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L'età delle figlie

Il prodotto di tre numeri, la loro somma ed altre informazioni apparentemente inutili

Nei problemi di questo tipo si chiede di scoprire tre numeri sapendo il loro prodotto, talvolta anche la loro somma, e qualche altra informazione che sembra inutile, mentre invece è determinante per trovare la risposta.

In molti casi i tre numeri sono delle età.

1. Un classico: l'età delle figlie
Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede:
"Quanti figli ha?"
"Ho tre figlie." gli risponde la donna."
"Età?"
"Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa."
"Buon giorno e grazie."
L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice:
"I dati che mi ha fornito non sono sufficienti."
La signora ci pensa un po' e replica:
"E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie.
Quanti anni hanno?

2. Uno originale: la torre
(inviato da Pasquale)
In una classe di un quinto Liceo Scientifico l'insegnante di matematica dettò il seguente problema ai propri allievi, tutti bravissimi e da sempre studenti modello:

"In una torre a forma di parallelepipedo il volume è pari a 180 metri cubi, il semiperimetro di base è uguale alla lunghezza di quest'aula, mentre la somma di uno dei lati della base con l'altezza è uguale all'incirca all'età di ciascuno di voi, ovviamente espressa in metri. Calcolare l'area della base della torre."

Dopo circa due ore, nessuno aveva ancora consegnato il compito, quando l'insegnante disse ai ragazzi:

"Dovete scusarmi, ma stamattina ero sovrappensiero, perché stavo pensando che ieri sera a casa mia, a tavola, abbiamo corso un brutto rischio ... sapete che sono molto superstizioso, ma per fortuna poi abbiamo rimediato ... Comunque, bando alle chiacchiere, vedendo che, stranamente, nessuno di voi ha risolto il compito ho notato che avevo dimenticato di dirvi che la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero delle mele che mia moglie ha comprato ieri al mercato."

Infatti, con quest'ultimo dato, di lì a poco, tutti consegnarono il compito con la soluzione esatta: quale?

3. Le età di tre persone
Il prodotto di 3 età è 1296 e la somma è il numero civico della casa in cui abitano.
L'impiegato del censimento chiede ad uno di essi se fra i tre c'è qualcuno più vecchio di lui. La risposta è: "No" e l'impiegato scopre le tre età.
Quali sono le età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, 1968

4. Il prete e il banchiere (?)
Un prete incontra un banchiere accompagnato da tre donne.
Il prodotto delle età delle donne è 2450 e la somma è uguale all'età del prete.
Il prete dice che i dati sono insufficienti per determinare l'età delle donne e chiede se qualcuna delle tre donne ha la stessa età del banchiere.
La risposta è: "No" e il prete scopre le età delle donne e anche quella del banchiere.
Quali sono le età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, 1968

5. I tre marziani
Il prodotto delle età di tre giovani marziani è 1252 e la loro somma è uguale all'età del loro papà.
L'intervistatore dice che i dati sono insufficienti e chiede se qualcuno dei giovani marziani ha la stessa età dell'intervistato.
La risposta è: "No" e l'intervistatore scopre immediatamente le età dei tre marziani!
Come ha fatto?
Quali sono le tre età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, 1968

6. Le etichette sulla schiena
Due persone hanno ciascuna un'etichetta sulla schiena.
Su ciascuna delle etichette è scritto un numero intero visibile ovviamente dall'altra persona.
Non ci sono specchi.
Alle due persone viene detto che la somma dei numer è 6 oppure 7.
Quindi viene chiesto alle persone, alternativamente, ripetendo più volte il ciclo, se sanno qual'è il numero sulla propria etichetta.
Se hanno entrambe il numero 3, qual è la sequenza delle risposte?
A. K. Austin. A calculus for know/don't know problems. MM 49:1 (Jan 1976) 12-14

7. La torre (variante 2)
(inviato da Pasquale)
In una classe di un quinto Liceo Scientifico l'insegnante di matematica dettò il seguente problema ai propri allievi, tutti bravissimi e da sempre studenti modello:

"In una torre di base rettangolare il volume è pari a mc. 180 e, considerati solo dati interi,  la somma di uno dei lati della base con l'altezza è uguale all'incirca all'età di ciascuno di voi, ovviamente espressa in metri. Calcolare l'area della base della torre."

