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Un chiodo fisso degli antichi Egiziani
Gli antichi Egiziani avevano un chiodo fisso: utilizzavano soltanto frazioni
unitarie, cioè del tipo 1/n.
Perciò ogni frazione propria del tipo m/n doveva essere convertita in
una somma di frazioni unitarie.
Facile, dov'è il problema!? Direte.
3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4
Purtroppo non è così. I denominatori delle frazioni unitarie dovevano essere
tutti diversi!
Ad esempio:
3/4 = 1/2 + 1/4
5/7 = 1/2+1/7+1/14
Una frazione scritta sotto forma di somma di unità frazionarie distinte si
chiama frazione egiziana.
Perché utilizzare le frazioni egiziane?
La domanda sorge spontanea: perché gli Egiziani avevano questa fissazione?
Una volta Ronald Graham pose questa domanda a André Weil il quale rispose: "Presero
una strada sbagliata!"
In realtà, per certi scopi, il sistema Egiziano funziona molto meglio del
metodo intuitivo che utilizzeremmo oggi.
Dividere 5 mele fra 8 ragazzi
Ad esempio, se volete dividere 5 mele in parti uguali fra 8 ragazzi,
dividereste forse tutte le mele in 8 parti e ne dareste 5 ad ogni ragazzo?
Dovreste fare 7*5=35 tagli.
Visto che: 5/8 = 1/2+1/8, è più pratico dividere 4 mele a metà e una in 8
parti e consegnare mezza mela e un ottavo di mela ad ogni ragazzo.
In tutto abbiamo fatto 11 tagli.
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Mela 1
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Mela 2
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Mela 3
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Mela 4
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Mela 5
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Dividere 5 mele fra 7 ragazzi
Se invece vogliamo dividere 5 mele fra 7 ragazzi, le cose si complicano un
po'.
5/7 = 1/2+1/7+1/14
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Mela 1
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Mela 2
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Mela 3
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Mela 4
|
Mela 5
|
Come si vede, la 4° mela è divisa a metà e la seconda metà è divisa in 7
parti, pari ciascuna ad 1/14, mentre l'ultima mela è divisa in 7 parti.
In tutto abbiamo fatto 16 tagli.
La scomposizione in frazioni egiziane non è unica
Si può dimostrare che:
La scomposizione di una frazione in una somma di frazioni unitarie non è
unica, perciò c'è da chiedersi qual è quella migliore. Forse quella di
lunghezza minima? Forse quella con i denominatori più piccoli?
Qui sotto c'è un piccolo calcolatore in javascript che permette di trovare
tutte le scomposizioni di lunghezza minima.
1. Scrivete il numeratore e il denominatore
2. N.B. La frazione deve essere minore di 1
3. Cliccate su "Calcola"
4. Nel riquadro dei "Risultati" otterrete tutte le scomposizioni di
lunghezza minima della frazione digitata
(N.B. Per programmare questo calcolatore ho utilizzato un lavoro di Don
Knott)
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|
Utilizzate il calcolatore per trovare una soluzione
efficiente dei seguenti problemi.
Per efficiente intendo col numero minore possibile di suddivisioni.
dividere 4 sacchi di farina in parti uguali fra 17 persone;
dividere 521 sacchi di farina in parti uguali fra 1050 persone;
scomponete 5/7 e 6/13 in una somma di frazioni egiziane;
un caso piuttosto difficile è 3/179, risolvetelo;
Trovate un metodo abbastanza semplice per calcolare le frazioni egiziane "a mano".
La tavola delle frazioni egiziane nel Papiro di Rhind
Questa è la tavola delle frazioni egiziane del tipo 2/n scritta da Ahmes
sul Papiro di Rhind.
Le frazioni utilizzate dagli egiziani erano sempre efficienti nel senso visto
sopra?
E se non lo erano, perché le utilizzavano?
Ma le utilizzavano o no???
| 2/n | Anziché 1/n è scritto semplicemente n |
|
| 2/3 | = | 1/2 + 1/6 (esempio) |
| 3 | = | 2 + 6 |
| 5 | = | 3 + 15 |
| 7 | = | 4 + 28 |
| 9 | = | 6 + 18 |
| 11 | = | 6 + 66 |
| 13 | = | 8 + 52 + 104 |
| 15 | = | 10 + 30 |
| 17 | = | 12 + 51 + 68 |
| 19 | = | 12 + 76 + 114 |
| 21 | = | 14 + 42 |
| 23 | = | 12 + 276 |
| 25 | = | 15 + 75 |
| 27 | = | 18 + 54 |
| 29 | = | 24 + 58 + 174 + 232 |
| 31 | = | 20 + 124 + 155 |
| 33 | = | 22 + 66 |
| 35 | = | 30 + 42 |
| 37 | = | 24 + 111 + 296 |
| 39 | = | 26 + 78 |
| 41 | = | 24 + 246 + 328 |
| 43 | = | 42 + 86 + 129 + 301 |
| 45 | = | 30 + 90 |
| 47 | = | 30 + 141 + 470 |
| 49 | = | 28 + 196 |
| 51 | = | 34 + 102 |
| 53 | = | 30 + 318 + 795 |
| 55 | = | 30 + 330 |
| 57 | = | 38 + 114 |
| 59 | = | 36 + 236 + 531 |
| 61 | = | 40 + 244 + 488 + 610 |
| 63 | = | 42 + 126 |
| 65 | = | 39 + 195 |
| 67 | = | 40 + 335 + 536 |
| 69 | = | 46 + 138 |
| 71 | = | 40 + 568 + 710 |
| 73 | = | 60 + 219 + 292 + 365 |
| 75 | = | 50 + 150 |
| 77 | = | 44 + 308 |
| 79 | = | 60 + 237 + 316 + 790 |
| 81 | = | 54 + 162 |
| 83 | = | 60 + 332 + 415 + 498 |
| 85 | = | 51 + 255 |
| 87 | = | 58 + 174 |
| 89 | = | 60 + 356 + 534 + 890 |
| 91 | = | 70 + 130 |
| 93 | = | 62 + 186 |
| 95 | = | 60 + 380 + 570 |
| 97 | = | 56 + 679 + 776 |
| 99 | = | 66 + 198 |
| 101 | = | 101 + 202 + 303 + 606 |
Il numero 1 e le frazioni egiziane
Il numero 1 (anche se non è una frazione propria) può essere espresso come
somma di frazioni unitarie distinte in vari modi.
Ad esempio:
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 (3 frazioni, denominatore massimo 6)
1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 (4 frazioni, denominatore massimo 12)
Provate a continuare questa serie con 5, 6, 7, ... frazioni facendo in modo da
mantenere i denominatori più bassi possibile.
Ultimo aggiornamento: febbraio 2005
Un metodo per calcolare le frazioni egiziane a mano
Come trovare il massimo reciproco minore di una frazione data?
Il numero 1 e le frazioni egiziane
Indico soltanto n=numero di frazioni e i denominatori delle frazioni
unitarie
n....denominatori
--- -----------------------------
03 - 2 3 6
04 - 2 4 6 12
05 - 2 4 10 12 15
06 - 3 4 6 10 12 15
07 - 3 4 9 10 12 15 18
08 - 3 5 9 10 12 15 18 20
09 - 4 5 8 9 10 15 18 20 24
10 - 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24
11 - 5 6 8 9 10 15 18 20 21 24 28
12 - 6 7 8 9 10 14 15 18 20 24 28 30
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