[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Atmosfera matematica russa 1979-2019

Tre problemi da un libro di 40 anni fa...

Negli anni '70 del secolo scorso frequentavo la libreria Italia-URSS.

Un'intera stanza era dedicata alle pubblicazioni della casa editrice MIR. C'erano moltissimi libri di matematica tradotti dal russo in inglese o in francese. Materiale di ottima qualità a prezzi accessibili, per me.

I testi di Analisi e Fisica avevano un'impostazione simile alla nostra. In quelli di Algebra e Logica si respirava un'atmosfera diversa.

Oggi vorrei ricordare il libro di D. O. Shklyarskij, N. N. Chentsov, I. M. Yaglom, Selected problems and Theorems in Elementary Mathematics. Arithmetic and Algebra. MIR Publishers, Moscow, 1976, 1979.

Ecco tre problemi tradotti liberamente. A prima vista sembrano difficili, ma non lo sono.

Problema 47. Dimostra che per ogni intero n

a) n⁷ - n è divisibile per 7

b) n⁹ - n NON SEMPRE è divisibile per 9

c) n¹¹ - n è divisibile per 11

Problema 64. Dimostra che ogni numero naturale formato da 3ⁿ cifre uguali è divisibile per 3ⁿ. (per esempio 222 è divisibile per 3, 777.777.777 è divisibile per 9 e così via).

Problema 107. Su una lavagna sono scritti tutti i numeri interi da 1 a 1.000.000.000 (estremi compresi).

Un folletto sostituisce ogni numero con la somma delle sue cifre.
Per esempio, cancella il numero 8637 e al suo posto scrive 24. Naturalmente i numeri da una cifra rimangono invariati.

Poi sostituisce di nuovo ogni risultato con la somma delle sue cifre e ripete l'operazione fino a quando sulla lavagna sono scritti soltanto numeri da una cifra.

A questo punto, sulla lavagna, c'è scritto più volte il numero 1 o il numero 2?

Risposte e riflessioni

Problema 47. Per il 7 e l'11, si dimostra per induzione.

a)

Passo base.

1⁷-1=0 (è divisibile per 7)

2⁷-2=126 (è divisibile per 7, 126 : 7 = 18)

Passo induttivo.

Supponiamo che n⁷ - n sia divisibile per 7 e dimostriamo che allora anche (n+1)⁷ - (n+1) è divisibile per 7.

(n+1)⁷ - (n+1)= n⁷+7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n²+6n

Osserviamo che:

• 7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n² è divisibile per 7 perché tutti gli addendi hanno un fattore 7;
• n⁷+6n = n⁷-n+7n è divisibile per 7 perché n⁷-n lo è per ipotesi induttiva.

b) Per il 9, basta dare un controesempio.

• 2⁹-2=510 (non divisibile per 9)

Problema 64. Si dimostra per induzione.

...

Problema 107. Alla fine, sulla lavagna ci sono i resti delle divisioni dei numeri interi da 1 a 1 miliardo per 9.

Perciò c'è scritta la sequenza (formata da un miliardo di numeri):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, ..., 1

I numeri 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0 compaiono 111.111.111 volte ciascuno.

Il numero 1 compare 111.111.112 volte.

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Pace e bene a tutti!

Gianfranco Bo

Data creazione: febbraio 2019

Ultimo aggiornamento: febbraio 2019

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