Dopo circa due ore, nessuno aveva consegnato il compito, quando l'insegnante disse:

"Dovete scusarmi, ma stamattina ero sovrappensiero, perché stavo pensando che ieri a casa mia, a tavola, abbiamo corso un brutto rischio..sapete che sono molto superstizioso, ma per fortuna poi abbiamo trovato una soluzione. Comunque, bando alle chiacchiere, avevo dimenticato di dirvi che la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero delle mele che mia moglie ha comprato ieri al mercato."

Infatti, di lì a poco, tutti consegnarono il compito con la soluzione esatta: quale?

8. Il medico, i tre malati e l'infermiera
Inviato da Giorgio Dendi
Il problema del prete e del banchiere è simile ad un altro, proposto alle gare della Mathesis nel 1980. Riporto il testo di quel problema.
Un medico visita tre ammalati. Il prodotto delle loro età è 2450 e la somma di queste è il doppio dell'età dell'infermiera. Con questi dati l'infermiera non è in grado di stabilire l'età degli ammalati, ma basta che il medico le precisi di essere più vecchio del più vecchio dei pazienti, che l'infermiera possa risolvere il problema. Nota: l'infermiera, conosce la propria età, e anche quella del medico.

9. Le figlie del re
Inviato da Ivana Niccolai
Ecco il testo di un problema, liberamente tratto da un articolo di Claudio Bernardi, presente nella rivista "Archimede" (anno LVI), Rivista per gli insegnanti e i cultori di matematiche pure e applicate.

Un re ha due figlie (e le loro età vanno intese come numeri interi positivi). Ci sono due prigionieri, S e D, a ciascuno dei quali viene data, separatamente, una sola informazione:

Al prigioniero S viene comunicata la somma delle età delle due figlie, al prigioniero D viene comunicato il MCD delle età delle due figlie. Il re convoca insieme i due prigionieri e promette di liberare chi sarà riuscito a determinare le due età. S scuote tristemente la testa: «No, maestà, non sono in grado di stabilire le età delle sue figlie: sono incerto fra 4 possibilità».

Sentita questa risposta, D fa velocemente qualche calcolo, dopo di che sorride e afferma: «Maestà, io conosco le età delle sue figlie».

Infine, anche S, udita l’ultima risposta, dice: «Ora, anch’io so le due età».

Quanti anni hanno le figlie del re?

Chiave inglese di ricerca: census-taker problem

Nota storica (fonte: David Singmaster)
Il capostipite di questi problemi risalirebbe al 1940. Molto recente.
W. T. Williams & G. H. Savage. The Penguin Problems Book. Penguin, 1940. No. 96: The church afloat, pp. 53 & 135. Three ages: product = 840, sum is twice the curate's age. This is insufficient, but whether the eldest is older or younger than the vicar is sufficient to decide.

Tre problemi hanno generatoqualche difficoltà di interpretazione perciò riporto il testo esatto da cui li ho tratti.

1: The neighborhood census. Product of three ages is 1296 and the sum is the house number. Census taker asks if any of them are older than than the informant, who says 'no' and then the census taker knows the ages.
2: The priest and the banker. Product of three ages of ladies with the banker is 2450 and the sum is the same as the priest's age. The priest says this is insufficient and asks if any of the ladies is as old as the banker. When he says 'no', the priest knows all the ages. This even determines the banker's age!
3: The three Martians. Product of three ages is 1252 and the sum is the age of the informant Martian's father. The interrogator says this is insufficient and asks if any of the Martians is as old as the informant. When he answers 'no', the interrogator knows the ages.

M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, op. cit. in 6.U.2, 1968. Chap. 1: "Census-taker" problems, pp. 1-7. Says he believes these problems came from some wartime project at MIT. Discusses three similar types.

Risposte & riflessioni

1. Un classico: l'età delle figlie
Le figlie hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni.
Vediamo di capire perché.
Noi non conosciamo il numero civico della casa, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili.
Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9.
Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due figlie sono gemelle.
Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica.
Quindi possiamo dedurre che le tre figlie hanno 2, 2 e 9 anni.

