompagnata a casa, arrivando con y minuti di anticipo.
Quanto è durata la passeggiata d Alda?

32. Gara di corsa con vantaggio
Bill può correre 100 m in 12 secondi.
Jack può dare a Bill 10 m di vantaggio e finire la corsa alla pari.
Bob può dare a Jack 5 m di vantaggio e finire alla pari.
Bill e Bob fanno una gara e Bob dà al rivale 15 metri di vantaggio ma Bill perde 1/20 di secondo in una falsa partenza.
Chi vince e con quanto tempo di distacco?
Collins, Fun with Figures, 1928

33. Due incontri consecutivi
Alan e Bob partono contemporaneamente e vanno da A a B e ritorno.
Si incrociano 2 volte: la prima a 720 m da A e la seconda a 400 m da B.
Quanto dista A d B?

Risposte & riflessioni

1. Incontro di due viaggiatori
Alan Viezzoli
Sapendo che Marco fa 1/6 di strada al giorno e Cristoforo ne fa 1/8, possiamo scrivere
x/6+x/8=1
dove x è il tempo. La soluzione è 24/7 di giorno cioè 3 giorni, 10 ore e 17 minuti.

2. Incontro di due automobili
Alan Viezzoli
L'automobile A fa 40 km in un'ora, l'automobile B fa 80 Km in un'ora.
Poiché la strada è lunga 100 km possiamo scrivere
40x+80x=100
così x=5/6. Le macchine si incontreranno dopo 50 minuti a 33.3 km da A e 66.6 km da B

3. Andando alla stazione
Alan Viezzoli
Sapendo che Marco in un minuto fa 1/20 di strada e Cristoforo ne fa 1/5, possiamo scrivere che
(x+6)/20=x/5
dove x è il numero di minuti che i due impiegano per raggiungersi.
Risolvendo si ottiene x=2. Cristoforo sorpasserà Marco dopo 2 minuti.

4. Una passeggiata di formiche
Alan Viezzoli
La prima formica in 1/4 di minuto farà 300/4=75 cm. La seconda formica invece in 3/4 di minuto coprirà una distanza pari a 75 cm più ((3/4)/2)*300, ovvero la strada che la prima formica compie nel tempo (3/4)/2=3/8 cioè il tempo che impiega la seconda formica per raggiungere la prima, il tutto moltiplicato per 2, perché la seconda formica in 3/4 di minuto raggiunge la formica e torna al formicaio quindi compie due volte la strada.
Ricordando che la velocità è uguale alla strada percorsa diviso il tempo impiegato si può scrivere l'equazione
(3/4)*v=2*(75+(3/8)*300)
che fornisce per v il valore 500 cm/min

5. Il giunco e il carice crescono
Alan Viezzoli
Si può facilmente vedere che 3+3/2+3/4=21/4=5.25 mentre 1+2+4=7.
Al terzo giorno, quindi, il carice avrà già raggiunto il giunco.

6. Galleria di due talpe
Alan Viezzoli
Al terzo giorno la prima talpa ha scavato 1+2+4=7 metri mentre la seconda ha scavato 1+1/2+1/4=7/4 metri. In totale esse hanno scavato 7+7/4=35/4=8.8 metri.

7. Incontro di cavalli
Alan Viezzoli
Aveva ragione il professor Singmaster.

|------------------------------------|
A...........3000 km................B

La strada tra A e B è di 3000Km. La strada percorsa dal primo cavallo è:

p = 193x+13(x(x-1)/2)

e quella percorsa dal secondo è:

s = 97x-0.5(x(x-1)/2)

Il primo cavallo è molto più veloce del secondo, perciò farà in tempo ad
arrivare sino a B e tornare indietro, perciò la strada totale percorsa dai
due cavalli è 2*3000=6000Km.
Si può quindi scrivere la seguente equazione:

193x+13(x(x-1)/2)+97x-0.5(x(x-1)/2)=6000

Riducendo si ottiene:

5x²+227x-4800=0

e quindi x = -227±rad(227²+4*5*4800)/5*2 = -227±rad(147529)/10

La soluzione giusta è quella positiva che da come valore di x circa 15.7095

Gianfranco Bo
La mia soluzione giunge ad un risultato leggermente diverso da quello di Alan.
I cavalli si incontrano dopo 15,507 giorni

Ricordo la formula per la somma dei primi n termini di una successione
aritmetica di costante d.

