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L'arrampicata della lumaca

con e senza effetto finale

1. L'arrampicata della lumaca
Una lumaca si trova in fondo ad un pozzo profondo 6 m. Durante il giorno sale di 3 m e durante la notte scende di 2 m. Quanto tempo impiegherà per uscire dal pozzo?
(Risposte possibili: 4 giorni oppure 6, a seconda che si tenga conto o no dell'effetto finale)

Le prime versioni di questo problema risalgono a Bakhshali (700), Bhaskara I (629) e Chaturveda (860).
Inizialmente le quantità +3m - 2m significavano semplicemente che la lumaca ogni giorno saliva di 1 m.
In seguito, verso il 1400 con Dell'Abbaco e Chuquet, venne introdotto "l'effetto finale" che tiene conto del fatto che la lumaca, quando raggiunge la cima del pozzo non torna più indietro e quindi impiega un minor tempo.

2. Il problema generale
Una lumaca si trova in fondo ad un pozzo profondo D. Durante il giorno sale di A e durante la notte scende di B. Quanto tempo impiegherà per uscire dal pozzo?

Si può risolvere così.
Sia G = A - B la distanza percorsa ogni giorno.
Occorre dapprima trovare il più piccolo N tale che:
N*G + A > D
N > int((D - A)/G)
Il tempo impiegato sarà quindi:
Tempo = N +1 = int((D - A)/G) + 1 giorni
In questo modo otteniamo la soluzione approssimata al "giorno".
Se invece vogliamo essere più precisi dobbiamo interpolare tra N ed N+1 supponendo che la velocità della lumaca sia costante.
In questo caso la soluzione è:
Tempo = N + (D - NG)/A giorni

Se, infine, intendiamo giorno = dì + notte allora scriveremo:
Tempo = Ngiorni e(D - NG)/A dì

3. L'arrampicata della lumaca 2
Una lumaca si trova in fondo ad un pozzo profondo 480 unità (u). Durante il giorno sale di 1/2 u e durante la notte scende di 1/5 u. Quanto tempo impiegherà per uscire dal pozzo?
Baskara I, 480

4. Un pozzo molto profondo
Una lumaca si trova in fondo ad un pozzo profondo 76.800.000 u. Durante il giorno sale di 4/5 u e durante la notte scende di 1/60 u. Quanto tempo impiegherà per uscire dal pozzo?
Chaturveda, 860

5. Un serpente entra in un buco
Un particolare ringraziamento a Paul Vaderlind per la versione corretta di questo problema, attribuito a Mahavira
"A powerful unvanquished black snake which is 80 angulas in length, enters into a hole at the rate of 7 1/2 angulas in 5/14 of a day, and in the course of 1/4 of a day its tail grows 11/4 of an angula. O ornament of arithmeticians, tell me by what time this serpent enters fully into the hole?"

Un potente ed invincibile serpente nero lungo 80 "angulas" entra in un buco alla velocità di 15/2 di "angula" in 5/14 di giorno, mentre in 1/4 di giorno la sua coda cresce di 11/4 di "angula".
O tu, che onori gli aritmetici, sai dirmi in quanto tempo questo serpente entra interamente nel buco?
Mahavira

6. Il cammino del serpente
Un serpente si trova in un cunicolo profondo 30 m. Avanza di 2/3 m durante il giorno e torna indietro di 1/5 m durante la notte. Dopo quanto tempo sarà fuori?
Dell'Abbaco, 1370

7. I due viaggiatori
Due viaggiatori, Aldo e Carlo, inizialmente distanti 100 leghe si avvicinano durante il giorno e si allontanano durante la notte.
Aldo durante il giorno avanza di 12 leghe e durante la notte indietreggia di 7 leghe.
Carlo durante il giorno avanza di 10 leghe e durante la notte indietreggia di 6 leghe.
Dopo quanto tempo si incontrano?
Chuquet, 1484