2. Uno originale: la torre
(ringrazio Utervis per la risposta)
L'area di base della torre risulta essere pari a 12 metri quadrati.Considerando, infatti, intere tutte le misure della torre, dell'aula in cui sono presenti gli alunni, l'età media di questi ed il numero delle mele acquistate al mercato il giorno precedente dalla moglie del professore, partiamo dall'unico dato preciso del problema, che nel caso specifico è il volume della torre, pari a 180 metri cubi, e scomponiamolo subito in fattori primi:

180 = 2²·3²·5

Per rispondere al quesito è necessario ora produrre tutte le possibili terne di numeri interi, rappresentative delle tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo, che, moltiplicati tra loro, producono 180 metri cubi di volume. Dobbiamo considerare, però, che uno dei tre spigoli, od al massimo anche due di essi, potrebbe anche essere di lunghezza unitaria e quindi le terne possibili salgono alle seguenti 20:

180·1·1
90·2·1
60·3·1
45·4·1
45·2·2
36·5·1
30·6·1
30·3·2
20·9·1
20·3·3
18·10·1
18·5·2
15·12·1
15·6·2
15·4·3
12·5·3
10·6·3
10·9·2
9·5·4
6·6·5

Ognuna di esse sarebbe potuta essere la soluzione giusta senza gli altri dati forniti dall'insegnante. Onde sfoltire tale lista occorre allora tener conto anche di questi ultimi, seppur incerti, controllando quali possibili terne possono rientrare nei limiti imposti. Esaminiamo dapprima il dato che il semiperimetro di base della torre è uguale alla lunghezza dell'aula in cui sono presenti gli alunni, espressa in metri, tenendo conto che per ciascuna terna di numeri interi su scritti non sappiamo quali sono le due misure che rientrano fra i lati di base, ovvero in ogni terna qualsiasi dimensione può essere rappresentativa dell'altezza del parallelepipedo e quindi tutte le terne individuano tre possibili sottocasi, e che i ragazzi, che stanno risolvendo il problema, conoscono, almeno approssimativamente, la lunghezza della loro aula, ovvero è per loro un dato noto, quasi inconfutabile.

Nella terna 180·1·1 possiamo escludere che 180 metri sia l'altezza del parallelepipedo, altrimenti l'aula sarebbe lunga solo due metri che è una misura troppo piccola, incompatibile per le esigenze didattiche. Possiamo escludere anche che sia alta un metro in quanto si otterrebbe un'aula lunghissima di ben 181 metri, quando invece sappiamo che mediamente essa può oscillare dai quattro ai nove metri al massimo. Per tale motivo eliminiamo subito, senza indugi, la terna suddetta, e, per lo stesso motivo, anche le terne 90·2·1, 20·9·1, 18·10·1, 15·12·1, 10·9·2 e 6·6·5 in quanto in ogni sottocaso darebbero aule troppo stette o troppo grandi e quindi inesistenti. Restano da esaminare le restanti 13 terne:

60·3·1
45·4·1
45·2·2
36·5·1
30·6·1
30·3·2
20·3·3
18·5·2
15·6·2
15·4·3
12·5·3
10·6·3
9·5·4

Esaminiamo ora il dato che la somma di uno dei lati della base del parallelepipedo con l'altezza di questa, espresse in metri, è uguale all'età media degli alunni che devono risolvere il compito. Essendo questi del quinto Liceo Scientifico la loro età media può, al massimo, variare da 17 a 20 anni, considerando anche numerosissimi eventuali ripetenti. Anche in questo caso occorre tener presente che tutte le terne rimaste individuano tre possibili sottocasi in quanto qualsiasi misura può rientrare nel lato di base escluso dal conteggio.

Nella terna 60·3·1 possiamo escludere che 60 metri sia un lato di base del parallelepipedo, altrimenti l'aula sarebbe ancora troppo lunga, e quindi potrà rappresentare solo la sua altezza, cosa che possiamo anche escludere in quanto sommata ad una delle altre due misure darebbe un'età media degli alunni ai limiti di un'età di pensionamento di vecchiaia (ben oltre i 60 anni)! Per tale motivo eliminiamo anche la terna suddetta, e, per lo stesso motivo, anche le terne 45·4·1, 45·2·2, 36·5·1, 30·6·1, 30·3·2, e 20·3·3 in quanto in ogni caso darebbero alunni troppo anziani con un'età superiore ai prestabiliti 20 anni. Poichè nelle premesse del testo del problema si dice che gli alunni sono tutti bravissimi e da sempre studenti modello, escludiamo anche quest'ultima ipotesi, ovvero con numerosi ripetenti presenti, e quindi con ragazzi di età media proprio uguale a 20 anni rappresentati nell'unica terna 18·5·2 Possiamo infine escludere anche le terne 10·6·3 e 9·5·4 visto che in ogni sottocaso darebbe invece un'età media degli allievi al di sotto dei prefissati 17 anni. Restano così da esaminare le seguenti tre terne sulle quali tutti gli alunni non possono far altro che indugiare a lungo senza consegnare il compito in quanto tutte equiprobabili:

15·6·2
15·4·3
12·5·3

di cui la prima misura di ciascun terna indica necessariamente l'altezza della torre (altrimenti si avrebbero, al solito, aule troppo lunghe) e le restanti due i lati della base. Se ne deduce che l'aula scolastica è lunga o sette metri (= 4 + 3) oppure otto metri (= 6 + 2 = 5 + 3), mentre l'età media degli alunni risulta pari o a 17 anni (= 15 + 2 = 12 + 5), oppure 18 anni (= 15 + 3), od infine 19 anni (= 15 + 4). Pertanto, ciascuno di essi, pur conoscendo approssimativamente i due dati ricavati non riescono in prima battuta a risolvere il problema in quanto i risultati sono molto prossimi tra loro. Ad esempio non potendo effettuare direttamente le misure dell'aula non sanno, con estrema precisione, se essa è lunga sette od otto metri, o magari è giusto un bel rettangolo 7·8 metri quadri, od ancora ciascuno, pur conoscendo bene tutti i propri compagni, resta indeciso sulle rispettive date di nascita che possono far variare anche di una sola unità il valore medio delle loro età. Quindi essi hanno bisogno necessariamente dell'ultimo dato: la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero delle mele che la moglie del professore ha comprato al mercato il giorno precedente. I risultati di tale calcolo producono per la terna 15·6·2:

(15 + 6)/2 = 21/2 = 10,5
(15 + 2)/2 = 17/2 = 8,5

entrambi impossibili perchè non interi; per la terna 15·4·3 invece producono:

(15 + 4)/2 = 19/2 = 9,5
(15 + 3)/2 = 18/2 = 9

il primo impossibile, il secondo accettabile; infine per la terna 12·5·3 risulta:

(12 + 5)/2 = 17/2 = 8,5
(12 + 3)/2 = 15/2 = 7,5

nuovamente entrambi impossibili. Resta pertanto solo la terna 15·4·3 da cui si ricavano nove mele acquistate al mercato, corrispondenti a circa due chilogrammi e quindi sufficienti per il fabbisogno di una famiglia, un'età media degli alunni compresa fra i 18 (= 15 + 3) ed i 19 (= 15 + 4) anni, del tutto verosimile per una classe di quinto Liceo Scientifico composta da studenti modello, una lunghezza dell'aula pari a sette metri ed a un'area di base della torre di esattamente 4·3 = 12 metri quadrati.

3. Le età di tre persone
Grazie a Lorenzo Navari per la sua risposta
Tra le N terne generabili combinando i numeri primi che compongono 1296 = (1*2*2*2*2*3*3*3*3) il censitore troverebbe facilmente le età delle tre persone dato che lui conosce il numero civico della casa.
Non può farlo immediatamente solo se il numero civico è 91 per il quale ci sono due terne diverse.
Nel caso:  91 = 1+18+72 e 91 = 2+8+81
Allora il censitore che ha 72 anni o più, ma meno di 81, domandando se qualcuno è più vecchio di lui, alla risposta no, può escludere la terna (2, 8, 81) e scoprire che l'età delle tre persone è 1, 18 e 72 anni
Comunque anche in questo caso, il censitore che avesse potuto vedere le tre persone avrebbe facilmente capito con la sola osservazione (senza ulteriori domande) l'età della persona mediana data la notevole differenza tra una persona di 8 ed una di 18 anni.