S = (a1 + an)*n/2 = (a1 + a1 + nd)*n/2 = n*a1 + n^2*d/2

Ecco la mia soluzione.

Sia n il numero di giorni (anche decimale) che passano dal momento della
partenza al momento in cui i cavalli si incontrano.

Il primo cavallo (quello che aumenta la velocità) in n giorni percorre:
(193 + 193 + 13n)*n/2 = 193n + 6,5n^2

Il secondo cavallo percorre:
(97 + 97 - 0,5n)*n/2 = 97n - 0,25n^2

Se i due cavalli si incontrano nel punto H:

Primo cavallo
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
...........................<<<<<<<<<<<<

A--------------------------H----------B

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Secondo cavallo

- il primo cavallo avrà percorso AB+BH
- il secondo cavallo avrà percorso AH

SOMMANDO le distanze percorse dai due cavalli si ottiene 2AB, cioè 6000 km

A questo punto si può scrivere l'equazione di secondo grado:

193n + 6,5n^2 + 97n - 0,25n^2 = 6000

6,25n^2 + 290n - 6000 = 0

Risolvendo l'equazione si ottiene (prendo la soluzione positiva):

n = 15,507

8. Ugualmente ricchi
Alan Viezzoli
È immediato vedere che per risolvere il problema basta risolvere la seguente equazione
6x+100=8x+60
da cui x=20

9. Guadagnare e spendere
Alan Viezzoli
Facendo i conti (x+5x/2-9x/3) si ottiene x/2, cioè ogni giorno l'uomo si ritrova con in tasca la metà di quello che aveva il giorno prima.
Così l'uomo, in teoria, non resterà mai senza soldi. Ma poiché il quindicesimo giorno l'uomo si ritrova con 0.003662 euro, ed essi arrivano sino ai centesimi, è ragionevole rispondere "dopo 15 giorni".
Qualcuno potrebbe obiettare che già il giorno prima l'uomo restava con 0.007324 euro, ma poiché è stato stabilito che l'arrotondamento viene fatto al decimale superiore se la terza cifra dopo la virgola è maggiore di 5, l'uomo al quattordicesimo giorno si ritroverà con un centesimo di euro.

NOTA: leggendo il testo sembra che l'uomo parta da una somma x di denaro, guadagna poi 5x/2 e si ritrova con 7x/2 e poi perde i 9/3 di 7x/2, ma ciò è impossibile in quanto l'uomo dovrebbe perdere il triplo di quello che possiede. Il problema deve allora venir interpretato come nel precedente messaggio cioè x+5x/2-9x/3.

10. Andata e ritorno di due corridori
Alan Viezzoli
Dividendo i 70 km per la velocità dell'uomo più veloce (6 km/h) si ottiene il risultato 11.6 h. In 12 ore, quindi, l'uomo più veloce ha percorso 72 km cioè è arrivato a destinazione ed è tornato indietro di 2 km. Nel frattempo il più lento ha percorso 12 km. Così in uguale tempo i due devono percorrere 70-12-2=56 km. si può allora scrivere l'equazione:
1*t+6*t=56
che fornisce per t il valore 8. Dalla partenza sono allora passate 12+8=20 ore.

11. Ancora atleti che vanno e vengono
Alan Viezzoli
Il problema si risolve come il precedente. In 13 h il più veloce ha percorso 104 km e il più lento 26 km. Si può dunque scrivere
2*t+8*t=100-4-26
che fornisce per t il risultato 7. Dalla partenza sono passate 13+7=20 ore e i due si incontrano a 20*2=40 km dal punto di partenza.

