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Il gioco dei quattro numeri

Da un semplice gioco... grande matematica!

Per fare questo gioco si comincia a disegnare un quadrato (non troppo piccolo) e a scrivere quattro numeri interi positivi o nulli ai suoi vertici. E' meglio cominciare con numeri piccoli, minori di 10.

Poi si segnano i punti medi dei lati del quadrato e accanto ad essi si scrive il numero che è uguale alla differenza (positiva o nulla) fra i numeri che si trovano ai due estremi del lato stesso.

Fatto questo, si congiungono i punti medi dei lati del quadrato originale in modo da formare un nuovo quadrato.

Su questo quadrato si ripete la stessa procedura e così via, fino ad ottenere quattro 0.

Il gioco finisce quando si ottengono quattro 0 (o quando si finisce in un ciclo).

In questo caso, al quarto quadrato si ottengono quattro 0.

Un altro modo di rappresentare il gioco.
Giocare con i quadrati è carino ma poco pratico quando un gioco richiede molti passaggi.
E' più pratico e veloce disporre i numeri su delle linee che "slittano" di un posto ad ogni passaggio.

Congetture e domande.

1. E' possibile modificare il quadrato dell'esempio in modo che il gioco richieda un passaggio in più?

2. Trovare un quadrato che termini dopo 9 passaggi.

3. E' vero che, dati 4 numeri, il massimo numero di passaggi si ha quando tali numeri sono disposti in ordine crescente? O decrescente?

4. Ripetete il gioco utilizzando altri poligoni: triangoli, pentagoni, etc.

5. E' vero che il gioco dei 4 numeri con A, B, C, D termina nello stesso numero di mosse del gioco con i numeri m + A, m + B, m + C, m + D? Se esiste un gioco che non termina nel primo caso, non terminerà neanche in tutti gli altri.

6. E' vero che il gioco dei 4 numeri con A, B, C, D termina nello stesso numero di mosse del gioco con i numeri mA, mB, mC, mD? Se esiste un gioco che non termina nel primo caso, non terminerà neanche in tutti gli altri.

7. Utilizzate il risultato precedente per dimostrare che ogni versione del gioco con numeri razionali ha un'equivalente con numeri interi positivi o nulli.

8. E' vero che ogni gioco contenente soltanto 0 e 1 termina sempre?

9. E' vero che ogni gioco contenente soltanto numeri minori di 3 termina sempre?

10. Esiste un gioco che non termina mai (ad es. diventa ciclico)?

11. Dato un gioco che termina in n passaggi, si può generare un gioco che termina in n+1 passaggi?

12. Se tutti i giochi terminano, esiste un limite superiore al numero dei passaggi?

13. Dato un gioco, trovare tutti i suoi equivalenti per rotazione e per simmetria.

Gennaio 2004

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