4. Il prete e il banchiere (?)
Una possibile soluzione inviata da Lorenzo Navari
Il prete ovviamente sa il numero dei propri anni.
Scomponendo 2450 in numeri primi si ottiene 2*5*5*7*7=2450
Combinando tra loro questi 5 numeri in tutti i modi si ottengono N terne tra le quali il prete troverebbe senz'altro la terna che sommata gli da per risultato la propria età e quindi le età delle tre donne.
Lui dice di non poter rispondere perchè facendo i calcoli trova che ci sono più terne le di cui somme danno lo stesso numero che è l'età del prete.
Nel caso sono :  5+10+49 = 64  e  7+7+50 = 64
A questo punto la donna più adulta può avere 49 anni oppure 50 anni.
Potrebbe essere andata così:
Il prete osserva che questa donna ed il banchiere sono quasi coetanei ma evidentemente il banchiere appare forse un pò più anziano.
Il prete domanda se per caso una donna avesse l'età del banchiere.
Alla negazione decide che il banchiere ha 50 anni e ne segue che le donne hanno 5, 10 e 49 anni.
Resta il dubbio se il banchiere abbia veramente 50 anni.
Viceversa posso affermare che mentre due coetanei di 7 anni sono pressochè alti uguali due bambini di 5 e 10 anni non lo sono infatti un bimbo di 10 anni è alto almeno un palmo in più di uno di 5.
Quindi per rispondere il prete non aveva bisogno di altre informazioni ma bastava l'osservazione.
In conclusione se ne deduce che lo scrittore del quiz aveva il preconcetto che 'i preti osservano le donne adulte' .... meglio se mogli di banchieri ?

5. I tre marziani
(David Singmaster)
When you start on the problem, you find that 1252 = 2^2·313 is not a suitable number. However, the problem shows a drawing of the Martian and one see he only has three fingers on each hand! Interpreting 1252 as a base 6 number gives the decimal 320 and the problem proceeds as before.
La "fotografia" del marziano aiuta a risolvere il problema!
I marziani hanno 3 dita in ogni mano, perciò, per analogia con noi, contano in base 6.
Di conseguenza 1252 in base 6 è uguale a 320 in base 10.
Il prodotto delle età è 320 e non ci sono 3 gemelli...

Comunque, visto che si tratta di marziani, sembrerebbe accettabile anche questa risposta di Lorenzo Navari. Dalla quale impariamo che un marziano può diventare papà a 5 anni.
1252=1*2*2*313
sono possibili 1,1,1252 - 1,2,626 - 1,4,313 - 2,2,313
L'intervistatore avendo di fronte tre 'giovani' sceglie le terne con le età più basse e si trova nel dubbio con 2,2,313 e 1,4,313.
Sapendo poi che nessuno dei giovani intervistati ha la stessa età (marziano = intervistato) decide che la terna giusta è 1,4,313 (si esclude anche 1,1,1252)  Il papà dei marziani ha 318 anni.
In questo caso dato che sono marziani, non si può fare alcun riferimento alle strane differenze di età tra padri e figli.

6. Le etichette sulla schiena
L'autore afferma che la sequenza delle risposte è:
1° persona: no
2° persona: no
1° persona: no
2° persona: no
1° persona: no
2° persona: si
1° persona: no
2° persona: si
1° persona: no
2° persona: si
... e così via, all'infinito, alternando i si e i no.

7. La torre (variante 2)
inviato da Pasquale
Cerchiamo i dati palesi o nascosti nel testo e procediamo:

Classe 5^ del liceo scientifico e studenti tutti bravissimi da sempre: può significare che sono al passo con gli studi e la loro età può variare fra i 18 e i 20 anni, ma (se si vuole) anche fra 17 e 21.

Sappiamo che il volume di un parallelepipedo vale S x h, con   S = area di base ed   h = altezza della "torre" . A sua volta:  S = a*b, con   a = lato corto   e    b = lato lungo.

Assumiamo: 0<a<b<h; (per dare al parallelepipedo l'aspetto di una torre)

Inoltre poniamo:   m = a + h;  M = b + h; (età dei ragazzi per ogni combinazione di fattori a,b,h)

Il volume 180 risulta dal prodotto di   a*b*h  e i loro valori possibili si deducono da: 

180 = 1*2*2*3*3*5.