12. Il cane e la lepre
Pietro Vitelli
Partiamo dal momento in cui la lepre e il cane distano tra di loro 150 m.
Indichiamo con x la distanza che la lepre riesce a percorrere prima di essere raggiunta dal cane;
il tempo che la lepre impiega per percorrere la distanza x, sarà lo stesso tempo impiegato dal cane per percorrere la distanza 150+x.
Per cui, dato che s=v*t, nel caso della lepre avremo:
x = 7 m/sec * T
nel caso del cane avremo:
150 m + x = 9 m/sec * T
dato che x = 7 m/sec * T, sostituendo si ha
150 m + 7 m/sec * T = 9 m/sec * T da cui
(9 - 7) m/sec * T = 150 m
T = (150/2) sec = 75 sec.

Quindi il cane raggiunge la lepre dopo 75 secondi.

13. Inseguimento di navi
Pietro Vitelli
Chiamamo N1 la nave partita per prima e con N2 l'altra nave.
Indichiamo con x la distanza tra N1 e N2 al momento della partenza di N2.
Indichiamo con y la distanza ulteriore che N1 percorrerà prima di essere raggiunta da N2.
Sappiamo che N1 ha impiegato 24 giorni per percorrere il tratto x; per cui, dato che s=v*t

x=Vn1*(24 giorni) dove

Vn1 è la velocità di N1.
Sappiamo poi, che N2 percorre il tratto x+y in 85 giorni, per cui:

x+y=Vn2*(85 giorni) ==> x+y=(380 miglia)*(85 giorni)

Sappiamo ancora che N1 percorre l'ulteriore tratto y nello stesso tempo in cui la nave N2 percorre tutto il tratto x+y, e cioè in 85 giorni; per cui:

y=Vn1*(85 giorni).

A questo punto non ci resta che risolvere il sistema formato dalle 3 equazioni trovate:

+
¦ x=24Vn1
¦ x+y=380*85
¦ y=85Vn1
+
da cui
+
¦ 32300-85Vn1=24Vn1
¦ x=32300-85Vn1
¦ y=85Vn1
+
per cui dalla prima equazione ricaviamo:

(85+24)Vn1=32300

da cui

Vn1=32300/109 = ca 296,33 miglia /giorno

Quindi la nave più lenta, cioè N1, viaggia alla velocità di circa 296,33 miglia/giorno.

14. Il cane e la volpe
Pietro Vitelli
Innanzitutto, precisiamo che, in questo caso, l'unità di misura dello spazio non è il metro ma il balzo-volpe.
Detto ciò:

affinchè il cane raggiunga la volpe, si dovrà verificare che, quando la volpe percorrerà un tratto x, in un tempo T, il cane percorrerà tutto il tratto 40 balzi-volpe + x, nello stesso tempo T.
Per cui, dato che, s=v*t, nel caso della volpe avremo:
x= Vv * T
dove Vv è la velocità della volpe;
per il cane avremo:
40 balzi-volpe + x = Vc * T
dove Vc è la velocità del cane.
Sappiamo ancora che
3 balzi-cane = 5 balzi-volpe da cui
balzo-cane/balzo-volpe = 5/3
dato che s=v*t, sostituendo avremo
Vc*Tc/Vv*Tv = 5/3
A questo punto, anche se non viene espresso nel quesito, dobbiamo ammettere che il tempo impiegato dal cane per effettuare un balzo-cane è lo stesso impiegato dalla volpe per effettuare un balzo-volpe, altrimenti il numero di balzi necessari al cane per raggiungere la volpe non ci sarà dato da un numero, ma in funzione di Tc e Tv.
Per cui ammettiamo che Tc=Tv=Tx.
Avremo:
Vc*Tx/Vv*Tx=5/3 ==> Vc/Vv = 5/3
cioè il cane è (5/3) volte più veloce della volpe.
Ora, non ci resta che risolvere il sistema formato dalle 3 equazioni trovate:

+
| x=Vv*T
| 40 balzi-volpe +x=Vc*T
| Vc/Vv=5/3
+
da cui
+
| T=x/Vv
| 40 balzi-volpe +x=(Vc/Vv)x
| Vc/Vv=5/3
+
da cui
+
| T=x/Vv
| 40 balzi-volpe +x=(5/3)x
| Vc/Vv=5/3
+
dato che dobbiamo calcolarci x, prendiamo in esame solo la seconda equazione:

