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Le bilance a bracci uguali sono corredate da una serie di
pesi-campione che permettono di misurare tutti i pesi degli oggetti in un dato
intervallo e con una certa precisione. Se si perde uno solo di questi pesi
campione... sono guai.
Quindi, meno ce ne sono e meglio è. O no?
Per pesare con queste bilance, ci sono due possibilità:
Vediamo due esempi semplici:
Con i pesi su un solo piatto
Hai i seguenti pesi-campione: 1 g, 2 g, 5 g, 10 g.
Come puoi pesare 16 g?
Con i pesi su entrambi i piatti
Hai i seguenti pesi-campione: 1 g, 2 g, 5 g, 10 g.
Come puoi pesare 14 g?
E ora, la domanda difficile!
Qual è il numero minimo di pesi-campione con i quali si possono misurare
tutti i pesi, grammo per grammo (cioè con la precisione di 1 g) da 1 a 100 g?.
Quanto deve pesare ciascuno dei pesi-campione?
Nota storica, tratta dal sito di Dario Uri.
Nel 1556 Tartaglia nel suo Trattato (Trattato de' numeri e misure, 1556,
libro I, cap. XVI, art. 32) indicò come, con la serie di pesi 1, 2, 4,
8,16,32 fosse possibile pesare qualunque numero da 1 a 40 ed oltre, servendosi
di una bilancia a doppio piatto, con l'ulteriore restrizione di poter porre i
pesi da una sola parte.
Se possono essere posti su entrambi i piatti sono sufficienti i pesi 1,3,9,27.
Questo problema e' internazionalmente noto come problema di Bachet, perche'
appare nei suoi Problemes (Bachet de Mezierac, Problemes plaisans et
delectable, 1612, prob.V, pag. 154) che e' considerata la prima raccolta
storica di problemi ricreativi e ripubblicata negli anni molte volte.
In realta' moltissimi dei problemi del Bachet sono tratti da un manoscritto di
Luca Pacioli, il De Viribus
Quantitatis presente a Bologna nella biblioteca universitaria al num. 250,
poco conosciuto, ma va sicuramente considerato come l'antesignano di questo
genere.
Diverse serie di pesi possono essere selezionati per poter pesare da 1 a 40 con
le seguenti restrizioni:
a) Nessuna altra pesata potrà essere possibile.
b) Ciascuna pesata e' possibile in un solo modo.
La soluzione a questo problema richiede un'analisi complessa.
Il generale Mac Mahon in un articolo apparso nel Quaterly Journal, dimostra che
esistono otto di tali serie.
Precisamente sono:
(1^40), (1, 3^13), (1^4, 9^4), (1, 3, 9^4), (1^13, 27), (1, 3^4, 27), (1^4, 9,
27), (1, 3, 9, 27).
dove ogni esponente indica quante volte quel peso rientra nella serie.
Ultimo aggiornamento: luglio 2005
Con i pesi su un solo piatto
Ho i seguenti pesi-campione: 1 g, 2 g, 5 g, 10 g.
Come posso pesare 16 g?
Pongo (10+5+1) g = 16 g su un piatto e l'oggetto da pesare (16 g) sull'altro piatto.
Con i pesi su entrambi i piatti
Ho i seguenti pesi-campione: 1 g, 2 g, 5 g, 10 g.
Come posso pesare 14 g?
Osservo che 14 = 10+5-1
Pongo (10+5) g = 15 g su un piatto e l'oggetto da pesare (14 g) più il
peso-campione da 1 g sull'altro piatto: (10+5) g = (14+1) g.
E ora, la domanda difficile!
Qual è il numero minimo di pesi-campione con i quali si possono misurare
tutti i pesi, grammo per grammo (cioè con la precisione di 1 g) da 1 a 100 g?.
Quanto deve pesare ciascuno dei pesi-campione?
Primo caso: pesi su un solo piatto.
I pesi devono essere la serie delle potenze di 2: 1, 2, 4, 8, 16, ...grammi.
Osserviamo dapprima che se abbiamo un insieme di pesi che ci permette di
pesare da 1 a n grammi, allora con un nuovo peso p=n+1 grammi possiamo arrivare
a pesare fino a 2n-1 grammi.
Esempio-dimostrazione.
Se ho una serie di pesi che mi permette di pesare ogni grammo, ad es. da 1 a 5
g, allora con un nuovo peso da 6 g, riuscirò a pesare tutti i pesi fino a 11
grammi.
Infatti:
6 = 6
7 = 6+1
8 = 6+2
...
11 = 6+5
Se il nuovo peso fosse maggiore di 6 g, ad es. 7 g, non sarei in grado di pesare
proprio 6 g.
Procediamo quindi dal peso-campione più piccolo in avanti:
In definitiva, i pesi cercati sono: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 g.
Secondo caso: pesi su entrambi i piatti.
I pesi devono essere la serie delle potenze di 3: 1, 3, 9, 27, 81,
...grammi.
Osserviamo dapprima che se abbiamo un insieme di pesi che ci permette di
pesare da 1 a n grammi, allora con un nuovo peso p=2n+1 grammi possiamo arrivare
a pesare fino a 3n+1 grammi.
Esempio-dimostrazione.
Se ho una serie di pesi che mi permette di pesare ogni grammo, ad es. da 1 a 3
g, allora con un nuovo peso da 7 g, riuscirò a pesare tutti i pesi fino a 10
grammi.
Infatti:
3 = 3, da un solo lato.
4 = 7-3, 7 da un lato e 3 dall'altro.
5 = 7-2
6 = 7-1
7 = 7
8 = 7+1, da un solo lato.
...
10 = 7+3
Se il nuovo peso fosse maggiore di 7 g, ad es. 8 g, non sarei in grado di pesare proprio 7 g.
Partendo dunque dall'osservazione iniziale, possiamo scrivere la successione dei pesi-campione a partire da n.
n
2n+1
6n+3
18n+5
54n+19
...
Fissando il peso minimo n=1 g, che che può essere misurato come minimo da un peso-campione, la sequenza diventa: 1, 3, 9, 27, 81 g che consentono di pesare da 1 g a 121 g.
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