Elenchiamo quindi tutti gli a,b,h,m,M possibili:

         a      b     h              m      M
 
 1)     1     2     90            91      92
 2)     1     3     60            61      63
 3)     1     4     45            46      49
 4)     1     5     36            37      41
 5)     1     6     30            31      36
 6)     1     9     20            21      29
 7)     1    10    18            19      28
 8)     1    12    15            16      27
 9)     2     3     30            32      33
10)    2     5     18            20      23
11)    2     6     15            17      21
12)    2     9     10            12      19
13)    3     4     15            18      19
14)    3     5     12            15      17
15)    3     6     10            13      16
16)    4     5       9            13      14



In base alle affermazioni del testo, consideriamo come valide solo le combinazioni compatibili con le età dei ragazzi (m ed M) e cioè le combinazioni  6,7,10,11,12,13 e 14 (se ammettiamo il campo 17-21), altrimenti restano valide solo le combinazioni 7,10,12 e 13.

Adesso poniamo:  n = a + h    ed    N = b + h    le somme dei lati di base con l'altezza, per ogni combinazione restata valida, e riportiamo i dati nella seguente tabella:

         a     b      h         n       N

  6)   1     9     20       21      29
  7)   1   10     18       19      28
10)   2     5     18       20      23
11)   2     6     15       17      21
12)   2     9     10       12      19
13)   3     4     15       18      19
14)   3     5     12       15      17


Ora, quando il professore aggiunge che la moglie ha acquistato un mumero di mele uguale alla semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base, bisogna considerare che certamente le mele acquistate sono intere, cioè non ci sono mezze mele, per cui  n ed N devono essere pari per essere accettabili.




Quindi restano valide solo le combinazioni 7, 10, 12 e 13 e le mele possibili nelle combinazioni rimaste sono:

7) 14
10)  10
12)   6
13)   9

Considerando almeno una mela per ogni commensale del giorno precedente, resta da scoprire quanti erano a tavola.

Poiché siamo in Italia ed il professore è superstizioso, bisogna dedurre che erano in 13 (a tavola abbiamo corso un brutto rischio) e già per questo, dobbiamo scegliere 14, ma se consideriamo che in questi casi, i "molto" superstiziosi (come si autodefinisce il professore)  usano tenersi un invitato di riserva (un vero amico o parente) da aggiungere a tavola (salvo che all'ultimo momento qualcuno degli invitati non declini l'invito), in questo caso i commensali erano proprio 14: d'altra parte il professore afferma che aveva trovato una soluzione.

Quindi, poiché l'unico dato valido resta il 14, abbinato alla combinazione 7, ne deriva che:

a =   1
b = 10
S = 10

8. Il medico, i tre malati e l'infermiera
Inviato da Giorgio Dendi
La prima parte della soluzione che avevo trovato io è simile a quella già trovata da altri e messa in questa stessa pagina. Poi la mia dimostrazione prosegue osservando che se l'infermiera prima si trova con le terne 5-10-49 e 7-7-50, e poi, quando viene a sapere che l'età del più anziano è inferiore all'età del medico, riesce a trovare la terna esatta. Allora l'età del medico non può essere che 50 anni e i malati hanno 5-10-49 anni.

9. Le figlie del re
Risposta inviata da Tino
Non potevo non rispondere a un problema così interessante di "metapensiero".

Io direi che se S dice che ci sono solo 4 possibilità allora D ragiona così:

"La somma delle due età (intese > 0) è 8 oppure 9. Infatti le coppie di numeri positivi la cui somma è 8 oppure 9 sono 4, e il numero di coppie di numeri positivi la cui somma è diversa da 8 e da 9 è diverso da 4.

Ora, se la somma è 9 le coppie possibili sono (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), i rispettivi MCD sono 1,1,3,1. Se la somma è 8 le coppie possibili sono (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), i rispettivi MCD sono 1,2,1,4."

Da questo D deduce i due numeri. S successivamente ragiona così:

"Il fatto che D abbia capito le due età significa che il MCD non è 1. Infatti se fosse 1 i due numeri sarebbero indecidibili perché sia quando la somma è 8 sia quando la somma è 9 abbiamo più di un MCD uguale a 1."

Il fatto che S da questo deduca le due età significa che il MCD è 3, perché se fosse 2 o 4 allora S non potrebbe dedurne i due numeri in quanto l'unica cosa che S sa è che il MCD non è 1. L'unico caso in cui sapere che il MCD non è 1 implica conoscere i due numeri è quello in cui la somma è 9. In tal caso i soli MCD possibili sono 1 e 3, e una sola coppia ha MCD uguale a 3. Di conseguenza il MCD è 3, la somma è 9 e quindi i due numeri sono 6 e 3.

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