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Per riflettere sulla divisibilità e sulle combinazioni lineari di numeri interi
Uno strano ascensore
Il palazzo dove abito è costituito da 66 piani ed
è dotato di uno strano ascensore. Sono, infatti, presenti
soltanto due pulsanti: sul primo c'è scritto "SU"
e sul secondo "GIU'". Il primo serve solo per
salire ed il secondo solo per scendere: infatti, premendo
"SU", l'ascensore si alza di otto piani, ma
resta immobile se non ci sono otto piani disponibili, cioè
se si trova dal 58° piano in poi; premendo "GIU'",
invece, l'ascensore si abbassa di 11 piani, ma resta
immobile se non ci sono 11 piani disponibili, cioè se si
trova dal piano terra al decimo piano.
Con un siffatto ascensore è possibile andare sempre da un qualunque piano ad un altro?
Questo quesito è tratto dal newsgroup it.hobby.enigmi, dove è stato inviato da Dario Uri.
Un po' di teoria
La risoluzione di problemi di questo tipo si basa
sul seguente teorema di aritmetica:
se due numeri, a, b sono divisibili per uno stesso
numero c, allora lo sono anche la loro somma, la loro
differenza, e una qualunque loro combinazione lineare na+mb.
In altre parole tutti i divisori di a e b sono divisori anche
di na+mb.
Quindi, ad esempio 3a - 2b è divisibile per c.
In particolare: se due numeri, a, b, sono primi
fra loro, è sempre possibile trovare due loro
combinazioni lineari che siano uguali rispettivamente a +1 e
-1.
In altre parole, è sempre possibile trovare quattro interi,
m1, n1, m2, n2 tali che:
n1a+m1b = +1
n2a+m2b = -1
Nel problema dell'ascensore, siccome 8 e 11
sono primi fra loro, il teorema garantisce che, in un
palazzo di infiniti piani (da 0 a infinito) è
sempre possibile spostarsi da un piano a quello successivo
e a quello precedente.
Ripetendo la procedura è quindi possibile spostarsi da un
piano a un altro piano qualunque.
Se invece il palazzo è formato da un numero finito di piani, occorre fare qualche ragionamento in più...
Uno strano ascensore
Ringrazio Utervis per la
seguente risposta.
Sì, è sempre possibile!
Quello che a breve dimostreremo matematicamente non riguarda il numero minimo di operazioni da compiere con i due strani pulsanti di cui è dotato l'ascensore, ma lo spostamento di quest'ultimo di un solo piano per volta o verso l'alto oppure verso il basso. Così facendo è sempre possibile spostarsi da un qualsiasi piano ad un qualsiasi altro: basta, infatti, reiterare il procedimento per un numero massimo di 65 volte. E' chiaro, però, che se si desidera salire (o scendere) di più piani, specie se questi sono numerosi, conviene trovare una combinazione più favorevole, che senz'altro esiste sempre, la quale comporti un numero inferiore dell'utilizzo dei tasti e quindi meno tempo.
1) Passaggio da un piano qualsiasi a quello immediatamente superiore.
Per semplicità considereremo che inizialmente l'ascensore si trovi a piano terra e debba portarsi al primo piano: in tal caso premeremo sette volte il pulsante "SU" e cinque volte quello "GIU'". In tal modo l'ascensore si sposta, infatti, di:
0 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 - 11 - 11 - 11 - 11 - 11 = 56 - 55 = 1
piano e quindi, essendo partito dal piano terra, si porta al primo piano.
Chiaramente se inizialmente l'ascensore si trova al 11° piano (od oltre) e si vuole andare al 12° non potremo premere cinque volte consecutivamente il pulsante "SU" (la quinta volta risulterebbe inattivo), ma occorrerà alternare diversamente le salite con le discese. Ad esempio, se ci trovassimo al penultimo piano si potrà prima a scendere per cinque volte fino a portarsi al decimo piano e poi risalire fino al 66° piano premendo sette volte il pulsante "SU" (o come detto alternando i due pulsanti in modo opportuno). Allo stesso modo se occorrerà salire di otto piani non si dovrà reiterare per otto volte la suddetta procedura perchè basterà premere una sola volta il pulsante "SU"!
2) Passaggio da un piano qualsiasi a quello immediatamente inferiore.
Consideriamo che inizialmente l'ascensore si trovi al primo piano e si voglia andare al piano terra: in tal caso premeremo quattro volte il pulsante "SU" e cinque volte quello "GIU'". In tal modo l'ascensore si porta, infatti, al piano:
1 + 8 + 8 + 8 + 8 - 11 - 11 - 11 = 33 - 33 = 0
che è appunto il piano terra.
Anche in questo caso se l'ascensore si trova al 35° piano (od oltre) e si vuole andare al 34° occorre alternare i due pulsanti in modo opportuno onde evitare che ad un certo punto quello "SU" possa non essere attivo. Allo stesso modo se occorrerà scendere di 11 piani non si dovrà reiterare per 11 volte la suddetta procedura perchè basterà premere una sola volta il pulsante "GIU'"!
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