8. Le due formiche
Due formiche distanti 100 metri ogni giorno avanzano l'una verso l'altra rispettivamente di 1/3 e 1/5 di metro mentre durante la notte indietreggiano rispettivamente di 1/4 e 1/6 di metro.
Dopo quanto tempo si incontrano?
Pacioli, 1494

9. L'uomo che accumulava petrolio
Una tanica può contenere 8 galloni di petrolio. Un uomo versa nella tanica 2 galloni di petrolio ogni giorno ma 1 gallone fuoriesce da un buco durante la notte.
Dopo quanto tempo la tanica è piena?
Evelyn August, 1939

Ultimo aggiornamento: maggio 2007

Risposte & riflessioni

3. L'arrampicata della lumaca 2
La lumaca percorre 1/2 - 1/5 = 3/10 u ogni giorno
Pertanto, supererà le 480 u in 480/(3/10) + 1 = 1601 giorni
Per la precisione, al 1600° giorno avrà percorso 479,7 u e le rimarranno ancora 0,3 u che percorrerà in 0,3/(1/2) = 0,6 giorni.
La risposta più precisa è quindi: 1600 giorni e 6/10 di dì.

5. Un serpente entra in un buco
Grazie a Luciano per la soluzione.
Dunque, la coda del serpente cresce di 11/4 di angula in 1/4 di giorno (e non in 1 giorno).
Se così è, rifacciamo i calcoli:
1) la velocità di ingresso nel buco da parte del serpente è
(15/2)/(5/14) = 21 angula/giorno

2) la velocità di accrescimento della coda è
(11/4)/(1/4) = 11 angula/giorno

Quindi, ai fini della soluzione del problema, è come se il serpente ogni giorno entrasse di 21 e uscisse di 11 [i]angula, mantenendo costante la sua lunghezza di 80 angula[/i].
Perciò la tribolata operazione si conclude in 8 giorni.
D’altra parte, dopo 6 giorni rimangono fuori 20 angula di serpente che potrebbero entrare tutti nel buco al settimo giorno se, contemporaneamente, non si verificasse anche l’altro sgradito effetto collaterale dell’allungamento della coda, che rimanda il compimento di tutta la manovra al giorno successivo.
Da osservare, infine, che "ingresso nel buco" e "crescita della coda" avvengono simultaneamente, cosicché il tutto può felicemente concludersi esattamente al termine dell’ottavo giorno.
Alla fine, però, il serpente si ritrova di 168 angula: non so a quanto corrisponda esattamente un'angula, ma aumentare di lunghezza del 110% in otto giorni è un bel record, non vi pare?

6. Il cammino del serpente
Applichiamo le formule.
G = 2/3 - 1/5 = 7/15
N = int((D - A)/G) + 1= int(30-2/3)/(7/15) + 1 = int(88/3 *15/7) +1 = 63 giorni
Tempo = N + (D - NG)/A = 63 + (30 - 63*7/15)/(2/3) = 63 + 0,9 giorni = 63,9 giorni

Procedimento alternativo.
Al termine 63° giorno il serpente avrà percorso 29,4 m.
Per uscire dal cunicolo dovrà percorrere ancora 0,6 m impiegando 0,6/(2/3) giorni, pari a 9/10 di dì.
La risposta è dunque 63 giorni e 9/10 di dì.

7. I due viaggiatori
Sommando le loro velocità, i due viaggiatori, di giorno percorrono 22 leghe, mentre di notte ne percorrono 13.
Il nono giorno i due viaggiatori si saranno avvicinati di 81 km.
Ancora 19/22 di dì e si incontreranno.

8. Le due formiche
Sommando le loro velocità, le due formiche, di giorno percorrono 8/15 m , mentre di notte ne percorrono 5/12.
L'853° giorno esse si saranno avvicinate di 99 e 31/60 m.
Percorreranno i rimanenti 29/60 m in ((29/60)/(8/15)) = 29/32 di dì.

9. L'uomo che accumulava petrolio
N = int((D - A)/G) + 1= int(8 - 2)/1 + 1 = 7 giorni
Alla sera del 7° giorno, prima che cali la notte, la tanica è piena.
Ma lo sarà solo per un istante.

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