40 balzi-volpe +x=(5/3)x da cui
(5/3)x - x = 40 balzi-volpe
(2/3)x = 40 balzi-volpe
x= 40 balzi-volpe *(3/2) = 60 balzi-volpe

Abbiamo detto all'inizio che, per raggiungere la volpe, il cane deve percorrere tutto il tratto 40 balzi-volpe + x, coiè il tratto 40 balzi-volpe + 60 balzi-volpe = 100 balzi-volpe.
Trasformiamo il tutto in balzi-cane; dato che 3 balzi-cane = 5 balzi-volpe avremo che:

y balzi-cane : 100 balzi-volpe = 3 balzi-cane : 5 balzi-volpe

da cui

y = (100*3)/5 = 60

Per cui, in definitiva, il cane, per raggingere la volpe, dovrà percorrere il tratto 60 balzi-cane, ovvero dovrà fare
60 balzi.

15. Segugio all'inseguimento
Pietro Vitelli
Il fatto che la lepre percorre 7 metri nello stesso tempo in cui il segugio ne percorre 10, ci permette di scrivere, dato che s=v*t:
7/10 = Vl*Tx/Vs*Tx da cui
Vs/Vl = 10/7
dove Vs è la velocità del segugio e Vl è la velocità della lepre.
Quindi la velocità del segugio è maggiore di quella della lepre; per cui, inevitabilmente il segugio raggiungerà la lepre;
la lepre percorrerà un ulteriore tratto x, prima di essere raggiunta dal segugio, nello stesso tempo in cui il segugio percorre tutto il tratto 100 metri + x.
Dato che s=v*t, nel caso della lepre, avremo:
x=Vl*T
nel caso del segugio, avremo:
100 metri + x=Vs*T
Ora non ci resta che risolvere il sistema formato dalle 3 equazioni trovate:

+
| x=Vl*T
| 100 metri + x=Vs*T
| Vs/Vl = 10/7
+
da cui
+
| T= x/Vl
| 100 metri + x=(Vs/Vl)x
| Vs/Vl = 10/7
+
da cui
+
| T= x/Vl
| 100 metri + x=(10/7)x
| Vs/Vl = 10/7
+
Calcoliamo x, proseguendo solo con la seconda equazione:

100 metri +x=(10/7)x da cui
(10/7)x-x=100 metri
(3/7)x=100 metri
x = 100 metri * (7/3) = ca 233,33 metri

Abbiamo detto che il segugio percorrerà 100 metri + x prima di raggiungere la lepre, cioè percorrerà
100 metri + 233,33 metri = 333,33 metri.

Quanto al tempo impiegato dal segugio per raggiungere la lepre, non possiamo calcolare un valore unico, perchè nel quesito si dice:

"...la lepre percorre 7 m nello stesso tempo in cui il cane ne percorre 10."

però non viene specificato il valore di questo tempo, che quindi può essere un tempo qualsiasi (1 sec, 2 sec, ...);
indichiamo pertanto con Tb tale tempo; si avrà:

"... la lepre percorre 7 m nello stesso tempo Tb in cui il cane ne percorre 10"

Quindi il cane percorre 10 metri in un tempo Tb;
per sapere in quanto tempo il cane percorre 100 metri +x = 333,33 metri, risolviamo la proporzione:

10 : Tb = 333,33 : y da cui

y= (Tb*333,33)/10 =33,33 Tb

Per cui, in definitiva, a partire dal punto in cui dista 100 metri dalla lepre, il segugio raggiungerà la lepre, dopo aver percorso 333,33 metri, impiegando 33,33 Tb, dove Tb è il tempo impiegato dal segugio per percorrere 10 metri.

