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L'eredità dei 17 cammelli

1. L'eredità di 17 cammelli
Uno sceicco lascia in eredità ai suoi tre figli rispettivamente 1/2, 1/3 e 1/9 dei suoi cammelli con la raccomandazione di non uccidere animali nella spartizione. Ma quando muore lascia 17 cammelli.
Come andranno suddivisi fra i tre figli?

2. L'eredità dei 35 cammelli
Uno sceicco lascia in eredità 35 cammelli ai suoi tre figli.
L'eredità dovrà essere divisa in parti direttamente proporzionali a 1/2, 1/3 e 1/9, senza uccidere animali.
Il notaio, inoltre, dovrà ricevere un cammello come ricompensa per il suo lavoro di esecutore testamentario.
Come andranno divisi i cammelli?
Richard A. Proctor, 1886

3. L'eredità di un gregge di pecore
Un pastore lascia in eredità ai suoi cinque figli un gregge di pecore.
Al primo figlio toccherà 1/3 delle pecore, al secondo 1/4, al terzo 1/6, al quarto 1/8, al quinto 1/9.
Al momento della divisione, il notaio presta 2 pecore e ciascun figlio riceve la sua parte senza uccidere alcun animale.
Terminata la divisione, al notaio rimangono 2 pecore di ricompensa per il suo lavoro.
Quante erano le pecore del gregge?
Jerome S. Meyer, 1937

4. A middle eastern muddle
Si devono dividere 41 barili di petrolio fra 3 persone.
Le tre persone devono ricevere rispettivamente 1/2, 1/3 e 1/7 dei barili.
Siccome:
1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42
il problema si può risolvere aggiungendo un barile e calcolando le frazioni indicate di 42.
Le tre persone ricevono rispettivamente: 21, 14 e 6 barili per un totale di 41 barili. Il barile aggiunto viene quindi restituito.
La domanda è: esistono altre quadruple di numeri interi, oltre a 2, 3, 7, 41 che danno luogo ad un puzzle di questo tipo?
David Singmaster

Per precisione e completezza, riporto la versione originale di David Singmaster.
A Middle Eastern muddle. 41 oil wells to be divided into 1/2 + 1/3 + 1/7. But then I ask if there are values other than 2, 3, 7, 41 which produce such a puzzle problem. There are 12 such quadruples. I recall seeing this when I was a student but I haven't relocated it.

Nota storica
Le prime versioni conosciute di questo problema si trovano nel papiro di Rhind (-1650) e in quello di Akhmim (+700).

Dividere 700 pagnotte in due parti proporzionali ai numeri 1/2 e 1/4
(Papiro di Rhind)

Dividere 1000 in parti proporzionali a 3 + 1/2  :  2 + 1/2  :  3 + 1/2 + 1/4  :  6 + 1/4  :  4
(Papiro di Akhmim)

Dividere 3 + 1/2 + 1/4 in parti proporzionali a 7 : 8 : 9.
(Papiro di Akhmim)

In origine questi problemi venivano risolti dividendo semplicemente l'eredità in parti proporzionali alle frazioni.
Secondo David Singmaster l'aggiunta del 18° cammello è una strategia recente, probabilmente del 1800, anche se alcuni autori ritengono che risalga a Tartaglia (1500) o addirittura alla cultura Araba, o Indiana o Cinese.

Risposte & riflessioni

1. L'eredità di 17 cammelli
Poiché 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
il notaio, incaricato di suddividere l'eredità, aggiunge un suo cammello e consegna

In tutto ha consegnato 17 cammelli.
Il notaio si riprende il suo cammello e il gioco è fatto.
Il bello della storia e' che nessun figlio protesta per l'audacia del calcolo, in quanto tutti hanno ricevuto più del dovuto!

2. L'eredità dei 35 cammelli
Poiché 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 = 34/36
il notaio aggiunge un suo cammello e consegna

In tutto ha consegnato 34 cammelli.
Dunque si riprende il suo cammello e si tiene uno dei 35 cammelli come ricompensa.

3. L'eredità di un gregge di pecore
Poiché il mcm tra 3, 4, 6, 8 e 9 è 72, proviamo a calcolare quanti settantaduesimi spetterebbero agli eredi.

1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 = 71/72

Dobbiamo ora tenerconto del fatto che alla fine il notaio deve riprendersi le sue due pecore PIU' ALTRE DUE come ricompensa: in tutto 4 pecore.
Quindi deve accadere che dopo aver tolto:
1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 = 71/72
dal numero, deve avanzare 4.
Da ciò si deduce che 1/72 equivale a 4 pecore.
Perciò le pecore da suddividere in tutto sono 72*4 = 288.
In definitiva le pecore lasciate in eredità sono 286 e il notaio ne aggiunge 2.
I figli ricevono: 96 + 72 + 48 + 36 + 32 = 284 pecore.

4. A middle eastern muddle
Un particolare ringraziamento a Giorgio Tumelero, autore della seguente risoluzione.

Ecco le 12 soluzioni.
2, 3, 7, 41
2, 3, 8, 23
2, 3, 9, 17
2, 3, 12, 11
2, 4, 5, 19
2, 4, 6, 11
2, 4, 8, 7
2, 5, 5, 9
2, 6, 6, 5
3, 3, 4, 11
3, 3, 6, 5
4, 4, 4, 3

Ed ecco il procedimento per trovarle.
Trovare le quaterne (a, b, c, n-1) tali che
(1)   n/a + n/b + n/c = n - 1

Supponiamo di conoscere a e b e poniamo c = x
scriviamo r = m.c.m.(a, b) cioè r è il minimo comune multiplo di a e b;
qualunque valore abbia x avremo:
m.c.m.(a, b, x) = rt
dove t è un parametro a valori interi che varia in funzione di x.

Notare che il m.c.m. della terna è sempre multiplo di r,
il m.c.m. della coppia. Riscriviamo (1) usando le nuove definizioni:

(1)   rt/a + rt/b + rt/x = rt - 1

da cui ricaviamo x:

(2)   x = rt/(rt - rt/a - rt/b - 1)

Per comodità poniamo s = r - r/a - r/b per cui raccogliendo a fattor comune
la lettera t:

(2)   x = rt/(st - 1)

Poi riscrivendo la (2) in un'altra forma:

x(st - 1) - rt = 0
sxt - rt = x
(sx - r)t = x
t = x/(sx - r)

da cui, siccome t è intero, ricaviamo che:
x dev'essere congruo a 0 modulo (sx -r) ovvero:
(sx - r) divide esattamente x

e otteniamo anche un limite superiore per x:
x/(sx - r) >=2
e un limite inferiore per x:
x > r/s

Facciamo un esempio, siano a=2, b=4; allora
r = m.c.m.(2, 4) = 4
s = 4 - 4/2 - 4/4 = 1
bisogna trovare i valori di x per cui x è esattamente diviso da
(1x - 4)
con x > 4/1, cioè maggiore di 4.

Proviamo coi vari valori di x:
t = 5/(1*5 - 4) = 5
t = 6/(1*6 - 4) = 3
t = 7/(1*7 - 4) = 2,3...
t = 8/(1*8 - 4) = 2
t = 9/(1*9 - 4) = 1,8
e siccome l'ultimo rapporto è inferiore a 2 il calcolo si arresta.
Abbiamo trovato tre valori di x che danno risultato intero nella divisione, ovvero
x1=5, x2=6, x3=8
che ci danno le quaterne:
(2, 4, 5, 19)
(2, 4, 6, 11)
(2, 4, 8, 7)

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