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L'asino e il mulo

L'asino e il mulo
Un asino e un mulo viaggiavano assieme, portando un carico di sacchi di grano (o otri di vino). L'asino si lamentava per il carico eccessivo.
Il mulo gli disse: "Di che cosa ti lamenti? Se tu mi dessi uno soltanto dei tuoi sacchi, io ne avrei il doppio di te. Ma se io ti dessi uno dei miei sacchi, ne avremmo tanti uguali."
Dimmi, o sapiente lettore, quanti sacchi portava l'asino e quanti il mulo?
(Dall'Antologia Greca, Epigrammi raccolti da Metrodoro, -500)

Alice e Roberto
Alice e Roberto stavano confrontando le loro pile di monete.
Alice disse: "Se tu mi dessi un certo numero di monete della tua pila, allora io avrei il sestuplo delle tue monete. Se invece io ti dessi lo stesso numero di monete tu ne avresti 1/3 delle mie."
Qual è il più piccolo numero di monete che Alice potrebbe avere?
(David Singmaster, The Skoliad Corner of December 2001 [1], taken from the 2001 Maritime Mathematics Contest)

settembre 2004

Risposte & riflessioni

L'asino e il mulo
Indichiamo con x il numero dei sacchi portati dal mulo e con y il numero dei sacchi portati dall'asino.
Disse il mulo: "Se tu mi dessi soltanto uno dei tuoi sacchi, io ne avrei il doppio di te."
x+1 = y-1
"Ma se io ti dessi uno dei miei sacchi, ne avremmo tanti uguali."
2(x-1) = y+1
Le due equazioni formano un sistema di primo grado la cui soluzione è: x = 5, y = 7.
Se non vogliamo ricorrere alle equazioni possiamo ragionare così:

• il mulo ha 2 sacchi più dell'asino;
• se l'asino cedesse uno dei suoi sacchi al mulo, il mulo ne avrebbe 4 di più, ovvero il doppio; in questo caso il mulo avrebbe quindi 8 sacchi e l'asino 4;
• perciò l'asino ha 5 sacchi e il mulo 7.

Alice e Roberto
Indichiamo con x il numero di monete di Alice, con y il numero di monete di Roberto e con a il numero di monete che i ragazzi dovrebbero scambiarsi.
Alice disse: "Se tu mi dessi un certo numero di monete della tua pila, allora io avrei il sestuplo delle tue monete."
x+a = 6(y-a)
"Se invece io ti dessi lo stesso numero di monete tu ne avresti 1/3 delle mie."
1/3(x-a) = y+a
Risolvendo il sistema di primo grado si ottiene: x=15a, y=11a/3.
Le soluzioni sono intere solo quando a è un multiplo di 3.
Il minimo numero di monete si ha per a=3, a cui corrispondono i valori: x=45, y=11.

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