16. La lepre in fuga
Pietro Vitelli
Sappiamo che un balzo del cane è 7/5 di un balzo della lepre e dura lo stesso tempo, che possiamo indicare con Tx; si ha:

balzo-cane/balzo-lepre = 7/5 da cui, dato che s=v*t

Vc*Tx/Vl*Tx = 7/5 da cui

Vc/Vl = 7/5

dove Vc è la velocità del cane, e Vl è la velocità della lepre.
Si capisce, quindi, che il cane è' più veloce della lepre, e quindi, inevitabilmente la raggiungerà;
la lepre riuscirà a percorrere un ulteriore tratto x, prima che il cane la raggiunga, nello stesso tempo T in cui il cane percorrerà il tratto 70 metri +x;
Per cui, dato che s=v*t, nel caso della lepre, avremo:

x = Vl*T

nel caso del cane, avremo:

70 metri +x = Vc*T

Ora non ci resta che risolvere il sistema formato dalle 3 equazioni trovate:

+
| Vc/Vl = 7/5
| x = Vl*T
| 70 metri +x = Vc*T
+
da cui
+
| Vc/Vl = 7/5
| T = x/Vl
| 70 metri +x = (Vc/Vl)*x
+
da cui
+
| Vc/Vl = 7/5
| T = x/Vl
| 70 metri +x = (7/5)*x
+
proseguiamo, solo con la terza equazione:

70 metri +x = (7/5)*x da cui
(7/5) x - x = 70 metri
(2/5) x = 70 metri
x = 70 metri * 5/2 = 175 metri

Quindi la lepre, prima di essere raggiunta dal cane, percorre 175 metri;
nello stesso tempo in cui la lepre percorre 175 metri, il cane percorre 70 + 175 metri = 245 metri.
Sappiamo che un balzo del cane dura lo stesso tempo di un balzo della lepre; quindi, nello stesso tempo, il cane e la lepre faranno lo stesso numero di balzi.
Indichiamo con Z il numero di balzi che la lepre effettua per percorrere la distanza 175 metri;
Z sarà, quindi, anche il numero di balzi che il cane effettua per percorrere la distanza 70 + 175 metri = 245 metri;
E' chiaro che il numero di balzi che il cane dovrà fare per raggiungere la lepre, possiamo solo calcolarlo in funzione della lunghezza del balzo della lepre; infatti non sappiamo quanto è lungo il balzo della lepre;
pertanto, indichiamo con X la lunghezza del balzo della lepre;
il numero Z di balzi effettuati dalla lepre per percorrere la distanza 175 metri é:

Z = 175/X

Quindi, il cane, per raggiungere la lepre dovrà fare (175/ X) balzi, dove X è la lunghezza del balzo della lepre.

17. Una pista circolare è lunga 268 m.
Alan Viezzoli
Per risolvere il problema basta scrivere l'equazione
22t/2+134=34t/3
in quanto un ciclista prima di raggiungere l'altro deve percorrere mezza pista, cioè 134 km. Il valore per t è 402. I due si incontreranno dopo 402 secondi.

18. La lepre si salverà?
Pietro Vitelli

Sappiamo che balzo-segugio = 2 balzo-lepre; per cui
balzo-lepre = balzo-segugio/2
Sappiamo poi, che la lepre fa 3 balzi nello stesso tempo T in cui il segugio ne fa 2;
pertanto la lepre, nel tempo T, fa 3 balzi-lepre che corrispondono ad 1,5 balzi-segugio;
nello stesso tempo T, il segugio fa 2 balzi-segugio;
Cio vuol dire che, a parità di tempo:

tratto percorso dal segugio > tratto percorso dalla lepre

Pertanto, dopo un certo periodo di tempo a*T, il segugio raggiungerà la lepre,
che quindi non si salverà.

19. Coppi e Bartali
Alan Viezzoli
Noi sappiamo che Batali nel tempo t, a velocità v, percorre 90 km. Sappiamo inoltre che Coppi nel tempo (t-1), a velocità (v+1), percorre 90 km. Possiamo dunque scrivere il sistema
v*t=90
(v+1)*(t-1)=90
che fornisce i risultati v=9 km/h e t=10 h.

20. I passi di Ezio e Diego
Pietro Vitelli
Il problema così formulato non ammette soluzione, perchè, in base ai dati, Ezio, a parità di tempo, fa più passi di Diego ed inoltre, il passo di Ezio è più lungo di quello di Diego (5 passi di Diego = 3 passi di Ezio);
per cui Diego non raggiungerà mai Ezio.

Pertanto, per risolvere il problema, impongo che:

"5 passi di Ezio sono lunghi come 3 passi di Diego".

Detto ciò, indichiamo con T il tempo impiegato da Ezio per fare 60 passi.
T, quindi, è anche il tempo impiegato da Diego per raggiungerlo.
Per cui, indicando con x il numero di passi effettuato da Diego per raggiungere Ezio, possiamo dire che:

Ezio fa 60 passi nello stesso tempo in cui Diego ne fa x;
ma dato che sappiamo che:

"Ezio fa 4 passi nello stesso tempo in cui Diego ne fa 3", allora è evidente che Ezio fa 4*15=60 passi nello stesso tempo in cui Diego ne fa 3*15=45 (x=45). Per cui Diego fa 45 passi per raggiungere Ezio.

Indichiamo ora con x la distanza tra Ezio e Diego prima della corsa, e con y, la distanza percorsa da Ezio, prima di essere raggiunto da Diego.
La distanza totale percorsa da Diego sarà, quindi, x+y.
Diego fa 45 passi per percorrere la distanza x+y.
Sappiamo che Ezio fa 60 passi per percorrere la distanza y.
Sappiamo che "5 passi di Ezio sono lunghi come 3 passi di Diego", per cui 5*12=60 passi di Ezio corrispondono a 3*12=36 passi di Diego; cioè Diego percorre la distanza y con 36 passi.
Dato che Diego percorre la distanza x+y con 45 passi, allora Diego percorre la distanza x=(x+y)-y
in (45-36) passi = 9 passi.
Pertanto la distanza x misura 9 passi di Diego, o anche 3*5=15 passi di Ezio.

21. Ciclisti sulla circonferenza
Alan Viezzoli
Per risolvere il problema possiamo scrivere due equazioni: la prima ricorda quella del problema 17, la seconda è ricavata dal dato che in 10 secondi i due ciclisti percorrono l'intera pista. Scrivendo il sistema
v1*170+85=v2*170
v1*10+v2*10=170
si ottengono i risultati v1=8.25 e v2=8.75

22. Andata e ritorno del corriere
Alan Viezzoli
22. Mi sembra che a questo problema manchi un dato, quale la velocità dello squadrone o lo spazio percorso dallo squadrone.

23. Il corriere 2
Pietro Vitelli
Per rendere più chiara la mia risposta, mi sono aiutato con delle figure; spero siano chiare.

Fig.1

Fig.2

A questo punto il corriere ha percorso 3 Km + x e la colonna è avanzata di x.
Vediamo il ritorno.

Fig.3

Nella fase di ritorno il corriere percorre 3 Km - y e la colonna avanza di y.
Per cui, in totale, il corriere percorre 3 Km + x + 3 Km - y = 6 Km + x - y e la colonna militare avanza di x + y.
Dobbiamo ricavare due equazioni per trovare x e y.
Una equazione la ricaviamo dall'avanzata della colonna.
Infatti sappiamo che la colonna avanza, in totale di 4 Km; per cui

x + y = 4

Quanto all'altra equazione, notiamo che l'avanzata della colonna, così come l'andatura del corriere, è regolare;
per cui, sapendo che

- il corriere percorre (3 Km + x) e la colonna avanza di x (andata)
- il corriere percorre (3 Km - y) e la colonna avanza di y (ritorno)
possiamo mettere in proporzione:

(3 Km + x) : x = (3 Km - y) : y

da cui

y = ((3-y)*x)/(3+x)

A questo punto abbiamo le due equazioni; non ci resta che risolvere il sistema:

+
| x + y = 4
| y = ((3-y)*x)/(3+x)
+

da cui

+
| x = 4-y
| y = ((3-y)*(4-y))/(3+4-y)
+

+
| x = 4-y
| y*(7-y) = ((3-y)*(4-y))
+

+
| x = 4-y
| 7y-y² = 12-7y+y²
+

+
| x = 4-y
| 2y²-14y+12=0
+

+
| x = 4-y
| y = (7 ± v(49-24))/2 = (7 ± 5)/2
+

+
| x = 4-y
| y1 = 6 Km; y2 = 1 Km
+

La soluzione y1 = 6 Km non è accettabile perchè y deve essere minore della lunghezza della colonna e cioè 3 Km (Fig.3);

Per cui

+
| x = 3
| y = 1
+

Quindi, in totale, il corriere ha percorso 3 Km + x + 3 Km - y = 6 Km + x - y = 8 Km.

24. Il cagnolino e lo squadrone
Alan Viezzoli
Martin Gardner dice: "Sia 1 il lato del quadrato e il tempo richiesto per fare 50 metri. La velocità, di conseguenza, è 1. Sia x la distanza percorsa del cane e la sua velocità. Nel viaggio di andata la velocità del cane sarà (x-1), nei due viaggi trasversali Ö(x²-1) e nel viaggio di ritorno (x+1). Si può dunque scrivere l'equazione
1/(x-1)+2/(Ö(x²-1))+1/(x+1)=1
ovvero
x^4-4x³-2x²+4x+5=0
x=4.18112... Questo valore va moltiplicato per 50 e si ottiene 209.056..."

25. New York - San Francisco in autobus
Pietro Vitelli
Ogni autobus, lungo il viaggio, incrocia:

- l'autobus partito 6 giorni prima nella direzione opposta
- l'autobus partito 5 giorni prima nella direzione opposta
- l'autobus partito 4 giorni prima nella direzione opposta
- l'autobus partito 3 giorni prima nella direzione opposta
- l'autobus partito 2 giorni prima nella direzione opposta
- l'autobus partito 1 giorno prima nella direzione opposta
- l'autobus partito lo stesso giorno nella direzione opposta
- l'autobus partito 1 giorno dopo nella direzione opposta
- l'autobus partito 2 giorni dopo nella direzione opposta
- l'autobus partito 3 giorni dopo nella direzione opposta
- l'autobus partito 4 giorni dopo nella direzione opposta
- l'autobus partito 5 giorni dopo nella direzione opposta
- l'autobus partito 6 giorni dopo nella direzione opposta

Quindi, ogni autobus, lungo il viaggio, incrocia 13 autobus.

26. In metropolitana
Pietro Vitelli
In un viaggio di 30 minuti, si incroceranno:
(si intendono i treni partiti dalla direzione opposta a quella del nostro treno)

- il treno partito 28 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 26 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 24 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 22 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 20 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 18 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 16 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 14 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 12 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 10 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 8 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 6 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 4 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito 2 minuti prima della nostra partenza
- il treno partito contemporaneamente alla nostra partenza
- il treno partito 2 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 4 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 6 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 8 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 10 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 12 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 14 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 16 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 18 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 20 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 22 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 24 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 26 minuti dopo la nostra partenza
- il treno partito 28 minuti dopo la nostra partenza

In totale si incroceranno 29 treni.

27. Incrocio di vetture
Pietro Vitelli
Sapendo che il viaggio totale di una vettura dura 14 minuti, la vettura incrocerà:

- la macchina partita dal centro 13 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 12 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 11 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 10 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 9 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 8 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 7 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 6 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 5 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 4 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 3 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 2 minuti prima di essa
- la macchina partita dal centro 1 minuto prima di essa
- la macchina partita dal centro 1 minuto dopo di essa
- la macchina partita dal centro 2 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 3 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 4 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 5 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 6 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 7 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 8 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 9 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 10 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 11 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 12 minuti dopo di essa
- la macchina partita dal centro 13 minuti dopo di essa

In totale incrocerà 26 vetture.

28. Il viaggio dei monaci
Alan Viezzoli
Anche qui il problema manca di un dato. Si possono scrivere le equazioni
v1*t+v1*4=n
v2*t+v2*9=n
v1*t+v2*t=n
ma abbiamo tre equazioni e quattro incognite.

Dino ha sviluppato e risolto questo sistema apparentemente irrisolvibile

Rispettivamente dieci e quindici ore!

Infatti, detta D la distanza tra le due città e t il tempo in ore comune che i due monaci impiegano ad incontrarsi, noi sappiamo che il primo ha completato l'intero percorso in un tempo pari a T₁ = t + 4 ore a una velocità V₁ mentre il secondo in tempo complessivo di T₂ = t + 6 ore e ad una velocità V₂. Si possono allora scrivere le equazioni:

V₁·t + V₁·4 = D

V₂·t + V₂·9 = D

V₁·t + V₂·t = D

Questo è un sistema di tre equazioni nelle quattro incognite V₁, V₂, t e D apparentemente irrisolvibile. Ricavado però V₁ dalla prima e V₂ dalla seconda otteniamo:

V₁ = D/(t + 4)

V₂ = D/(t + 9)

e sostituendole nella terza si ha:

[D·t/(t + 4)] + [D·t/(t + 9)] = D

dove è possibile semplificare D che scompare del tutto. Quindi almeno il tempo è indipendente dalla distanza percorsa e può essere ottenuto facilmente dalla:

[t/(t + 4)] + [t/(t + 9)] = 1

equazione unica nell'unica incognita tempo. Risolvendola si ottiene t = 6 ore, per cui i tempi complessivi dei due monaci risultano:

T₁ = t + 4 = 6 + 4 = 10

T₂ = t + 9 = 6 + 9 = 15

ore. Non è possibile, per finire, determinare le due velocità di spostamento dei monaci risultando indeterminata la distanza D delle due città:

V₁ = D/10

V₂ = D/15

29. Il viaggio dei corrieri
Alan Viezzoli
Noi sappiamo che il primo corriere ha percorso 60 km in un tempo (t+4) a una velocità v1 e il secondo corriere ha percorso 60 km in in tempo (t+6) e ad una velocità v2. Inoltre nel tempo t i due corrieri assieme hanno percorso 60 km. Si può allora scrivere:
v1*t+v1*4=60
v2*t+v2*6=60
v1*t+v2*t=60
che fornisce i risultati t=Ö24, v1=60/(Ö24+4) e v2=60/(Ö24+6)

30. La strada delle formiche
Alan Viezzoli
Il problema, causa un errore di stompa, risulta non risolvibile.

31. A prendere la fidanzata in auto
Alan Viezzoli
Il problema richiede dei dati per x e y. Martin Gardner propone questo problema ponendo x=60 e y=10 e lo risolve così: "Alda cammina 55 minuti. Poiché arrivano a casa con 10 minuti d'anticipo, c'è stata una riduzione di 10 minuti del percorso, cioè il viaggio di andata è stato più breve di 5 minuti". Proprio volendo si può dire che se i due arrivano a casa con y minuti di anticipo, Alda ha camminato per x-y/2 minuti.

32. Gara di corsa con vantaggio
Alan Viezzoli
Bill percorre 100 metri in 12 secondi e 90 metri in 10.8 secondi. Jack percorre 100 metri in 10.8 secondi e 95 metri in 10.26 secondi. Bob percorre 100 metri in 10.26 secondi. Bob quindi arriverà al traguardo dopo 10.26 secondi, Bill, che deve percorrere solo 85 metri arriverà in 10.2 secondi più 1/20 cioè 0.05 secondi, ovvero in 10.25 secondi. Bill quindi batte Bob per 0.01 secondi.

33. Due incontri consecutivi
Alan Viezzoli
Il problema così formulato è ambiguo. Sembra infatti che sia Alan che Bob partano da A. Invece, per la risoluzione è necessario che Alan para da A e Bob da B. Chiamiamo x la larghezza della strada; al primo incontro Alan avrà percorso 720 metri e Bob (x-720) metri. Al secondo incontro Alan avrà percorso (x+400) metri e Bob (2x-400) metri. Il rapporto tra queste lunghezze deve essere uguale nei due casi perciò possiamo scrivere l'equazione: (x-720)/720=(2x-400)/(x+400) che fornisce per x il valore 1760